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Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs Exercice 1 termes de son développement limité seront au moins multipliés par x, et on gagne un ordre C'est du cours, en utilisant le DL à l'ordre 3 de sinh u : sinh u u =1+ u2

Correction exercice 4 On vérifiera à chaque fois qu'il s'agit de forme indéterminée La technique est plus ou moins toujours pareil, on calcul un développement

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′(0) Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Déterminer le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de

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3 Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de degré n tel que l'on

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11 fév 2013 · On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés Ceux-ci, de Exercices Exercice 1 1 Somme et produit de développements limités

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Ordonner au voisinage de 0+ les fonctions x , sinx , tanx , sinhx , tanhx , arcsinx et arctanx Exercice 2 Un calcul de limite Soient f : R → R de classe C 2 et a ∈ R

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Exercice de base, à maitriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Exercice Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de la fonction X->et

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Démonstration : Cette proposition est démontrée dans l'exercice (corrigé) 3 11 On peut souvent calculer un développement limité en utilisant la formule de f est de classe C∞ sur R [On pourra utiliser le résultat suivant, vu en cours et en

Exercice 1- Somme et produit de DLs-L1/Math Sup-?

1. Il suffit d"écrire

11-x= 1 +x+x2+x3+o(x3)

e x= 1 +x+x22 +x36 +o(x3) et de faire la différence :

11-x-ex=x22

+5x36 +o(x3).

2. Il suffit d"écrire

⎷1 +x= 1 +x2 -x28 +x316 -5x4128 +o(x4) ⎷1-x= 1-x2 -x28 -x316 -5x4128 +o(x4) et de faire la somme : ⎷1 +x+⎷1-x= 2-x24 -5x464 +o(x4).

3. On écrit

sin(x) =x-x36 +x5120 +o(x6) cos(2x) = 1-2x2+2x43 +o(x5). Remarquons qu"il n"est pas nécessaire d"aller jusqu"à l"ordre 6 pourcos(2x)car tous les termes de son développement limité seront au moins multipliés parx, et on gagne un ordre. On en déduit, en effectuant le produit sin(x)cos(2x) =x-13x36 +121x5120
+o(x6).

4. On écrit les développements limités

cosx= 1-x22 +x424 +o(x4) ln(1 +x) =x-x22 +x33 -x44 +o(x4) et on effectue le produit pour trouver (cosx)ln(1 +x) =x-x22 -x36 +o(x4).http://www.bibmath.net1

Exercices - Développements limités: corrigé5. C"est la même méthode, encore plus facile car1 +x3= 1 +x3+o(x3). Puisque d"autre

part⎷1-x= 1-x2 -x28 -x316 +o(x3) on trouve en effectuant le produit (1 +x3)⎷1-x= 1-x2 -x28 +15x316

6. Puisqueln(1+x)≂0x, il est là aussi simplement nécessaire d"effectuer un DL deln(1+x)

à l"ordre 3. En effectuant le produit, on va automatiquement gagner un ordre. Donc, en

écrivant

ln(1 +x) =x-x22 +x33 +o(x3) on trouve ?ln(1 +x)?2=x2-x3+11x412 +o(x4).

Exercice 2- Composition de DLs-L1/Math Sup-?

1. On commence par écrire

sinxx = 1-x26 +x4120 +o(x4).

On peut donc écrire

ln ?sinxx = ln(1 +u)avecu=-x26 +x4120 +o(x4). En particulier, on remarque queo(u2) =o(x4). De plus, on sait que ln(1 +u) =u-u22 +o(u2). On calcule les puissances deu, et on les tronque à l"ordre 4. Ainsi, u=-x26 +x4120 +o(x4) u

2=x436

+o(x4).

Il vient

ln ?sinxx =-x26 +?1120 -12×36? x

4+o(x4)

-x26 -x4180 +o(x4).http://www.bibmath.net2 Exercices - Développements limités: corrigé2. On poseu= sinx=x-x36 +o(x4).utend vers 0 lorsquextend vers 0, et on peut bien

écrire que

exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +u424 +o(u4). Mais, u=x-x36 +o(x4) u

2=x2-x43

+o(x4) u

3=x3+o(x4)

4=x4+o(x4).

