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?Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016?

EXERCICE14points

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

PartieA

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à

internet des jeunes enFrance âgésde 16 à24 ans par une variablealéatoireTsuivant une loi normale

de moyenneμ=13,9 et d"écart typeσ. La fonction densité de probabilité deTest représentée ci-dessous :

0 1 10 13,9

1.On sait quep(T?22)=0,023.

En exploitant cette information :

a.hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l"aire est égale

à 0,023;

b.déterminerP(5,8?T?22). Justifier le résultat. Montrer qu"une valeur approchéedeσau dixième est 4,1.

2.On choisit un jeune en France au hasard.Déterminer la probabilité qu"il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.

Arrondir au centième.

PartieB

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des OEuvres et la Protection des droits sur Internet) sou-

haite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à24 ans pratiquant au moins une fois

par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.

Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondentpas tous de façon sincère. Aussi, elle

propose le protocole (P) suivant : On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16à 24 ans.

Pour chaque jeune de cet échantillon :

le jeune lance un dé équilibré à 6 faces; l"enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer;

l"enquêteur pose la question : "Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois

par semaine?»; ?si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondreà la question par "Oui» ou "Non» de façon sincère; ?si le résultat du lancer est "1» alors le jeune doit répondre "Oui»; ?si le résultat du lancer est "3 ou 5» alors le jeune doit répondre "Non».

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Grâce à ce protocole, l"enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou

résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On notepla proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par

semaine le téléchargement illégal sur internet.

1.Calculs de probabilitésOn choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P).

On note :Rl"évènement "le résultat du lancer est pair», Ol"évènement "le jeune a répondu Oui». Reproduire et compléter l"arbre pondéré ci-dessous : R O O R O O En déduire que la probabilitéqde l"évènement "le jeune a répondu Oui» est : q=1

2p+16.

2.Intervalle de confiance

a.À la demande de l"Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 625 réponses "Oui». Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportionqde jeunes quirépondent "Oui»àuntel sondage,parmilapopulation desjeunes français âgés de 16 à 24 ans. b.Que peut-on en conclure sur la proportionpde jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet?

EXERCICE23points

Commun à tous les candidats

gone régulier.

Dans le plan complexe muni d"un repère ortho-

normé direct?

Ov-→u,-→v?

, on considère le penta- gone régulierA0A1A2A3A4, de centreOtel que---→OA0=-→u.

On rappelle que dans le pentagone régulier

0A1A2A3A4, ci-contre :

les cinq côtés sont de même longueur;

les pointsA0,A1,A2,A3etA4appar-

tiennent au cercle trigonométrique;

pour tout entierkappartenant à

{0 ; 1 ; 2 ; 3} on a ?---→OAk;-----→OAk+1? =2π 5. -1 -1-→u-→ v O A 0A 1 A 2 A 3 A 4

Pondichéry222 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.On considère les pointsBd"affixe-1 etJd"affixei2.

Le cercleCde centreJet de rayon1

2coupe le segment [BJ] en un pointK.

CalculerBJ, puis en déduireBK.

2. a.Donner sous forme exponentielle l"affixe du pointA2. Justifier brièvement.

b.Démontrer queBA22=2+2cos?4π 5? c.Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l"on pourra utiliser sans justification : ?Calcul formel

1cos (4*pi/5)

→14?-?5-1?

2sqrt((3 - sqrt(5))/2)

→12? ?5-1? "sqrt»signifie "racine carrée» En déduire, grâce à ces résultats, queBA2=BK.

3.Dans le repère?

Ov-→u,-→v?

donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone

régulier. N"utiliser ni le rapporteur ni les graduations dela règle et laisser apparents les traits

de construction.

EXERCICE35points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

A B CDE F GH I J K?

PartieA

Danscette partie,onne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un pointL. Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :

le point L;

l"intersectionDdes plans (IJK) et (CDH);

la section du cube par le plan (IJK).

Pondichéry322 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

L"espace est rapporté au repère?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

1.Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

2. a.Montrer que le vecteur--→AG est normal au plan (IJK).

b.En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3.On désigneparMun point du segment [AG] ettle réel del"intervalle [0; 1] tel que--→AM=t--→AG.

a.Démontrer queMI2=3t2-3t+5 4. b.Démontrer que la distanceMI est minimale pour le point N?1

2;12;12?

4.Démontrer que pour ce point N?1

2;12;12?

a.N appartient au plan (IJK). b.La droite (IN)est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

EXERCICE35points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

On considère les matricesMde la formeM=?a b

5 3? oùaetbsont des nombres entiers. Le nombre 3a-5best appelé le déterminant deM. On le note det(M).

Ainsi det(M)=3a-5b.

1.Dans cette question on suppose que det(M)?=0 et on poseN=1

det(M)? 3-b -5a?

Justifier queNest l"inverse deM.

2.On considère l"équation (E): det(M)=3.

On souhaite déterminer tous les couples d"entiers (a;b) solutions de l"équation (E). a.Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E). b.Montrer que le couple d"entiers (a;b) est solution de (E) si et seulement si 3(a-6)=

5(b-3).

En déduire l"ensemble des solutions de l"équation (E).

PartieB

1.On poseQ=?6 35 3?

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse deQ.

2.Codage avec la matrice QPour coder un mot de deux lettres à l"aide de la matriceQ=?6 35 3?

on utilise la procédure ci-après :

Étape 1 :On associe au mot la matriceX=?x1

x 2? oùx1est l"entier correspondant à la première lettre du mot etx2l"entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de cor- respondance ci-dessous :

Pondichéry422 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

Étape 2 :La matriceXest transformée en la matriceY=?y1 y 2? telle que Y=QX. Étape 3 :La matriceYest transformée en la matriceR=?r1 r 2? telle quer1est le reste de la division euclidienne dey1par 26 etr2est le reste de la division euclidienne dey2par 26.

