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Correction - Bac S Spé. Maths - Liban - 28 Mai 2013
Correction du Baccalauréat S
Liban - 28 Mai 2013
www.mathexams.fr Pour les candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité mathsExercice 1.4 pointsCommun à tous les candidats
L"espace est rapporté à un repère orthonorméO,¡!ı,¡!|,¡!k´
Les points A, B, Cet D ont pour coordonnées respectives A(1 ;¡1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(¡3 ; 5 ; 4) et D(1; 2; 3).
On a les équations des droitesD:8
:xAEtÅ1 yAE2t¡1 zAE3tÅ2,t2RetD08< :xAEkÅ1 yAEkÅ3 zAE¡kÅ4,k2R.On notePle plan d"équationxÅy¡zÅ2AE0.
Question 1 : Proposition d. Les droitesDetD0sont orthogonales.Des vecteurs directeurs des droitesDetD0sont respectivement¡¡!vD(1 ; 2 ; 3) et¡¡!vD0(1 ; 1 ;¡1)
Le produit scalaire¡¡!vD.¡¡!vD0AE0 donc les vecteurs directeurs des droites sont orthogonaux.
Question 2 : Proposition c. Le planPcontient la droiteDet est orthogonal à la droiteD0.- En remplaçant les coordonnées d"un point de la droiteDdans l"équation du planPon vérifie bien que le plan
Pcontient la droiteD. Pour tous les réelston a : (tÅ1)Å(2t¡1)¡(3t¡2)Å2AE0.En remplaçant les coordonnées d"un point de la droiteD0dans l"équation du planPon vérifie bien que le plan
Pne contient pas la droiteD0. Pour tous les réelston a : (kÅ1)Å(kÅ3)¡(¡kÅ4)Å2AE3kÅ2.
Cela élimine les propositions b et d.
- Un vecteur normal au planPest¡¡!nP(1 ; 1 ;¡1) qui est colinéaire (même égal) à¡¡!vD0(1 ; 1 ;¡1), donc le planP
contient la droiteDet est orthogonal à la droiteD0. Question 3 : Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral. AB (2 ; 4 ; 6) ,¡¡!BC (¡6 ; 2 ;¡4),¡¡!AC (¡4 ; 6 ; 2) ,¡¡!AD (0 ; 3 ; 1). - Les vecteurs¡¡!AC (¡4 ; 6 ; 2) et¡¡!AD (0 ; 3 ; 1) ne sont pas colinéaires, donc cela élimine la proposition a.
- AB = 2p14 = BC = AC, donc le triangle ABC est équilatéral.Question 4 : Proposition b.
¡!n(3 ;¡1 ; 2)
-¡!n(1 ; 1 ;¡1) n"est pas orthogonal à¡¡!vD0(1 ; 1 ;¡1) ce qui élimine la proposition d.
- Les 3 autres vecteurs sont bien orthogonaux à¡¡!vD0(1 ; 1 ;¡1).- L"équation deP0, le plan contenant le point A(1 ;¡1 ; 2) et de vecteur vecteur normal¡!n(3 ;¡1 ; 2) est :
(x¡1)£3Å(yÅ1)£(¡1)Å(z¡2)£2AE0 soit 3x¡yÅ2z¡8AE0En remplaçant les coordonnées d"un point de la droiteD0dans l"équation du planP0on vérifie bien que le plan
P0contient la droiteD0.
Pour tous les réelskon a : 3(kÅ1)¡(kÅ3)Å2(¡kÅ4)¡8AE0.www.mathexams.fr1/7 Correction - Bac S Spé. Maths - Liban - 28 Mai 2013Exercice 2.5 pointsCommun à tous les candidats
L"entrepriseFructidouxfabrique des compotes qu"elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite
leur attribuer la dénomination "compote allégée».La législation impose alors que la teneur en sucre, c"est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit com-
prise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L"entreprise possède deux chaînes de fabrication F1et F2.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendammentPartie A
La chaîne de production F
2semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaîne F1et 30% de la chaîne F2.
