Continuité et dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un para- mètre 1 1 Fonction On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/ intégrale : d dx ∫ b a = Fonction définie par une intégrale impropre Comme si cela
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Intégrales dépen-
dant d"un paramètreTrès souvent, la solution d"une équation différentielle aboutit au calcul d"une primitive :
F(x) =Z
b af(x,t)dt.Dans de nombreux cas, il n"y a pas de forme explicite pour cette primitive et il faut donc étudier la fonctionF(x)
telle qu"elle nous est donnée, c"est-à-dire sous la forme d"une intégrale, qui dépend du paramètrex. Dans ce chapitre
nous donnons des conditions afin que cette fonctionF(x)soit continue et dérivable. Le point-clé des démonstrations
sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne
vous lancez pas dans ce chapitre sans de solides bases d"analyse : révisez les chapitres sur les limites, la continuité, la
dérivabilité, et l"intégration.1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-
mètre1.1. Fonction définie par une intégrale
Soitf:(x,t)7!f(x,t)une fonction de deux variables,xett. Nous considéronsxcomme un paramètre ett2[a,b]
comme une variable d"intégration. Cela nous permet de définirF(x) =Z
b a f(x,t)dt.Unxétant fixé, pour queF(x)existe, il suffit que l"application partiellet7!f(x,t)soit continue sur[a,b]. Mais ceci
ne garantit pas la continuité de la fonctionF. Nous donnons des conditions suffisantes pour queFsoit continue, puis
dérivable.1.2. ContinuitéThéorème 1.
SoientIun intervalle deRetJ= [a,b]un intervalle fermé borné. Soitfune fonction continue surIJà valeurs
dansR(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I parF(x) =Z
b a f(x,t)dt est continue sur I.Exemple 1. SoitF(x) =Z
0 sin(x+t)ext2dt, définie pourx2I=R. La fonction(x,t)7!f(x,t) =sin(x+t)ext2est continue surR[0,], donc la fonction x7!F(x)est continue surR.INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2On calcule queF(0) =R
0sin(t)1dt=
cos (t) 0 =2. Même si on n"a pas de formule pourF(x)en général, on déduit de la continuité queF(x)!F(0) =2 lorsquex!0.Les démonstrations de cette section utilisent la continuité uniforme, qui fait l"objet de la section suivante.
Démonstration.
Soitx0un point deI. Quitte à restreindre l"intervalle en considérantI\[x0,x0+], on supposequeIest un intervalle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème6 ) s"applique alors à la fonctionfsurIJ:
elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout >0, il existe >0 tel que,pour tout t2J,
jxx0j< =)f(x,t)f(x0,t)6ba.Dans ce cas,
F(x)F(x0)=
Z b a f(x,t)f(x0,t)dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)dt6(ba)ba=.
DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité
Théorème 2.
Soient I un intervalle deRet J= [a,b]un intervalle fermé borné. On suppose que : (x,t)7!f(x,t)est une fonction continue sur IJ (à valeurs dansRouC), la dérivée partielle(x,t)7!@f@x(x,t)existe et est continue sur IJ. Alors la fonction F définie pour tout x2I par F(x) =Z b a f(x,t)dt est de classeC1sur I et :F0(x) =Z
ba@f@x(x,t)dt.On peut retenir l"abréviation mnémotechnique d"interversion dérivée/intégrale :
ddxZ b a =Z b a@@xExemple 2.
ÉtudionsF(x) =R1
0dtx2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x
2+t2. Alors :
fest continue sur]0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2x(x2+t2)2est continue sur]0,+1[[0,1].On aura donc
F0(x) =Z
102x(x2+t2)2dt.
Pour cet exemple on peut calculer explicitementF(x):F(x) =1x
2Z 10dt1+tx
2=1x h arctantx i t=1 t=0=1x arctan1x 1x arctan1x =1x2arctan1x
1x311+x2.
Ce qui prouveZ
102x(x2+t2)2dt=1x
2arctan1x
1x(1+x2).
INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE3
Démonstration.Soitx02I. Pour simplifier l"écriture nous supposerons quex0n"est pas une extrémité deI. Nous
devons démontrer que, pour tout >0, il existe >0 tel que, pour toutx2[x0,x0+]etx6=x0:F(x)F(x0)xx0Z
b a@f@x(x0,t)dt 6.Écrivons :
F(x)F(x0)(xx0)Z
b a@f@x(x0,t)dt Z b f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t) dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)dt.Par le théorème des accroissements finis, pour toutt2[a,b], il existex1strictement compris entrex0etxtel que
f(x,t)f(x0,t) = (xx0)@f@x(x1,t).Fixons >0tel que[x0,x0+]soit inclus dansI: la dérivée partielle@f=@xest uniformément continue sur
[x0,x0+][a,b], d"après le théorème de Heine (théorème6 ). Il existe donc >0tel que, pour toutxvérifiant
jxx0j< et pour tout t2[a,b],@f@x(x,t)@f@x(x0,t)6jxx0jba.
Il reste à intégrer par rapport àtentreaetb:F(x)F(x0)(xx0)Z b a@f@x(x0,t)dt 6Z b a jxx0jbadt=jxx0j, d"où le résultat en divisant parjxx0j.Exemple 3.Calculonsl"intégrale de Gauss:Z
+1 0 et2dt=p 2e t2Posons, pourx2I= [0,+1[:F(x) =Z
1 0e x2(t2+1)t2+1dt G(x) =Z
x 0 et2dt 2H(x) =F(x)+G(x)
1.Étude deF(x).
En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t
2+1, on note que :
fest une fonction continue sur[0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2xex2(t2+1)est aussi continue.Donc, par le théorème
2 ,Fest continue, dérivable et F0(x) =Z
10@f@x(x,t)dt=2Z
1 0 xex2(t2+1)dt=2xex2Z1 0 ex2t2dt.INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE4
2.Étude deG(x).
Gn"est pas à proprement parler une intégrale dépendant d"un paramètre. Si on noteG0(x) =Rx
0et2dt,G0est
simplement une primitive dex7!ex2etG(x) =G0(x)2. CommeG00(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la
fonction elle-même), on a : G0(x) =ddxG0(x)2=2G0
0(x)G0(x) =2ex2Zx
0 et2dt=2xex2Z1 0 ex2u2duPour la dernière égalité, on a posé le changement de variablet=xu(et doncdt=xdu,u=txetuvarie de0à1
lorsquetvarie de 0 àx).3.Étude deH(x).
Par nos calculs précédents, on trouveH0(x) =F0(x)+G0(x) =0, pour toutx2[0,+1[. Cela veut dire que la
fonctionHest une fonction constante. OrH(0) =F(0)+G(0) =Z
1 01t2+1dt+0="
arctant 1 0=4DoncHest la fonction constante égale à4
4.Limite deH(x)en+1.
Lorsquex!+1, alorsG(x)!R+1
0et2dt
2.EtF(x)!0 car
F(x)= Z 1 0e x2(t2+1)t 2+1dt 6Z 1 0 ex2dt=ex2Z1 01dt=ex2!0.
DoncH(x) =F(x)+G(x)!R+1
0et2dt
2.5.Conclusion.
Hest une fonction constante :H(x) =4, sa limite en+1est donc aussi4. Mais on a calculé cette limite d"une
autre façon, ce qui prouve :Z+1 0 et2dt=s 4 =p 21.4. Théorème de FubiniThéorème 3(Théorème de Fubini).
SoientI= [,]etJ= [a,b]deux intervalles fermés bornés. Soitfune fonction continue surIJ, à valeurs dansR
(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I parF(x) =Z
b a f(x,t)dt est intégrable sur I et ZF(x)dx=Z
Zb a f(x,t)dt dx=Z b a Z f(x,t)dx dt.On retient que l"on peut intervertir l"ordre d"intégration : Z Z b a =Z b aZ Géométriquement, on se souvient que calculer une intégraleRb af(t)dtrevient à déterminer l"aire sous le graphe,comme somme de segments de hauteurf(t). Ces segments sont en fait des rectangles de largeur infinitésimale dt.
INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE5xt
abxtabIci, pour nos fonctions de deux variables, on calcule d"abord l"aire d"une tranche parallèle à l"axe dest(en vert sur
la figure), puis on fait la somme (c"est-à-dire on effectue une seconde intégration) des aires de toutes les tranches
(qui ont en fait une épaisseur infinitésimale). On pourrait faire la même opération en commençant par les tranches
parallèles à l"axe desx(en rouge sur la figure). Le théorème de Fubini affirme que ces deux méthodes conduisent à la
même valeur. Ce nombre correspond au volume sous la portion de surface.Exemple 4.
Calculons :
I=Z 0 Z1 0 (tsinx+2x)dt dx Première méthode.On intègre d"abord par rapport àt, puis àx: I=Z x= x=0 Zt=1 t=0(tsinx+2x)dt dx=Z x= x=0" t22 sinx+2xt t=1 t=0dx Z x= sinx2 +2x dx="cosx2 +x2x= x=0=2+1Seconde méthode.
