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[PDF] Les nombres premiers

Si p ab et si p a alors p est premier avec a et le théor`eme de Gauss entraine que p b 3) ⇒ 4) La somme des puissances r-i`emes des diviseurs d'un entier

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22 juil 2015 · Si n n'est pas premier, alors il admet un diviseur premier p tel que : si p premier divise une puissance ak, alors nécessairement p divise

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2 déc 2016 · Si n n'est pas premier alors il admet un diviseur pre- mier p tel que : 2 ⩽ p en produits de puissances de nombres premiers (à l'ordre des 

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1 qui est premier; montrons qu'alors n est premier Supposons que n soit un + 1 est premier avec a>1 et m>1, alors m est une puissance de 2 et a est pair

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sont 1 et p Remarque : On dit qu'un entier relatif p est premier si l'entier naturel p l'est k + est premier, alors k est une puissance de 2 (les nombres 2 2 1 n n

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une une puissance de deux, alors m admet un diviseur impair q ≥ 3, et donc : donc pas premier m est donc une puissance de deux Et compte-tenu des 

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Alors an − bn admet au moins un diviseur premier primitif à l'exception des deux cas suivants : (i) 26 − 16, (ii) n = 2 et a + b est une puissance de 2 Ce résultat 

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Exercice 1 Prouver qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers s' écrivant Il est classique que si 2m − 1 divise 2n − 1, alors m divise n pour tout entier k ≥ 1, l'entier nk + t ne soit pas une puissance (c'est-`a-dire qu'il ne soit pas 

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on en déduit que si 2n −1 est premier alors n est un nombre premier Ainsi pour Y -puissance friable) si tous ses diviseurs premiers sont inférieurs `a Y (resp

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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 juillet 2015 à 17:06

Les nombres premiers

Table des matières

1 Définition et propriétés immédiates2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Critère d"arrêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Infinité des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Crible d"Ératosthène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Nombres de Mersenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Divisibilité et nombres premiers6

2.1 Théorème de Gauss et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Décomposition, diviseurs d"un entier6

3.1 Théorème fondamental de l"arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Diviseurs d"un entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Petit théorème de Fermat - Hors programme10

4.1 Théorème, remarque et exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Nombre de Poulet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1 Définition et propriétés immédiates

1.1 Définition

Définition 1 :Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- ment deux diviseurs : 1 et lui-même

Conséquence:

•1 n"est pas un nombre premier (il n"a qu"un seul diviseur) •Un nombre premierpest un naturel supérieur ou égal à 2 soit :p?2.

•Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97

1.2 Critère d"arrêt

Théorème 1 :Tout entier natureln,n?2, admet un diviseur premier. Sinn"est pas premier, alors il admet un diviseur premierptel que :

2?p?⎷

n

Démonstration :

•Sinest premier, il admet donc un diviseur premier : lui-même. •Sinn"est pas premier, l"ensemble des diviseursddentel que : 2?d2?pq?p2?nsoitp?⎷ n

Exemple :Montrer que 109 est un nombre premier.

On a 10<⎷

109<11.

On teste tous les nombres premiers strictement inférieurs à 11, soit:

2, 3, 5 et 7.

Des règles de divisibilité, on déduit que 109 n"est divisible nipar 2, ni par 3, ni par 5. En effectuant la division euclidienne de 109 par 7, on obtient :

109=7×15+4 109 n"est donc pas divisible par 7

Conclusion : comme 109 n"est pas divisible par 2, 3, 5, et 7, 109est premier.

PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ

1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS IMMÉDIATES

Algorithme :Un petit programme

pour déterminer si un nombreNest premier. N"ayant pas à notre disposi- tion la liste des nombres premiers, on teste siNest divisible par 2, puis on teste les diviseurs impairs par ordre croissant tant que ceux-ci sont inférieur N.

On obtient alors :

•527 est divisible par 17

•719 est premier

•11 111 est divisible par 41

•37 589 est premier

Variables:N,Ientiers

Entrées et initialisation

LireN

2→I

Traitement

siE?NI? =NIalors

AfficherN, "div. par :" ,I

Stop fin

I+1→I

tant queI?⎷

Nfaire

siE?NI? =NIalors

AfficherN, "div. par :" ,I

Stop fin

I+2→I

fin

Sorties: AfficherN, "est premier"

1.3 Infinité des nombres premiers

Théorème 2 :Il existe une infinité de nombres premiers ROCDémonstration :Supposons qu"il existe un nombre fini de nombres premiers : p

1,p2,...,pi, ...,pn. PosonsN=p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn+1

D"après le critère d"arrêt,Nadmet un diviseur premier. Soitpice diviseur premier.pidivise doncp1×p2× ··· ×pi× ··· ×pnetN. Il divise donc la différenceN-(p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn) =1. Ceci est impossible, donc l"hypothèse qu"il existe un nombre finide nombres pre- miers est absurde.

1.4 Crible d"Ératosthène

Pour dresser la liste des nombres premiers entre 2 et 150, la méthode du crible d"Ératosthène consiste à : •écrire la liste des nombres entiers de 2 à 150; •éliminer successivement les multiples propres1de 2, de 3... puis ceux dep, où pest le premier nombre non encore éliminé, etc Les entiers éliminés (sur fond bleu dans le tableau ci après) sont les entiers non premiers entre 2 et 150. Les entiers restant (sur fond jaune) sont donc les nombres premiers inférieur à 150.

Remarque :

1) Pour éliminer les multiples propre de 7, commencer à 7

2, car les multiples

inférieurs ont déjà été éliminés.

1. multiple propre den: multiple dendistinct den

PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

2) Il est possible de savoir à l"avance " jusqu"où aller ». En effet grâce au critère

n

Sin?150, alors⎷

n?⎷150, or 12<⎷150<13 et donc tout entier non premier sera éliminés en tant que multiple propre de 2, 3, 5, 7 et 11.

2345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

81828384858687888990

919293949596979899100

101102103104105106107108109110

111112113114115116117118119120

121122123124125126127128129130

131132133134135136137138139140

141142143144145146147148149150

On peut écrire l"algorithme suivant :

•Les entiersAcorrespondent aux

nombres premiers de la liste des en- tiers de 2 àN

•Les entiersMcorrespondent aux

multiples deAinférieurs àN

•Les entiersPcorrespondent aux

rangs des nombres premiersA.

•Les entiersQcorrespondent au

nombre de multiples deAinférieurs àN

•La listeL1correspond à la liste des

entiers de 2 àN

•La ListeL2correspond à la liste des

nombres premiers inférieurs àN

À chaque fois que l"on trouve un

nombre premierA, on le met dans la listeL2et l"on remplace tous les mul- tiples deAdans la listeL1par un 0 (re- vient à rayer tous ces multiples)

On trouve le nombre premier suivant

A, en prenant dans la listeL1le nombre

suivant non nul

Avec la Ti, pour visualiser la listeL2

faire :...puis "edit"

Variables:N,I,A,M,P,Qentiers

L

1,L2listes

Entrées et initialisation

LireN

Effacer listeL1

Effacer listeL2

pourI de 2 à N *faire

I→L1(I)

fin

2→A

0→P

Traitement

tant queA?Nfaire tant queL1(A) =0faire

A+1→A

fin siA?Nalors

P+1→P

L

1(A)→L2(P)

E?N A? →Q fin pourI de 1 à Qfaire

A?I→M

0→L1(M)

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