Calculons tout d'abord la longueur du troisième côté Dans le triangle EFG rectangle en E D'après le théorème de Pythagore, nous avons : FG² = EF² +
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Cercle circonscrit dun triangle rectangle Activité 2 - Cours, examens
Activité 4 : Démonstration du théorème de Pythagore 1 À partir de quatre triangles rectangles identiques, on obtient la figure ci-contre, sur laquelle A, M, B ; B,
[PDF] Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle
Calculons tout d'abord la longueur du troisième côté Dans le triangle EFG rectangle en E D'après le théorème de Pythagore, nous avons : FG² = EF² +
[PDF] THEOREME DE PYTHAGORE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés En clair, si on s'appuie
[PDF] TRIANGLE RECTANGLE ET DEMI - CERCLE CIRCONSCRIT
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l'hypoténuse du triangle Les données ( ou ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, on a : 79 ,8
[PDF] CARACTERISATION DU TRIANGLE RECTANGLE - Epsilon 2000
2) Caractérisation du triangle rectangle l'aide de la propriété de Pythagore théorème de Pythagore Si ABC est Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a
[PDF] FICHE DE REVISIONS : TRIANGLES RECTANGLES ▫ Théorème
Il s'agit de la contraposée du théorème de Pythagore et non de sa réciproque Page 2 3ème ▫ Triangle rectangle et cercle circonscrit Propriété :
[PDF] CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE
démontre en particulier les théorèmes de Thalès et Pythagore I Propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle (Découverte par Thalès) Si un triangle
[PDF] TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
triangle rectangle et longueurs (Théorème de Pythagore − contrat 2) ▫ triangle rectangle et angles (Cosinus − contrat 7) II LE TRIANGLE RECTANGLE :
[PDF] Triangle rectangle et le cercle + Théorème de Pythagore + Cosinus
Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant de ses sommets La propriété réciproque du cercle circonscrit au triangle rectangle :
[PDF] Le verbe
[PDF] Le verbe : les modes et les temps
[PDF] Le verbe : les voix
[PDF] Le verbe conjugué en dernière position
[PDF] Le verbe conjugué en première position
[PDF] Le verbe estar
[PDF] Le verbe ser
[PDF] Le vocabulaire de l’abstrait
[PDF] Le vocabulaire de l’analyse des sentiments
[PDF] Le vocabulaire de l’argumentation
[PDF] Le vocabulaire de l’interrogation
[PDF] Le vocabulaire des genres littéraires
[PDF] Le vocabulaire des sensations
[PDF] Le vocabulaire du jugement, la modalisation
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Calculer l·MLUH GX PULMQJOH UHŃPMQJOH $%FB
2. Calculer les aires des triangles CIB , AIC et
BIA .
3. En déduire que ar + br + cr = ab , puis que
c b a ab r4. Applications numériques : ( unité : le cm )
a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5. b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangleEFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13.
Exercice 2:
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT.
