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S Liban mai 2013

Exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite ( un) définie par u0=3 et u1=8 et pour tout entier naturel n : un+2=5un+1-6un.

1. Calculer u2 et u3

2. Pour tout entier naturel n  2, on souhaite calculer un à l'aide de l'algorithme suivant :

Variables : a, b et c sont des nombres réels i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égal à 2

Initialisation : a prend la valeur 3

b prend la valeur 8

Traitement : Saisir n

Pour i variant de 2 à n Faire

c prend la valeur a a prend la valeur b b prend la valeur . . . .

Fin Pour

Sortie : Afficher b

a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter. On obtient avec cet algorithme le tableau suivant : b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite ( un) ?

3. Pour tout entier naturel n, on note Cn la matrice colonne

(un+1 un) On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,

Cn+1=ACn

Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn=AnC0.

4. Soient P =

(23

11), D = (20

03) et Q = (-13

1-2) Calculer QP.

On admet que A=PDQ

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,

An=PDnQ5. A l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant que l'on admet.

Pour tout entier naturel non nul n :

An= (-2n+1+3n+13×2n+1-2×3n+1

-2n+3n3×2n-2×3n) En déduire une expression de un, en fonction de n.

La suite ( un) a-t-elle une limite ?

S Liban mai 2013

CORRECTION

u0=3, u1=8 pour tout entier naturel n, un+2=5un+1-6un1. u2=5u1-6u0=5×8-6×3=40-18=22 u2= 22 u3=5u2-6u5×22-6×8=110-48=62 u3= 62

2. a.

b. Conjecture : ( un) est une suite croissante

3. Cn=

(un+1 un) Cn+1= (un+2 un+1) On a un+2=5×un+1-6×un un+1=1×un+1+0×un

En utilisant la notation matricielle

(un+2 un+1)= (5-6

10)(un+1

un) Donc

Cn+1=ACn avec A = (5-6

10) On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier

naturel n, on a : Cn=AnC0

Initialisation

Pour n = 0, il faut convenir que A0=I=

(10

01) (Pour n = 1, on a :

C1=AC0)

La propriété est vérifiée pour n = 0.

Hérédité

pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose

que Cn=AnC0 et on doit démontrer que Cn+1=An+1C0

Or Cn+1=ACn=A(AnC0)=(AAn)C0=An+1C0

Conclusion

Le principe de récurrence nous permet de conclure que tout entier naturel n, on a Cn=AnC0

4. En utilisant la calculatrice, on obtient QP =

(10

01)= I

Remarque

QP = (-13

1-2)(23

11)= (-2+3-3+3

2-23-2)= (10

01)= I

On admet alors que :

A=PDQ (On peut facilement vérifier le résultat avec la calculatrice)

Remarque

PDQ = (23

11)(20

03)(-13

1-2)= (4+0×30×2+9

2+0×10×1+3)(-13

1-2) PDQ =

(49

23)(-13

1-2)= (-4+912-18

-2+36-6)= (5-6

10)= A

S Liban mai 2013

On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a : An=PDnQ Initialisation

Pour n = 1

PD1Q=PDQ=A (on a admis ce résultat)

La propriété est vérifiée pour n = 1

Hérédité

Pour démontrer que la propriété est héréditaire, pour tout entier naturel n, on suppose que

An=PDnQ et on doit démontrer que An+1=PDn+1Q.

Or An+1=An×A=[PDnQ]×[PDQ]=PDn[QP]DQ= PDnIDQ=P∣DnD]Q=PDn+1Q

Conclusion

Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n

An=PDnQ.

5. Cn=AnC0

(un+1 un)= (-2n+1+3n+13×2n+1-2×3n+1 -2n+3n3×2n-2×3n)(u1 u0) et un=(-2n+3n)u1+(3×2n-2×3n)u0=8×(-2n+3n)+3×(3×2n-2×3n) =

2n+2×3n un=2n+2×3n

( on peut vérifier le résultat pour u0 ; u1 ; u2 ; u3)

2 > 1 donc

limx→n:+∞

2n= +∞

3 > 1 donc limn→+∞3n= +∞

Conséquence

limn→+∞ un= +∞ ( un) est une suite divergente admettant une limite infinie.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21