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Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle

Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)

[PDF] DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2 2/" (0) +

[PDF] Développements limités

intégration : toute primitive de f admet un développement limité d'ordre n + 1 en 0 , dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f 8 Page 10 Maths en

[PDF] Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0, en abrégé DLn(x0), s'il existe des réels a0, ··· ,an et une fonction ε : I → R tels que : pour tout x ∈ I, f(x)

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faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f Bien sûr si l'on veut être plus précis, on continuerait avec une courbe du troisième degré qui serait en

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Unicité Une fonction ne peut admettre qu'un seul développement limité d'ordre n donné 2 Somme Si f(x) et g(x) admettent des développements limités d'ordre n,

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Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle

[PDF] Développements limités I Généralités

Le premier terme du développement limité est un équivalent de la fonction On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de sin x, ln(1 + x), ex − 1,

[PDF] Formulaire de développement limités - Maths-francefr

Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas ex = x→0 1 + x + x2 2 + + xn n + o (xn) = x→0 n ∑

[PDF] Les développements limités - LAMA

Exemple Calulons le développement limité à l'ordre 3 en 0 de tan x = sin x/cosx On a cos 0 = 1 = 0

Fiche : DL

I) Développements limités usuels

Tous les DL usuels suivants sont au voisinage dex= 0Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles.

A) Famille exponentielle

exp(x) = 1 +x+x22! +x33! +x44! +...+xnn!+o(xn)(Taylor) ch(x)= 1 + x22! +x44! +...+x2n(2n)!+o(x2n)(c h(x) =partie paire deex) sh(x)= x+x33! +...+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1)(sh (x) =partie impaire deex) cos(x) = 1-x22! +x44! +...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) (cos(x) =?(eix)) sin(x) =x-x33! +...+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1) (sin(x) =?(eix))

B) Famille géométrique

11-x= 1 +x+x2+...+xn+o(xn)(série géométrique)

11 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn)(en remplaçantxpar-x)

ln(1-x) =-x-x22 -x33 +...-xn+1n+ 1+o(xn+1)(en intégrant la série géométrique) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +...+ (-1)nxn+1n+ 1+o(xn+1)(au choix)

Arctan(x) =x-x33

+x55 +...+ (-1)nx2n+12n+ 1+o(x2n+1)

Le dernier s"obtient en remplaçantxparx2dans la série géométrique alternée puis en intégrant, car

Arctan

?(x) =11 +x2.

C) Autres

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!

x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)S"obtient directement avec la formule de Taylor :

dkdxk(1 +x)α=α(α-1)···(α-k+ 1)(1 +x)α-k

Moyen mnémotechnique : ressemble à une formule du binôme (et coïncide avec le binôme lorsqueα?N).

Cas important :α=±12

. On en déduit le DL deArcsin(x). tan(x) =x+x33 +o(x3)S"obtient soit à partir detan =sincos , soittan(x)≂xpuistan?= 1 + tan2. Pas de formule générale. 1 FicheDLII) Rappels des propriétés générales Propriété 1 (Taylor-Young)Soitn?N. Soitf?Cn(I,R)eta?I.

Alors?x?I

f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) +···+(x-a)nn!f(n)(a) +o?(x-a)n?

Preuve : cf cours PTSI.

Remarque 1Fréquemment,a= 0:

f(x) =f(0) +xf?(0) +...xnn!f(n)(0) +o(xn) Propriété 2Un développement limité s"intègre terme à terme sans problème.

Propriété 3

Le DL d"une fonctionfpaire ne contient que des puissances paires. Le DL d"une fonctionfimpaire ne contient que des puissances impaires. 2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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