2. Déterminer BR et AS.
THEME :
Calcul du rayon du cercle
inscrit dSun triangle rectangle3. En constatant que BA = BT + TA, en déduire que :
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a rFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1 :
1. Aire du triangle ABC :
IH PULMQJOH $%F pPMQP UHŃPMQJOH HQ F O·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j : 2 ab 2 b a 2AC BCu u
2. Calcul des aires des triangles CIB , AIC et
BIA :Aire du triangle CIB :
2 r a 2IR BCu
Aire du triangle AIC :
2 r b 2IS ACu
Aire du triangle BIA :
2 r c 2IT ABu
3. Calcul de r en fonction de a , b et c :
I·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j OM VRPPH GHs aires des trois triangles CIB , AIC et BIA .BIAAICCIBABC AAAA
donc : 2 r c 2 r b 2 r a 2 ab 2 r c r b r a 2 abPuis en simplifiant par 2,
ab = a r + b r + cr ab = r ( a + b + c ) c b a ab = r r = c b a ab4. Applications numériques :
Cas 1 : Rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5.I·O\SRPpQXVH GH ŃH PULMQJOH UHŃPMQJOH HVP D GRQŃ Ń 13B 0MLQPHQMQP OH ŃORL[ GH M HP N HVP V\PpPULTXHB
Nous pouvons poser a = 3 et b = 4 ou a = 4 et b = 3. Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 11212
5 4 3
4 3 u Cas 2 : Rayon du cercle inscrit du triangle EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. FMOŃXORQV PRXP G·MNRUG OM ORQJXHXU GX PURLVLqPH Ń{Pp BDans le triangle EFG rectangle en E
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
FG² = EF² + EG²
13² = 5² + EG²
169 = 25 + EG²
169 ² 25 = EG²
EG² = 144
EG = 144= 12 Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 2 6
2 6 6 5
12 5 30
12 513 12 5
12 5u u
u u uRemarque :
GMQV GH QRPNUHXVHV IRUPXOHV PMPOpPMPLTXHV ŃRQŃHUQMQP OH PULMQJOH RQ XPLOLVH XQH GRQQpH V·MSSHOMQP OH
demi-périmètre. IH SpULPqPUH G·XQ PULMQJOH TXHOŃRQTXH GRQP OHV Ń{PpV PHVXUHQP M N HP Ń HVP pJMO j : a + b + c Le demi-périmètre p est alors égal à p = 2 c b aGMQV OH ŃMV G·XQ PULMQJOH UHŃPMQJOH QRXV YHQRQV GH GpPRQPUHU TXH OH UM\RQ GX ŃHUŃOH LQVŃULP HVP j JMO j :
c b a ab r Nous avons également MYHŃ 6 O·MLUH GX PULMQJOH HP S le demi périmètre ) r = p S 2 c b a 2 b a r = p SFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2 :
1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT :
Soit C un cercle et soit M un point extérieur à ce cercle. Si (MA) et (MB) sont les tangentes issues de M à ce cercle enA et B, alors MA = MB
( Cf. Thème : Tangente à un cercle ) Sans utiliser ce résultat, nous pouvons faire une démonstration rapide en utilisant le théorème dePythagore.
Dans le triangle BRI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJore, nous avons :
BI² = BR² + RI²
BI² - RI² = BR²
BR² = BI² - r² (1)
Dans le triangle BTI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
BI² = BT² + TI²
BI² - TI² = BT²
BT² = BI² - r² (2)
Des deux égalités (1) et (2), nous en déduisons :BR² = BT²
Et comme BR et BT sont des nombres positifs ( longueurs de cotés de triangle ), nous avons :BR = BT
Une démonstration identique permet de démontrer que AS = AT et même que CR = CS ( égalité déjà
connue car CR = CS = r ).2. Calcul de BR et AS :
Le quadrilatère CSIR est un carré ( 3 angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur )
Donc RC = r.
R est un point du segment [BC], donc BC = BR + RC
Donc a = BR + r
Et par suite BR = a - r
S est un point du segment [AC], donc AC = AS + SC
Donc b = AS + r
Et par suite AS = b - r
3. Calcul du rayon du cercle inscrit au triangle :
Nous avons :
BA = BT + TA
Or BR = BT et AS = AT
Donc BA = BT + TA
Donc : c = ( a ² r ) + ( b ² r )
c = a ² r + b - r c = a + b ² 2r2r = a + b ² c
Et par suite
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a r9pULILŃMPLRQ SRXU OHV GHX[ ŃMV QXPpULTXHV pPXGLpV GMQV O·H[HUŃLŃH 1
Cas 1 :
r = 1 2 2 25 - 4 3
Cas 2 :
r = 2 2 4 213 - 12 5
Remarque :
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectanglH HVP pJMO j OM PRLPLp GH OM ORQJXHXU GH O·O\SRPpQXVHB
quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10