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~ 1 ~

C. Lainé

PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE

1. Parallélépipède rectangle

1) Définition

un sommet une arête une face Les faces avant et arrière sont représentées par des rectangles ; les autres faces sont représentées par des parallélogrammes. Les arêtes cachées sont en pointillés. Les dimensions d"un pavé droit sont : la longueur L, la largeur l et la hauteur h.

2) Perspective cavalière

La perspective utilisée en mathématiques s"appelle la perspective cavalière. Elle permet de représenter dans le plan (une feuille) un objet de l"espace (un solide). Les règles de la perspective cavalière sont les suivantes : - les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ; - les arêtes parallèles et de même longueur restent de même longueur ; - les milieux restent au milieu ; - les points alignés restent alignés ;. - les arêtes cachées se représentent en pointillés ; - la " face avant » peut être représentée en vraie grandeur ;

- les arêtes fuyantes sont représentées environ deux fois plus petite que dans la réalité en

suivant un angle d"environ 30° par rapport à l"horizontale.

Objectifs :

• Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin de l"un de ses patrons. • Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir : - du dessin d"un de ses patrons, - d"un dessin le représentant en perspective cavalière. • Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. • Dessiner ou compléter un patron d"un parallélépipède rectangle. Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide qui possède 6 faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes. ~ 2 ~

C. Lainé Exemple

1 : Tracer un rectangle en vraie grandeur

2 : Tracer trois segments parallèles et de

même longueur (arêtes fuyantes)

3 : Relier la 2e extrémité de ces segments

4 : Finir le rectangle caché semblable au

" rectangle avant »

5 : Tracer la dernière arête cachée

3) Cube

4) Patron

Un patron du

parallélépipède rectangle On découpe et on plie On colle les arêtes On obtient le parallélépipède rectangle Un cube est un pavé droit dont les six faces sont des carrés identiques. En découpant un parallélépipède rectangle le long de certaines arêtes, on obtient une surface plane appelée patron. Selon le choix des arêtes découpées, on peut obtenir des patrons différents d"un même parallélépipède. Le patron du solide est la surface construite sur papier qui permet, après collage et pliage, de réaliser le solide. ~ 3 ~

C. Lainé

2. Unités de volume et de capacité

1) Unités de volume

3km 3hm 3dam 3m 3dm 3cm 3mm

Méthode pour changer d"unité de volume :

• Pour passer d"une unité de volume à l"unité immédiatement inférieure, on multiplie par

1 000 ;

• Pour passer d"une unité de volume à l"unité immédiatement supérieure, on divise par

1 000 ;

Exemple : Convertir :

3 32 745 m 2,745 dam= ; 3 33,65 dam 3 650 m= ; 3 30,17 hm 0,00017 km= ;

3 3745 cm 7 450 mm= ; 3 3188,764 m 188 764 dm= ; 3 3223,5 cm 0,0002235 m=.

2) Unités de capacité

On appelle " volume d"un solide » le nombre de cubes (dont les arêtes mesurent

1 unité de longueur) nécessaire pour le remplir complètement.

Le volume d"un cube de 1 centimètre d"arête est 1 3cm. L"unité de contenance est le litre, notée L.

1L est la contenance d"un cube de 1dm d"arête, c"est-à-dire 1 L = 1 3dm.

~ 4 ~

C. Lainé

Méthode pour changer d"unité de capacité :

• Pour passer d"une unité de capacité à l"unité immédiatement inférieure, on multiplie par

10 ;

• Pour passer d"une unité de capacité à l"unité immédiatement supérieure, on divise par 10.

Exemple

: 3 33,5 L 3,5 dm 0,0035 m= =.

3. Formules de volume

L"unité est le petit cube rouge de 1 cm

d"arête, soit le 3cm. Déterminer le volume du parallélépipède en

3cm revient à calculer le nombre de petits

cubes que peut contenir le parallélépipède.

Sur une rangée, on place 6 petits cubes.

Sur une couche, on place 5 rangées de 6

petits cubes, soit

5 6 30× = petits cubes.

Ce parallélépipède peut contenir 4 couches de 30 petits cubes, soit

4 30 120× = petits

cubes.

Chaque petit cube a un volume de 1

3cm, donc le parallélépipède a un volume de 120 3cm.

Figure Aire a

Parallélépipède rectangle

de longueur L, de largeur l et de hauteur h.

V= × ×L hl

Cube de côté c

V= × ×c c c

1dm

1dm 1dm

~ 5 ~

C. Lainé Exemples

a) Quel est le volume d"un cube dont l"arête a pour longueur 5 cm ?

35 5 5 25 5 75 cm= × × = × =V.

b) Il est tombé 70 cm de neige dans une cour de 15 m sur 30 m. Calculer le volume de neige, en litres, recouvrant la cour. La neige remplit un parallélépipède rectangle de longueur 30 m, de largeur 15 m et de hauteur

70 cm 0,7 m=.

D"où :

3 330 15 0,7 315 m 315 000 dm 315 000 L= × × = = =V.

Le volume de la neige recouvrant la cour est de 315 000 litres.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9