En remplaçant, on trouve

exp(sin(x)) = 1 +x+x22 -x48 +o(x4).

3. On écrit

(cosx)sinx= exp?sinxln(cosx)?. On va donc devoir composer deux DLs, et faire un produit! Soit d"abordu=-x22 +x424 o(x5). On a ln(cosx) = ln(1 +u) =u-u22 +u33 -u44 +u55 +o(u5).

D"autre part,

u=-x22 +x424 +o(x5) u 2=x44 +o(x5) u

3=o(x5)

4=o(x5)

5=o(x5)

Il vient

ln(cosx) =-x22 -x412 +o(x5).

On en déduit

sin(x)ln(cosx) =? x-x39 +x5120 +o(x5)?? -x22 -x412 +o(x5)? =-x32 +o(x5)

Finalement, on posev=-x32

+o(x3), et on voit quev2=o(x5). On obtient donc exp ?sinxln(cosx)?= exp(v) = 1 +v+O(v2) = 1-x32 +o(x5). Il y avait finalement moins de calculs que l"on ne pouvait le craindre!http://www.bibmath.net3 Exercices - Développements limités: corrigé4. On commence par étudier le DL de 1x ln(coshx). Au voisinage de 0, le DL à l"ordre 4 du cosinus hyperbolique est donné par coshx= 1 +x22 +x424 +o(x4).

Celui deln(1 +u)est donné par

ln(1 +u) =u-u22 +o(u2). Il est n"est pas nécessaire d"aller plus loin, car en posantu=x22 +x424 +o(x4), on a déjà o(u2) =o(x4). Puisqueu2=x44 +o(x4), on a en introduisant dans le DL deln(1 +u): 1x ln(coshx) =x2 -x312 +o(x3) (on se contente de DLs à l"ordre 3 car on va les multiplier parxà la fin). Pour trouver le

DL de(coshx)1x

, on doit encore composer par l"exponentielle : exp(v) =v+v22 +v36 +o(v3) avec v=x2 -x312 +o(x3) v 2=x24 +o(x3) v 3=x38 +o(x3).

On trouve donc

(coshx)1x = 1 +x2 +x28 -x316 +o(x3).

Pour la fonction initiale, ceci donne

x(coshx)1x =x+x22 +x38 -x416 +o(x4).

Exercice 3- Inverse de DL-L1/Math Sup-?

1. On poseu=x+x2, qui tend bien vers 0 lorsquextend vers 0, et on utilise

11 +u= 1-u+u2-u3+u4+o(u4).

On calcule les puissances deu, mais bien sûr on les tronque à l"ordre 4. On trouve : u=x+x2 u

[PDF] [PDF] Exercices - Développements limités : corrigé Calculs de DLs

Exercice 1- Somme et produit de DLs-L1/Math Sup-?

1. Il suffit d"écrire

11-x= 1 +x+x2+x3+o(x3)

11-x-ex=x22

2. Il suffit d"écrire

3. On écrit

4. On écrit les développements limités

6. Puisqueln(1+x)≂0x, il est là aussi simplement nécessaire d"effectuer un DL deln(1+x)

écrivant

Exercice 2- Composition de DLs-L1/Math Sup-?

1. On commence par écrire

On peut donc écrire

2=x436

Il vient

4+o(x4)

écrire que

2=x2-x43

3=x3+o(x4)

4=x4+o(x4).

En remplaçant, on trouve

3. On écrit

D"autre part,

3=o(x5)

4=o(x5)

5=o(x5)

Il vient

On en déduit

Finalement, on posev=-x32

Celui deln(1 +u)est donné par

DL de(coshx)1x

On trouve donc

Pour la fonction initiale, ceci donne

Exercice 3- Inverse de DL-L1/Math Sup-?

1. On poseu=x+x2, qui tend bien vers 0 lorsquextend vers 0, et on utilise

11 +u= 1-u+u2-u3+u4+o(u4).

2=x2+ 2x3+x4

3=x3+ 3x4+o(x4)

4=x4+o(x4)http://www.bibmath.net4

11 +x+x2= 1-x+x3-x4+o(x4).