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?Baccalauréat Métropole 21 juin 2013? Scienceset technologies du design et des arts appliqués
EXERCICE110 points
Partie A : Étude de la fonction associée au profil de l"assise1.A(-4 ; 4) appartient àPse traduit par : 4=16a-4b+4 ou encore 16a-4b=0 et enfin
4a-b=0.
B(3 ; 9,25) appartient àPse traduit par : 9,25=9a+3b+4 soit 9a+3b=5,25 et en simplifiant par 3 : 3a+b=1,75. On a donc :?4a-b=03a+b=1,75?7a=1,75 (en ajoutant membres à membres). Finalement
a=1,757=0,25.
En remplaçant dans la première équationb=4a=4×0,25=1.L"équation dePest doncy=0,25x2+x+4.
2. a.On af?(x)=2×0,25x+1=0,5x+1.
Or 0,5x+1>0 si 0,5x>-1 oux>-2.
De mêmef?(x)<0 six<-2.
Donc :
f?(x)>0 sur [-2 ; 3] : la fonction est croissante sur cet intervalle; f?(x)<0 sur [-4 ;-2] : la fonction est décroissante sur cet intervalle; f?(-2)=0. Le point (-2 ; 3) est le minimum de la fonction. D"autre partf(-4)=4-4+4=4 etf(3)=2,25+3+4=9,25 (on retrouve les coor- données de A et de B.On a donc le tableau de variations suivant :
x-4-2 3 f?(x)-0+ f(x)4 39,25b.x-4-3-2-10123 f(x)43,2533,2545,2579,25 c.Voir l"annexe à la fin. Partie B : Étude de la fonction associée au profil des pieds du fauteuil
1. a.Oncalcule:g?(x)=-3×1
b.La dérivée est un trinômequi s"annule en-2 et 2 qui est négatif sauf entre-2 et 2 :f?(x)>0 sur [-2 ; 2]
f?(x)<0 sur [-4 ;-2] et sur [2; 3].
D"où le tableau de variations deg:
Baccalauréat STD2AA. P. M. E. P.
x-4-2 23,5 g ?(x)-0+0- g(x)4 04 9,25 x-4-3-2-101233,5 g(x)40,87500,62523,37543,1251,92.3.On a vu quef(-4)=4 et on calculeg(-4)=-18(-4)3+32×(-4)+2=8-6+2=4.
Conclusion : les courbes représentatives des fonctionsfetgont en commun le pointA(-4 ; 4).
4.Voir l"annexe à la fin.
Partie C : Étude de l"indice de confort
1. a.Le coefficient directeur de la tangente àPen A est le nombre dérivéf?(-4)=0,5×
(-4)+1=-1. Le coefficient directeur de la tangenteàPen B est le nombre dérivéf?(3)=0,5×3+1=2,5.
b.(AC) a pour coefficient directeur4-0,5 -4-(-0,5)=3,5-3,5=-1. La droite (AC) contient le point A de la parabole et a pour coefficient directeur le nombre dérivéf?(-4) : c"est donc la tangente àPen A.De même (BC) a pour coefficient directeur
9,25-0,5
3-(-0,5)=8,753,5=2,5.
La droite (BC) contient le point B de la parabole et a pour coefficient directeur le nombre dérivéf?(3) : c"est donc la tangente àPen B.Voir les deux tangentes à la fin.
2. a.Avec--→CB (3,5 ; 8,75) et--→CA (-3,5 ; 3,5), on a--→CB·--→CA= -3,5×3,5+8,75×3,5=3,5×
(8,75-3,5)=3,5×5,25=18,375. b.On a également--→CB·--→CA=CB×CA×cos?ACB. Or CB2=8,752+3,52=88,8125 d"où BC=?
88,8125;
CA2=(-3,5)2+3,52=24,5, d"où CA=?
24,5.On a donc en utilisant les deux écritures du produit scalaire: