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[PDF] Chapitre 7 D´eterminants

ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux, alors son déterminant est Une application de Mn(R) dans R qui satisfait la propriété i) est appelée forme

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matrice carré de taille n quelconque On va admettre qu'on peut calculer les déterminants et voir des méthodes de calcul et les propriétés Si n = 4 : Soit A = ⎛

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Les matrices colonnes sont les matrices `a une colonne : Matrices, déterminants 19 / 38 3 2 Propriétés Théor`eme Soit A et B deux matrices carrées 

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(les matrices M1j sont carrées de taille (n − 1), d'où le caractère récursif de la définition) Listons les principales propriétés satisfaites par le déterminant

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permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci 3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 :

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Ex : soit le déterminant suivant : Page 5 L3 Math Stat 1 Module 2 – les déterminants M2 5/6 32 605 842 731 −= On utilise cette propriété pour obtenir des 0 

[PDF] CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant

La trace d'une matrice carrée A est la somme de ses coefficients diago- naux : Ces propriétes se démontrent directement à partir de la formule de défi- nition 

[PDF] Chapitre 6 Déterminant dune matrice carrée

Le système Ax = b admet-il une unique sol ? Oui Non Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres

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17 sept 2013 · Théor`eme : propriétés d'invariance Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice La suppression d'une colonne nulle ou 

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Les matrices - Propriétés du

déterminant (1)

Notes rédigées par Laurent ZIMMERMANN??????Trois propriétés de base du déterminant sont expliquées. Nous considérons les

propriétés du déterminant en rapport avec les opérations de transposition matricielle et de

permutation de lignes ou de colonne. De même, nous expliquons pourquoi une matrice dont La matricetransposée(At)d"une matrice donnée(A)s"obtient en permutant ses élé- devient la première colonne et vice versa, et ainsi de suite.De manière générale, si (A)ij=aij alors (At)ij=aji

Une matrice et sa transposée possèdent le même déterminant. Cette propriété résulte

directement du fait que le déterminant peut se calculer en le développant indifférem- ment selon n"importe quelle ligne ou colonne. det(At) =det(A) 2 Ces deux déterminants, de même valeur, correspondent, selon leur ordre, aux aires, volumes ou hypervolumes de deux parallélogrammes, parallélépipèdes ou parallé- lotopes différents, construits soit sur les vecteurs colonnes de la matrice, soit sur ses

vecteurs lignes de la même matriceA.Si deux rangées parallèles d"une matrice sont permutées, le déterminant de la nou-

velle matrice est l"opposé du déterminant de la matrice de départ (cette permutation entraîne un changement de signe du déterminant, mais pas de sa valeur absolue). Cette propriété découle des propriétés du produit mixte. Lorsque plusieurs permutations sont effectuées, le déterminant change plusieurs fois de signe. Ainsi, aprèsnpermutations de rangées parallèles le déterminant est multi- plié par(1)n. Si deux rangées parallèles d"une matrice sont identiques ou multiples l"une de l"autre (proportionnelles l"une à l"autre), son déterminant est nul. Cette propriété résulte du fait que, dans le développement du déterminant, les mi- neurs 22 impliquant les deux rangées identiques sont tous nuls. (Si ces rangées ne sont pas les deux dernières, elles peuvent y être amenées par permutations.) Cette situation s"interprète géométriquement, par exemple à trois dimensions, en re- marquant qu"il n"est pas possible de construire un parallélépipède sur trois vecteurs si deux d"entre eux sont confondus ou parallèles.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50