La chaîne F
1produit 5% de compotes non conformes et la chaîne F2en produit 1%.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
E: "Le petit pot provient de la chaîne F2»
C: "Le petit pot est conforme.»
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.30
100991001
100
70
10095
1005
100E
(F2)CC E (F1)CC
2. Calculer la probabilité de l"évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production
F1.»
On cherche à calculerP³
C\E AEPE (C)£P³EAE95100
£70100
doncP³ C\EAE66,5100.
3. Déterminer la probabilité de l"évènementC.
On aP(C)AEP(C\E)ÅP³
C\EAE99100
£30100
Å66,5100
soitP(C)AE96,2100.4. Déterminer, à10¡3près, la probabilité de l"évènementEsachant que l"évènementCest réalisé.
PC(E)AEP(E\C)P
(C)AEPE(C)£P(E)P (C)AE99100£30100
96,2100
et doncPC(E)¼30,9%.
Partie B
1.On noteXla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1, associe
sa teneur en sucre. On suppose queXsuit la loi normale d"espérancem1AE0,17 et d"écart-type¾1AE0,006.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.®¯P(®6X6¯)0,130,150,00040,140,160,0478
0,150,170,4996
0,160,180,9044
0,170,190,4996
0,180,200,0478
0,190,210,0004
Donner une valeur approchée à10¡4près de la probabilité qu"un petit pot prélevé au hasard dans la pro-
duction de la chaîne F1soit conforme.
En utilisant le tableau on a :P(0,166X60,18)AE0,9044. www.mathexams.fr2/7 Correction - Bac S Spé. Maths - Liban - 28 Mai 20132.On noteYla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2, associe
sa teneur en sucre. On suppose queYsuit la loi normale d"espérancem2AE0,17 et d"écart-type¾2.On suppose de plus que la probabilité qu"un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F
2 soit conforme est égale à 0,99. Soit Z la variable aléatoire définie parZAEY¡m2¾ 2. a. Quelle loi la variable aléatoireZsuit-elle? D"après le cours, on sait queZsuitune loi normale centrée réduiteN(0;1).b. Déterminer, en fonction de¾2l"intervalle auquel appartientZlorsqueYappartient à l"intervalle
[0,16; 0,18].Si 0,166Y60,18 on a :0,16¡m2¾
26Y¡m2¾
260,18¡m2¾
2et donc¡0,01¾
26Z60,01¾
2c. En déduire une valeur approchée à10¡3près de¾2.
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoireZsuit la loi normale
d"espérance 0 et d"écart-type 1.¯P(¡¯6Z6¯)2,43240,9852,45730,986
2,48380,987
2,51210,988
2,54270,989
2,57580,990
2,61210,991
2,65210,992
2,69680,993
D"après les données on sait que la probabilité qu"un petit pot prélevé au hasard dans la production de la
chaîne F2soit conforme est égale à 0,99, doncP(0,166Y60,18)AE0,99.
De ce fait d"après la question précédente :Pµ¡0,01¾26Z60,01¾
AE0,99
Le tableau de valeurs nous donne alorsP(¡¯6Z6¯)AE0,99 pour¯AE2,5758.On en déduite que¾2AE0,012,5758
¼0,004 à 10¡3près.
www.mathexams.fr3/7 Correction - Bac S Spé. Maths - Liban - 28 Mai 2013Exercice 3.6 pointsCommun à tous les candidats
Étant donné un nombre réelk, on considère la fonctionfkdéfinie surRpar f k(x)AE11Åe¡kx.Partie A
Dans cette partie on choisitkAE1. On a donc, pour tout réelx,f1(x)AE11Åe¡x. La représentation graphiqueC1de la fonctionf1dans le repère³O,¡!ı,¡!|´
est donnée en ANNEXE.1. Déterminer les limites def1(x)enÅ1et en¡1et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
On a limx!Å1e¡xAE0 et limx!¡1e¡xAEÅ1.Donc :
- limx!Å1f1(x)AE1, la courbeC1présente une asymptote d"équationyAE1 enÅ1. - lim x!¡1f1(x)AE0, la courbeC1présente une asymptote d"équationyAE0 en¡1.2. Démontrer que, pour tout réelx,f1(x)AEex1Åex.
