1 avr 2014 · b) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗ AB et ⃗ AM sont orthogonaux ? Droite perpendiculaire à
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[PDF] Ensemble de points- Lieu de points Objectif
1 avr 2014 · b) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗ AB et ⃗ AM sont orthogonaux ? Droite perpendiculaire à
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie IndexObjectif : .................................................................................................................................................... 1
Quelques exemples déjà connus ................................................................................................................ 1
Exemple 1 ............................................................................................................................................. 1
Exemple 2 ............................................................................................................................................. 1
Exemple 3 ............................................................................................................................................. 1
Quelques modèles à partir du produit scalaire .......................................................................................... 2
Exemple 1 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 2 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 3 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 4 ............................................................................................................................................. 2
Objectif :
Des points fixes sont donnés.
M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique, analytique, longueur, produit scalaire,
équation, ...).
On cherche l'ensemble e des points M du plan (tous et seulement eux) vérifiant cette relation r. Autrement dit : M ∈ e si et seulement si r est vraie.Quelques exemples déjà connus
Vous connaissez quelques cas depuis longtemps (et même plus!)Exemple 1
a) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 3 ? Cercle de centre A et de rayon 3. AM = 3 si et seulement si M ∈ c(A, 3) b) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 0 ? Le point A. AM = 0 si et seulement si M = A. c) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = -1 ? L'ensemble vide. On note : ∅ l'ensemble vide.Exemple 2
a) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont colinéaires ?Droite (AB).
⃗AB et ⃗AM sont colinéaires si et seulement si M ∈ (AB). b) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux ?Droite perpendiculaire à (AB) en A.
⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux si et seulement si M ∈ avec A ∈ et ⊥ (AB). c) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux ?" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
Jørn Riel in La maison de mes pères
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieCercle de diamètre [AB]. ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux si et seulement si M
appartient au cercle de diamètre [AB]d) A et B sont donnés et distincts, et I milieu de [AB], quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux ? Médiatrice de [AB] I milieu de [AB] et ⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux si et seulement siM appartient à la médiatrice de [AB].
Exemple 3
Dans un repère du plan, quel est l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que a) 2x - y + 5 = 0Droite d'équation 2x - y + 5 = 0 (ou y = 2x + 5 = 0) ou droite passant par A(0 ; 5) et B(1 ; 7) ou ....
b) y = (x - 1)² + 2 Parabole d'équation y = (x - 1)² + 2, sommet S(1 ; 2), .... c) xy = 1Hyperbole d'équation y =
1 x (les asymptotes sont les axes de coordonnées) d) x = 5 Droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A(5 ; 0) e) y = -1 Droite parallèle à l'axe des abscisses passant par A(0 ; -1) f) {2x+y=4 x-y=5Le point de coordonnées (3 ; -2).
Quelques modèles à partir du produit scalaire Dans ces quatre exemples, [AB] est un segment de longueur 4 et I est le milieu de [AB].Exemple 1
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 ?On sait que MA² + MB² =
⃗MA² + ⃗MB² (c'est grâce à cette égalité que l'on peut passer des longueurs au
produit scalaire). Or, ⃗MA² = (⃗MI+⃗IA)² = ⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA et⃗MB² = (⃗MI+⃗IB)² = ⃗MI² + ⃗IB² + 2⋅⃗MI⋅⃗IBI, étant le milieu de [AB], on sait :
⃗IB = -⃗IA = 12⃗AB (ou encore : ⃗IA+⃗IB = ⃗0)
La somme : MA² + MB² =
⃗MA² + ⃗MB²⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA + ⃗MI² + (-⃗IA)2 - 2⋅⃗MI⋅⃗IA
" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
Jørn Riel in La maison de mes pères
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie On en déduit donc : MA² + MB² = 2MI² + 2.IA² = 2MI² + AB22 (Dans le deuxième membre, l'inconnu
(point M) n'apparaît qu'une seule fois.) La recherche de l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 revient à celle de l'ensemble des points M du plan tels que 2MI² + 2.IA² = 26. Avec les données numériques : IA = 2, donc : 2MI² = 26 - 2×4 = 18MI² = 9
et comme MI est une longueur, seule la solution positive est acceptable : MI = 3L'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 est l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3.
Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = k ?La démarche précédente s'applique ...
MA² + MB² = k ⇔ 2MI² +
AB22 = k ⇔ 2MI² = k -
AB22Si k - AB2
2 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
Si k -
AB22 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.
Si k - AB2
2 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :
2.Exemple 2
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗MA⋅⃗MB = 5 ? ⃗MA = ⃗MI+⃗IA et ⃗MB = ⃗MI+⃗IB = ⃗MI-⃗IA.⃗MA⋅⃗MB = (⃗MI+⃗IA)(⃗MI-⃗IA) = ⃗MI² - ⃗IA² = MI² - AB2
4. (Dans le dernier membre, l'inconnu (point M)
n'apparaît qu'une seule fois.) ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB24 = 5.
Comme AB = 4, on cherche l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3. (Voir cas précédent).
Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général :Quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗MA⋅⃗MB = k ?La démarche précédente s'applique ...
" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
Jørn Riel in La maison de mes pères
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB24 = k ⇔ MI² = k +
AB2 4.Si k + AB2
4 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
Si k +
AB24 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.
Si k + AB2
4 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :
2Exemple 3
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB⋅⃗AM = 6 ? b) Cas général :Quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗AB⋅⃗AM = k ?La démarche s'applique ...
Exemple 4
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = 8 ? b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = k ?" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »