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[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Lycée Blaise Pascal TSI 1 année FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−−→ x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x)

[PDF] Chapter 1 Limites et Equivalents - PédagoTech de Toulouse INP

exactement traduite dans les limites précédentes Ainsi f (x) et k (x) Rappels de maths L'équivalence de sinx permet de résoudre l'indétermination 1 3 ln (1 

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Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un outil simple d'une grande efficacité pour calculer des limites De plus la notion a un intérêt 

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Maths PCSI Cours/Exercices 2 Calculs effectifs de limites, équivalents et DLs 5 On traitera en parall`ele la question des limites de suites ou de fonctions

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DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉQUIVALENTS I DÉVELOPPEMENTS Attention : il est incorrect en math d'écrire qu'une fonction est équivalente à 0

[PDF] Résumé ; développements limités, équivalents - Maths-francefr

−x+x5) mais sin x − ln(1 + x) n'est pas du tout équivalent en 0 à x2 + x5 Pour obtenir, un équivalent de somme, on revient à = et o( ) (f ∼ x→ag ⇔ g 

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g(x) Fonction Équivalent Fonction Équivalent Fonction Équivalent sin x ∼ 0

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MathsPCSICours/Exercices

Introductionauxcalculsdelimites,

equivalentsetdeveloppementslimites

Tabledesmatieres

1Unpeudetheorie2

1 assuree. 12 n 3n x!x!01;onpourradoncfaireapparaitre

DEFORCEuntermedecetype.

1Unpeudetheorie

1.1Rappelssurleslimites

xlorsquex!0). pasdelimite. melanges,etpasvraimentcompris: Th eor alorsvn!n!1l. Th eor eme2(Passaged'in egalit esalalimite)Siunvnpourtoutn2Net u n!n!1l1etvn!n!1l2,alorsl1l2. l'autrec'estunehypothese.

1.2Faussesideesetcontre-exemples

{Quediredef(x) x

0?Ben...pasgrandchose.

2 lorsquex!+1,aveclerapportf(x) exempleoulerapportf(x) g(x)nepossedepasdelimiteen+1. x!x!+15? f(x) x!x!+15=)f(x)!x!+15x f(x) x!x!+15=)f(x)5x!x!+10 f(x) x!x!+15=)f(x)5x!x!+1l2R f(x) x!x!+15=)f(x)5x!x!+1l2R[f+1g f(x) x!x!+15=)f(x)5x!x!+1l2R[f1g

Kn!n!1lK.Mais...

Exercice7Determinerlimn!1

11 n n

1.3Notionsd'equivalentetdenegligeabilite

D efinition1 lorsque un vn!n!11. u n=o(vn))lorsqueun vn!n!10. D efinition2 g(x))lorsquef(x) g(x)!x!x01. f(x)=o(g(x)))lorsquef(x) g(x)!x!x00.

Exemples1

1.Onax2+3xx!03x,maisx2+3xx!+1x2.

3

2.Dem^eme,sinx0xalorsquesinx=+1o(x).

Remarques1

copies...

Siunvnetvnwnalorsunwn.

Siunvnetvn=o(wn)alorsun=o(wn).

Siun=o(vn)etvn=o(wn)alorsun=o(wn).

\n2o(1=n3)=o(1=n)".

Siunvnetu0

nv0nalorsunu0 nvnv0n.

Siun=o(vn)etu0

n=(vn)alorsun+u0 n=o(vn).

Exercice9Prouvercesresultats.

M^emechosesif(x)!x!x00+.

Exercice12Onprendun=1+1

n,vn=1+2n,u0 n=1+1n2etv0n=1+2n2Verierque u nvnetu0 nv0n.Quediredeun+u0 nvis-a-visdevn+v0n?CONCLUSION?

Exercice13(Calculatricesinterdites)

xpourx2[0;1].M^emechoseavec1 x,1x2etlnxpourx2]0;1]. x2[1;+1[. sicen'estpasdejalecas.

1aheum...

4

1.5Premiersexercices

6+o(x3).

Exercice15Determinerlimn!1

12 n 3n

Exercice16Trouverunequivalentsimplede1

x1sinxlorsquextendvers0.

Exercice17Trouverunequivalentsimplede1

x21sin2xlorsquextendvers0.

2.1Developpementslimitesusuels

Proposition2Lorsquex;u;v!0,ona:

1.sinx=xx3

3!+x55!+o(x5).

2.cosx=1x2

2!+x44!+o(x5).

3.ex=1+x+x2

2!+x33!+o(x3).

4.ln(1+u)=uu2

2+u33+o(u3).

5.Si2R,(1+u)=1+u+(1)

2u2+o(u2).

6. 1

1v=1+v+v2+o(v2).

7.Plusaccesoirement,tanx=x+x3

3+o(x4).

1vapartirdeceluide

(1+u)1.DonnerennuneautrepreuveduDLde1

1vensommantunesuitegeometrique...

2.2Quelquesideesimportantes

5 g1(x)g2(x)Onn'estpasformellement

6.Sionchercheunequivalentdee'(x),oncommenceparchercherunequivalentsimple'(x) (x),

puis

2onecrit'(x)= (x)+truc(x),desortequee'(x)=e (x)etruc(x),etonrecommenceavec

2.3Deslimites

1.limt!1t

t1

1t+ln(1+t);

2.limt!1lnt

t1;

3.limn!1

11 npn n5=3

4.limt!1+t

t1

1t+ln(t)etlimt!1t

t11t+ln(t);

5.limx!1xp

x (px)x; 6.lim x! 2 2x sinx ln(cosx);

1.limx!0+1

1xx+1xlnx;

2.limx!1p

x+pxpx;

3.limx!0(cosx)cotan2x;

4.lim x!

2(tanx)tan(2x);

5.lim x!

Exercice22(Difficilepourdesn

suivants...disonsquec'estbienparti!

1.limx!=21

cos2x+1ln(sin2x);

2.limx!0(sinx)xxsinx

(tanx)xxtanx;

3.limx!2(2x+3x12)tan(

4x);

4.limx!1

e 1+1 x p x2+1px21

2Bienentendu,'(x) (x)n'impliquepase'(x)e (x)...

6

2.4Desequivalents

1.ln(tanx)lorsquex!0+puislorsquex!

4; 2. p x2+x3px3+2x2lorsquex!0+puislorsquex!+1; 3. 1 x1tanxlorsquex!0;

4.e1=xx(x+1)

x2lorsquex!1; 5. p ln(2n+1)pln(2n)lorsquen!1;

6.ln(n+1)

ln(n) n

1lorsquen!1.

Exercice24Pareil...maisenplusdicile.

1. lnx ln(x1) x2 lorsquex!1; 2.ep x2+x+1lorsquex!1;

3.etan2xlorsquex!

2; 4. lnn nln2n2+ln2(n1)2lorsquen!1;

5.xx(sinx)xx3

6lorsquex!0.

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