Étape4:À lamatriceR=?r1

r 2? on associe un mot dedeux lettres selon le tableau decorrespon- dance de l"étape 1.

Exemple : JE→X=?94?

→Y=?6657? →R=?14 5? →OF.

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

3.Procédure de décodageOn conserve les mêmes notations que pour le codage.Lors du codage, la matriceXa été transformée en la matriceYtelle que

Y=QX. a.Démontrer que 3X=3Q-1Ypuis que?3x1≡3r1-3r2[26]

3x2≡ -5r1+6r2[26]

b.En remarquant que 9×3≡1 [26], montrer que?x1≡r1-r2[26] x

2≡7r1+2r2[26]

c.Décoder le mot SG.

EXERCICE43points

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction définie sur ]0; 14] par

f(x)=2-ln?x 2?

La courbe représentativeCfde la fonctionfest donnée dans le repère orthogonal d"origine O ci-

dessous :

2 4 6 8 10 12 142

46
Cf PM Q O

Pondichéry522 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

et le pointQprojeté orthogonal deMsur l"axe des ordonnées. L"aire du rectangle OPMQest-elle constante quelle que soit la position du pointMsurCf? L"aire du rectangle OPMQpeut-elle être maximale? Si oui, préciser les coordonnées du pointMcorrespondant.

Justifier les réponses.

EXERCICE55points

Commun à tous les candidats

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambianteT0=25°C et on la place dans un four à température

constanteTF=100°C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

PartieA : Modélisationdiscrète

Pournentier naturel, on noteTnla température en degré Celsius de la boîte au bout denminutes.

On a doncT0=25.

Pournnon nul, la valeurTnest calculée puis affichée par l"algorithme suivant :

Initialisation :Tprend la valeur 25

Traitement :Demander la valeur den

Pouriallant de 1 ànfaire

Tprend la valeur 0,85×T+15

Fin Pour

Sortie :AfficherT

1.Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3minutes.

Arrondir à l"unité.

2.Démontrer que, pour tout entier natureln, on aTn=100-75×0,85n.

3.Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle?

PartieB : Modélisationcontinue

Dans cette partie,tdésigne un réel positif.

On suppose désormais qu"à l"instantt(exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée

parf(t) (exprimée en degré Celsius) avec : f(t)=100-75e-ln5 10t.

1. a.Étudier le sens de variations defsur [0 ;+∞[.

b.Justifier que sit?10 alorsf(t)?85.

2.Soitθun réel supérieur ou égal à 10.

On noteA(θ) le domaine délimité par les droites d"équationt=10,t=θ, y=85 et la courbe représentativeCfdef.

On considère que la stérilisation est finie au bout d"un tempsθ, si l"aire, exprimée en unité

d"aire du domaineA(θ) est supérieure à 80.

Pondichéry622 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5 10 15 20 25 3010

20304050607080901000 5 10 15 20 25 300102030405060708090100110

temps (en minutes) température (en degré Celsius) Cf y=85quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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EXERCICE14points

Commun à tous les candidats

PartieA

0 1 10 13,9

1.On sait quep(T?22)=0,023.

En exploitant cette information :

à 0,023;

2.On choisit un jeune en France au hasard.Déterminer la probabilité qu"il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.

Arrondir au centième.

PartieB

Pour chaque jeune de cet échantillon :

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Calculs de probabilitésOn choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P).

2p+16.

2.Intervalle de confiance

EXERCICE23points

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d"un repère ortho-

Ov-→u,-→v?

On rappelle que dans le pentagone régulier

0A1A2A3A4, ci-contre :

les pointsA0,A1,A2,A3etA4appar-

pour tout entierkappartenant à

Pondichéry222 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.On considère les pointsBd"affixe-1 etJd"affixei2.

Le cercleCde centreJet de rayon1

2coupe le segment [BJ] en un pointK.

CalculerBJ, puis en déduireBK.

2. a.Donner sous forme exponentielle l"affixe du pointA2. Justifier brièvement.

1cos (4*pi/5)

2sqrt((3 - sqrt(5))/2)

3.Dans le repère?

Ov-→u,-→v?

EXERCICE35points

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

PartieA

le point L;

l"intersectionDdes plans (IJK) et (CDH);

la section du cube par le plan (IJK).

Pondichéry322 avril 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

L"espace est rapporté au repère?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

1.Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

2. a.Montrer que le vecteur--→AG est normal au plan (IJK).

3.On désigneparMun point du segment [AG] ettle réel del"intervalle [0; 1] tel que--→AM=t--→AG.

2;12;12?

4.Démontrer que pour ce point N?1

2;12;12?

EXERCICE35points

PartieA

On considère les matricesMde la formeM=?a b

Ainsi det(M)=3a-5b.

1.Dans cette question on suppose que det(M)?=0 et on poseN=1

Justifier queNest l"inverse deM.

2.On considère l"équation (E): det(M)=3.

5(b-3).

PartieB

1.On poseQ=?6 35 3?

2.Codage avec la matrice QPour coder un mot de deux lettres à l"aide de la matriceQ=?6 35 3?

Étape 1 :On associe au mot la matriceX=?x1

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ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

Étape4:À lamatriceR=?r1

Exemple : JE→X=?94?

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

3.Procédure de décodageOn conserve les mêmes notations que pour le codage.Lors du codage, la matriceXa été transformée en la matriceYtelle que

3x2≡ -5r1+6r2[26]

2≡7r1+2r2[26]

les pointsA0,A1,A2,A3etA4appar-

pour tout entierkappartenant à

le point L;

l"intersectionDdes plans (IJK) et (CDH);

la section du cube par le plan (IJK).