En multipliant numérateur et dénominateur par e x, non nul quelque soitx, on a : f1(x)AE11Åe¡xAEex(
1Åe¡x)£exAEex1Åex.
3. On appellef01la fonction dérivée def1surR. Calculer, pour tout réelx,f01(x). En déduire les variations de
la fonctionf1surR. f1(x)AE11Åe¡xest de la forme1u(x)avecu(x)AE1Åe¡x.uest non nul pour toutx, de ce faitf1est dérivable
etf01(x)AE¡u0(x)u2(x). On obtient alors facilementf01(x)AEe¡x(
1Åe¡x)2.
f01(x)est donc positif pour toutxetf1est croissante strictement surR.
4. On définit le nombreIAEZ
1 0 f1(x)dx. Montrer queIAElnµ1Åe2 . Donner une interprétation graphique. -Calcul deI. f1(x)AEex1Åexest de la formev0(x)v(x)avecv(x)AE1Åex.vétant strictement positif surR, une primitive de
f1(x) est lnv(x).
IAEZ 1 00AEln(1Åe)¡ln2 et doncIAElnµ1Åe2
-Interprétation deI.Ireprésente l"aire du domaine plan délimité par l"axe des abscisses, la courbe représentativeC1de la
fonctionf1et les droites parallèles à l"axe des ordonnées d"équations respectivesxAE0 etxAE1. L"unité
d"aire étant l"aire du rectangle construit sur les vecteurs du repèrePartie B
Dans cette partie, on choisitkAE¡1 et on souhaite tracer la courbeC¡1représentant la fonctionf¡1.
Pour tout réelx, on appellePle point deC1d"abscissexetMle point deC¡1d"abscissex.On noteKle milieu du segment [MP].
1. Montrer que, pour tout réelx,f1(x)Åf¡1(x)AE1.
Pour tout réelx,f1(x)Åf¡1(x)AE11Åe¡xÅ11ÅexAE1ÅexÅ1Åe¡x(Donc pour tout réelx f1(x)Åf¡1(x)AE1.
www.mathexams.fr4/7 Correction - Bac S Spé. Maths - Liban - 28 Mai 20132. En déduire que le pointKappartient à la droite d"équationyAE12
Le pointKest le milieu du segment [MP] donc ses coordonnées sont :K³xMÅxP2 ;yMÅyP2SoitKµxÅx2
;f1(x)Åf¡1(x)2 pointKsont doncKµ x;12 De ce fait, le pointKappartient à la droite d"équationyAE123. Tracer la courbeC¡1sur l"ANNEXE, à rendre avec la copie.
On trace la droite d"équationyAE12
. D"après ce qui précède les courbesC1etC¡1sont symétriques par rapport à cette droite ce qui permet de construireC¡1.¡4¡3¡2¡11234¡2¡112
O4. En déduire l"aire, en unités d"aire, du domaine délimité par les courbesC1,C¡1l"axe des ordonnées et la
droite d"équationxAE1. - De la relationf1(x)Åf¡1(x)AE1 on obtient facilement quef¡1(x)AE1¡f1(x) et doncf1(x)¡f¡1(x)AE2f1(x)¡1. - Commef1(0)AE12 etdonc2f1(x)¡1¸0.Il en résulte que sur [0;1] ,f1(x)¡f¡1(x)¸0 ce qui entraîne queC1est située au dessus deC¡1.
- L"aire, en unités d"aire, du domaine délimité par les courbesC1,C¡1l"axe des ordonnées et la droite
d"équationxAE1 est donc donnée par :JAEZ 10¡f1(x)¡f¡1(x)¢dx.
- Le calcul deJAEZ 10¡2f1(x)¡1¢dxest alors facile car par linéarité de l"intégrale :JAE2I¡1.
On obtient doncJAE2lnµ1Åe2
¡1ce qui nous donne l"aire recherchée en unités d"aire.Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètrek.Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21