7 jui 2013 · Corrigé du baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 Exercice 1 : 6 points Commun à tous les candidats 1 (a) • Les coordonnées du point
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7 jui 2013 · Corrigé du baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 Exercice 1 : 6 points Commun à tous les candidats 1 (a) • Les coordonnées du point
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?Corrigé du baccalauréatS Polynésie 7 juin 2013?
Exercice 1 :6 points
Commun à tous les candidats
1. (a)Lescoordonnéesdupointd"intersectiondelacourbeCavecl"axe
des ordonnées est le point de coordonnées?0;f(0)?soit(0 ; 2). Les abscisses des points d"intersection de la courbeCavec l"axe des abscisses sont les solutionsde l"équationf(x)=0. On applique la règle du produit nul en sachant que e -x?=0 : f(x)=0??x+2=0??x=-2. Le point d"intersectiondeCavec l"axe des abscisses a pour coor- données (-2 ; 0). (b)Remarque :la fonction(x?→e-x)peut être considérée comme une fonction composéex?→-xsuivie de l"exponentielle ou bien comme un quotient? e -x=1 ex? lim x→-∞e-x=+∞ lim x→-∞(x+2)=-∞? par produit =?limx→-∞f(x)=-∞. La même stratégie menée en+∞conduit à la forme indéterminée "+∞×0» car limx→+∞e-x=0. Mais,?x?R,f(x)=x ex+2ex. lim x→+∞x ex=0théorème de croissance comparéelimx→+∞2ex=0? par somme =?limx→+∞f(x)=0 L"axe des abscisses est donc asymptote àCen+∞. (c)festdérivablesurRcar composéeetproduitdefonctionsdérivables surRet,?x?R, f ?(x)=e-x-(x+2)e-x=-(x+1)e-x.Comme e
-x>0,f?(x) est donc du signe de-(x+1). D"où le tableau de variations : x -∞-1+∞ f ?(x)+0- f(x)-∞e 02. (a) 1,642
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
(b)Variables:kest un nombre entier
Nest un nombre entier
Sest un nombre réel
Initialisation: Affecter àSla valeur 0
Traitement : Pourkvariant de 0 à N-1????Affecter àSla valeurS+1Nf?kN?
Fin Pour
Sortie : AfficherS
3. (a) Sur [0 ; 1],fest continue et positive, donc l"aireAdu domaineD,
exprimée en unités d"aire, est donnée parA=? 1 0 f(t)dt. Commeg est une primitivedefsurR, on a donc :A=?g(t)?10=g(1)-g(0)=-4e-1+3=3-4
e. (b) avec la calculatrice, 3-4 e-1,642≈0,113Exercice 2 :4 points
Commun à tous les candidats
d - c - a - b1.(d)?
3ei13π12:????iz1
z2???? =|i|×|z1||z2|=1×?6?2=?3
arg iz1 z2?2.(c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan com-
plexe sont situéssur une droite. Pour s"en convaincre, écrire les formes algébriques... -z= z?? -a-ib=a-ib??a=-a??a=03.(a)???????x=-2t-1
y=3t z=t+4,t?RVecteur directeur :
# »AB(-2 ; 3 ; 1)ce qui exclut la proposition (b). De plus,Cest le point de paramètre 0 dans la première représentation. le planP.La droiteΔest dirigée par#»u(1 ; 1 ; 2).#»u#»n=3-5+2=0. DoncΔet parallèle àP: ne restent que (b) et (d).
On teste si un point de la droite est dans le plan : pourt=0, on aA(-7 ; 3 ; 5)?Δ.
Baccalauréat S POLYNÉSIE7JUIN20132/7
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Ensuite,A?P??# »ADet#»northogonaux.
Or,# »AD(6 ;-1 ;-2) et# »AD#»n=18+5-2?=0. DoncA?PExercice 3 :5 points
Commun à tous les candidats
Partie 1
C H S V H S J H S 0,3 5 6 1 6 0,45 4 9 5 9 0,251. On veutP(C∩H)=P(C)×PC(H)=0,3×5
6=14.2. On sait queP(H)=13
20. (a) Nous venons de calculerP(C∩H)=0,25 etP(C)×P(H)=0,3×13
20=39200?=P(C∩H)
Les évènementsCetHne sont pas indépendants. (b) d"après l"arbre,P(H)=P(H∩C)+P(H∩V)+P(H∩J).On a doncP(J∩H)=13
20-14-0,45×49=15
etPJ(H)=P(J∩H)P(J)=1
5 1 4= 4 5.Partie 2
1. Onrépète60fois,defaçonindépendantes,l"expérience"choisirunmor-
ceau de musique» qui compte 2 issues : "lemorceauchoisiest unmorceaudemusiqueclassique»considéré comme succès, de probabilité0,3Baccalauréat S POLYNÉSIE7JUIN20133/7
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
ou pas...
