Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ℝ 1 U f (x) = x f ' (x) = 1
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1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée D f f(x) = k R v2 Dérivée de la puissance (un) = nu un−1 Dérivée de la racine (√ u) = u 2
[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ℝ 1 U f (x) = x f ' (x) = 1
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On rappelle les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules générales de u u2 uα,α ∈ R∗ αu uα−1 √ u u 2 √ u ln(u) u u exp(u) u exp(u) cos(u)
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1) Dérivées des fonctions usuelles si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction quotient de u si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction racine
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(u v ) = u v − uv v2 2) Dérivées et primitives des fonctions usuelles "amélioré" en cours d'année, notamment en donnant une primitive de la fonction racine
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Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a Pour ℎ≠0 : D(W*+)TD(W) + = Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I Démonstration au
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Cette limite est le nombre dérivé de f en a, on la note f '(a) f ' a =lim h 0 Fonction racine carrée ℝ+* x La fonction dérivée de u + v est (u + v)' = u' + v'
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les quotients, racines carrées et logarithmes) Fonction Dérivée un, n ∈ ZZ, n = 0 nu′un−1 1 un , n ∈ ZZ, n = 0 − nu′ un+1 √u u′ 2√u sin(u) u′ cos(u)
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(u − x)( √ u + √ x) = 1 √ u + √ x , ce qui conduit au résultat annoncé, vu la continuité de la fonction racine On constate que pour x = 0, on obtient une
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Remarque 1 f est dérivable en a de nombre dérivé f/ (a) si et seulement si f (a + h ) = f (a) + hf/ (a) 2 6 Fonction racine carrée : f : x 7→ √x ∀a ∈ R∗+ : f (x) − f (a) x − a est le coefficient directeur de la droite (AM) o`u A(a;f (a)) et M (x;f (x))
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Tableaux des dérivées Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie
Dérivées des fonctions usuellesNotes
Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité Pf (x) = k (constante réelle)f ' (x) = 0ℝ 1Uf (x) = x f ' (x) = 1ℝ2
If (x) = ax + b f ' (x) = aℝ3
Sf (x) = x²f ' (x) = 2xℝ
Sf (x) = xn (n∈ℕ)f ' (x) = nxn-1ℝAf (x) = 1
x f ' (x) = - 1 x2]0; +∞[ ]-∞; 0[Nf (x) = 1
xn = x-n (n∈ℕ)f ' (x) = - n xn1 = -nx-n-1]0; +∞[ ]-∞; 0[Cf (x) = x f ' (x) = 1
2x]0; +∞[4
Ef (x) = x
f ' (x) = x-1selon les valeurs de l'exposant , voir les dérivées précédentes5 f (x) = cos xf ' (x) = - sin xℝ f (x) = sin x f ' (x) = cos xℝ f (x) = tan xf ' (x) = 1 cos2 x = 1 + tan²x2;
2[2k;
2k1[f (x) = exf ' (x) = exℝ
f (x) = ln xf ' (x) = 1 x ]0; +∞[(1) Une fonction constante est représentée par une droite de coefficient directeur (pente) nul.
En tout point de cette droite, le coefficient directeur (pente) est nulle.(2) La fonction x x est représentée par une droite de coefficient directeur (pente) égal à 1
En tout point de cette droite, le coefficient directeur (pente) est égal à 1.(3) La fonction x ax + b est représentée par une droite de coefficient directeur (pente) égal à a.
En tout point de cette droite, le coefficient directeur (pente) est égal à a. (4) x = x1/2(5) Cette ligne résume toutes celles qui précèdent. C'est la formule à retenir pour déterminer les primitives d'une
fonction puissance."La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain
1/2 C:\Users\Louis-Marie\Documents\Lycee\docs_lycee_09_10\fiche\tableaux_derivees.odt
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Tableaux des dérivées Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie
Dérivées et opérations
Dans ce formulaire, u et v sont des fonctions
Opérations sur les fonctionsDérivéesConditions f = u + v f ' = u' + v' u et v dérivables sur un intervalle I f = ku (k constante)f ' = ku' u dérivable sur un intervalle I f = uv f ' = u' v + v' uu et v dérivables sur un intervalle I f = 1 v f ' = -v' v2 v dérivable sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur cet intervalle I f = u v f ' = u'v-v'u v2u et v dérivable sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur cet intervalle I1f = v ° u f ' = u' ×(v' °u)u dérivable sur un intervalle I à
valeurs dans J , et, v dérivable sur J. f = u f ' = u' u-1 selon les valeurs de f = uf ' = u'2u u dérivable sur un intervalle I
et u > 0 f = cos u f ' = -u' ×sin uu dérivable sur un intervalle I f = sin u f ' = u' ×cos uu dérivable sur un intervalle I f = eu f ' = u' ×euu dérivable sur un intervalle I f = ln u f ' = u' u u dérivable sur un intervalle I et u > 0 f (x) = u(ax + b)f ' (x) = au' (ax + b)ax + b appartient à un intervalle sur lequel u est dérivable (1) La dérivée d'une fonction composée .... Toutes les lignes qui suivent sont des cas particuliers de cette formule générale"La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain