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17 sept 2013 · Calcul pratique du rang d'une matrice : exercice rg(A) = 4 K, appelée déterminant et notée det, possédant les trois propriétés suivantes : 

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LESDÉTERMINANTSDEMATRICES

Sommaire

4ͲExercice

Utilité

Ledéterminantseraunoutil

oulespointsdeselled'unefonctiondeplusieursvariables.1Ǧ RappelǦDéfinitionetcomposantesd'unematrice

Unematrice

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derangéesetde colonnes. ,quisontidentifiésparleurposition.

L'élémentܽ

seraitl'entréesituéàla3 e rangéeet2 e colonnedelamatriceܣ entreeux.L'élémentܽ ,distinctdeܽ ,estsituéàla2 e rangéeet3 e colonnedela matriceܣ

2Ǧ Ledéterminantd'unematrice

dénotepar

3Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૛ൈ૛

Considéronslamatriceܣ

Ledéterminantdelamatriceܣ

faudraretenir

Page3sur9

Exemple

Soitlamatrice

LedéterminantdeAestainsi

4Ǧ Exercice

Solutions:a)Ͳ17b)0c)5d)11

quis'y rattachent...

5Ǧ Définitiond'unmineur

Lemineurܯ

la2 e colonnedeܣ

Lemineurܯ

e rangéeetla 2 e colonnedeܣ

Page4sur9

6Ǧ Définitiond'uncofacteur

Lecofacteur,ܥ

,d'unematriceܣ

àl'exceptionparfoisdeleursigne.

Considéronsànouveaulamatrice

,est

Ils'avèrequelemineur,ܯ

,etlecofacteur,ܥ ,sontdesignesdifférents.

Lemineurܯ

,est

Cettefois,lemineur,

,etlecofacteur, ,sontidentiques.

7Ǧ ExpansionparcofacteursǦméthodedecalculdes

déterminants

Soitܣunematricecarréeetܥ

uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundeséléments

delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...

Fairelasommedecesrésultats.

Page5sur9

8Ǧ Calculdudéterminantpourunematrice૜ൈ૜

Pourunematrice͵ ൈ ͵,celavoudraitdirequ'enchoisissantdefaireuneexpansionle faudraitcalculer

Exemple

Quelestledéterminantdelamatriceܣ

Solution

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangée.

correspondants...Lesélémentsdelapremièrerangéesontͳͳ ൌ ʹǡͳʹ ൌ

ͳǡͳ͵ ൌ ͵quel'onmultipleaveclescofacteurscorrespondants,c'estͲàͲdire quisont

Finalement,ils'agitdefairelecalcul

Page6sur9

etܥ .Poursapart,le cofacteurcorrespondantàܽ est

Ledéterminantdeܣ

premièrerangée.

9Ǧ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants

associeunsignepositifàlapositionܽ horizontalementouverticalement.

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

rangéeoulacolonnedeܣ

Multiplierchacundesélémentsܽ

colonnedanslesquellessetrouveܽ lorsdelapremièreétape.

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Exemple

Soitdonclamatriceܣ

Choisissonsla3

e e rangée e colonnenousindiquentles déterminant:

10Ǧ Exercice

Solutions:a)24b)Ͳ12c)Ͳ66d)0

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11Ǧ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus

cofacteurs:

Soitܣunematricecarréeetܥ

uneexpansionparcofacteurscommesuit:

Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ

Multiplierchacundes

élémentsܽ

delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...

Fairelasommedecesrésultats.

d'unematrice rangée(lai e )etunecolonne(laj e )deܣ

Exemple

Calculerledéterminantdelamatrice

e colonne.Nous e colonnecequiveut direque

Commeܽ

etܽ etܥ .Pourleur part,lescofacteursܥ etܥ serontnécessaires...

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Nousvouslaissonsvérifierqueܥ

ൌͳͺetܥ deܣ

Exercice

expansionparcofacteurslelongde a) la1èrerangée b) la3 e colonnequotesdbs_dbs18.pdfusesText_24