On utilise le théorème de Fubini qui affirme que l"on peut d"abord intégrer par rapport àx, puis
par rapport àt: I=Z x= x=0 Zt=1 t=0(tsinx+2x)dt dx=Z t=1 t=0Z x= x=0(tsinx+2x)dx dtpar Fubini Z t=1 t=0" tcosx+x2x= x=0dt=Z t=1 t=0(2t+2)dt=" t2+2t t=1 t=0=2+1Démonstration.
Par le théorème
1 , la fonctionFest continue surI, donc intégrable. Pourx2I, considérons la fonction : '(x,t) =Z x f(y,t)dy. C"est une fonction continue surIJ. (Pour le prouver considérer'(x,t)'(x0,t0) =Rx x0f(y,t)dy+Rx0
af(y,t) f(y,t0)dy. Le premier terme est petit pourxproche dex0carfest bornée; le second est petit par continuité
uniforme def, exactement comme dans la preuve théorème du1 .)La dérivée partielle par rapport àxde'(x,t)est@'@x(x,t) =f(x,t), qui est elle aussi continue surIJ. On peut
donc lui appliquer le théorème 2 . La fonction qui àxassocie (x) =Z b a '(x,t)dt=Z b aZ x f(y,t)dy dt est dérivable et sa dérivée est :0(x) =Z
b a@'@x(x,t)dt=Z b a f(x,t)dt.On obtient donc, pour toutx2I:
Z b aZ x f(y,t)dy dt=(x) =Z x0(y)dy=Z
x Zb a f(y,t)dt dy.D"où le résultat en prenantx=.
INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE6
1.5. Bornes qui varient
Une catégorie un peu différente d"intégrales est lorsque ce sont les bornes qui sont les paramètres de la fonction :
G(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dtoùu,vsont des fonctions dex.Théorème 4.Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]à valeurs dansR(ouC). SoientIun intervalle deRetu,v:I!
[a,b]deux fonctions de classeC1. Alors la fonction G définie sur l"intervalle I parG(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dt est de classeC1et G0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x).Exemple 5.
Calculons la dérivée de
G(x) =Z
x2 xdtlntpourx>1. Pour appliquer le théorème4 ,on se restreint à un intervalle[a,b]tel que,pourxfixé,x2[a,b]]1,+1[.
Avecf(t) =1lnt,u(x) =x,v(x) =x2, on a :
G0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x)=2x1ln(x2)11lnx=x1lnx
Le plus simple n"est pas d"apprendre la formule mais de refaire le calcul à chaque fois, car ce calcul est juste la dérivée
d"une composition. Démonstration.Considérons d"abord la fonctionHdéfinie parH(x) =Z
v(x) a f(t)dt. Cette fonctionHest la composée de deux fonctions :H(x) =Fv(x)= (Fv)(x)
oùFest la primitiveF(x) =Z
x a f(t)dt. CommeFetvsont de classeC1alorsHest de classeC1et par la formule de dérivée d"une composition : H0(x) =v0(x)F0v(x).
Mais commeF0(x) =f(x)alors
H0(x) =v0(x)fv(x).
Si on fait le même calcul pourK(x) =Ru(x)
af(t)dt, on trouveK0(x) =u0(x)fu(x).Finalement
G(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dt=Z a u(x)f(t)dt+Z v(x) a f(t)dt=K(x)+H(x), donc G0(x) =K0(x)+H0(x) =u0(x)fu(x)+v0(x)fv(x).Mini-exercices.1.
SoitF(x) =R1
0cos(xt)dtdéfinie pourx2[0,].Fest-elle continue? Dérivable? Si oui,
que vaut sa dérivée? CalculerR0F(x)dxde deux façons différentes.
2.SoitF(x) =R1
0etsinxdtdéfinie pourx2R.Fest-elle continue? Dérivable? Si oui, que vaut sa dérivée? Que
valent les limiteslimx!0F(x)etlimx!0F0(x)? Retrouver ces résultats en calculant une expression explicite de
F(x).INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2. CONTINUITÉ UNIFORME73.Calculer le volume sous la portion de surface sous le graphe def(x,y) =px+x y+yx+1pour(x,y)2
[0,1][2,3]. 4. Soitf(t) =sintt. Justifier quefpeut être prolongée en une fonction continue en0. SoitF(x) =Rx3 xquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50