Nous sommesdonc en présence d"un schéma de Bernoulliet la variable aléatoireXprenant pour valeurs le nombre de succès obtenussuit la loi binomiale de paramètres 60 et 0,3. L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60 est donc donné par : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?0,3-1,96?
0,3×0,7?60; 0,3+1,96?
0,3×0,7?60?
[0,184 ;0,416]2. Lafréquence observéeparThomasest
1260=0,2 est dansl"intervallepré-
cédent. Donc NON, il n"y a pas de raison de penser que le baladeur est défectueux.Partie 3
1.P(180?X?220)=P(X?220)-P(X?180)≈0,841-0,159.Réponse :
0,682.
2. On veutP(X>4×60)=1-P(X?240)≈1-0,977. Réponse : 0,023.
Exercice 4 :5 points
Candidats n"ayantpassuivi l"enseignementde spécialité mathématiques1. (a)u1=3×u0
1+2u0=3×1
21+212=34
etu2=3×u11+2u1=3×3
41+234=910.
(b) Pour tout entier natureln, notonsPnla propriété : 0Alorsu0=1
2>0, doncP0est vraie.
Hérédité: Supposons que pourkentier naturel quelconque, on aitPkvraie (c-à-d. 0Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P0est vraie etPnest héréditaire, par le principe de récurrence on a bien pour tout entier natureln, 0Mais,un<1??2un<2??1+2un<3??1<3
1+2uncar
1+2un>0.
Finalement la suite
(un)est croissante. (b) La suite (un)est croissante et majorée par 1; elle converge donc vers3. (a) Pour tout entier natureln,
v n+1=un+11-un+1=3un
1+2un1-3un1+2un=3un
1+2un1+2un-3un
1+2un=
3un1-un=3vn
La suite
(vn)est donc une suite géométriquede raison 3. (b) Pour tout entier natureln,vn=v0qn=3n. (c) Pour tout entier natureln, v n=un1-un??(1-un)vn=un??vn=un+unvn??
u n=vn1+vn??un=3n3n+1.
(d) Comme 3>1, limn→+∞3n= +∞. L"étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée. u n=3n3n+1=11+13n=
11+?13?
nComme-1<1
3<1, limn→+∞?
13? n =0Par somme lim
n→+∞1+?1 3? n =1, enfin, par quotient limn→+∞un=1La suite
(un)converge vers 1.Baccalauréat S POLYNÉSIE7JUIN20135/7
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice 4 :5 points
Candidats ayantsuivi l"enseignementde spécialitémathématiques1. (a)U1=?a1
b 1? Or ?a1=0,7a0+0,2b0+60
b1=0,1a0+0,6b0+70???a
1=0,7×300+0,2×300+60
b1=0,1×300+0,6×300+70.
FinalementU1=?330280?
(b) Pour tout entier natureln,M×Un+P=?0,7 0,20,1 0,6?
×?an
b n? +?6070? =?0.7an+0.2bn0.1an+0.6bn?
+?6070? =?an+1 b n+1?Pour tout entier natureln,Un+1=M×Un+P.
2. On noteIla matrice?1 00 1?
(a) Calculer (I-M)×?4 21 3? (I-M)=?1-0,7-0,2 -0,1 1-0,6? =?0,3-0,2 -0,1 0,4? Puis (I-M)×?4 21 3? =?4×0,3-0,2 2×0,3-3×0,2 -0,1×4+0,4-0,1×2+3×0,4? =?1 00 1? =I (b) On calcule ?4 21 3?×(I-M)=I. DoncI-Mest inversible et son in-
verse est ?4 21 3?U=(I-M)-1P
FinalementU=?4 21 3?
×?6070?
=?380270?3. (a) Pour tout entier natureln,
V n+1=Un+1-U=MUn+P-(MU+P)=M(Un-U)=M×Vn. (b) Par récurrence : Pour toutentier natureln, notonsPnla propriété:Vn=Mn×V0.Initialisation: Sin=0 alors
M0=IetV0=M0V0.P0est vraie.
(c.-à-d.Vk=Mk×V0). Montrons quePk+1est vraie aussi (c-à-d. V k+1=Mk+1×V0). V k+1=MVk=M×(Mk×V0)=Mk+1×V0etPk+1est vraie.Baccalauréat S POLYNÉSIE7JUIN20136/7
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P0est vraie etPnest héréditaire, par le principe de récurrence- récurrence on a bien pour tout entier natureln,Vn=Mn×V0.4. On admet que, pour tout entier natureln,
V n=((((-1003×0,8n-1403×0,5n
-503×0,8n+1403×0,5n))))
(a) Pour tout entier natureln, V n=Un-U??Un=Vn+U??Un=((((-1003×0,8n-1403×0,5n
-503×0,8n+1403×0,5n))))
(380270)))) ??Un=((((-1003×0,8n-1403×0,5n+380
-503×0,8n+1403×0,5n+270))))
On en déduit doncan=-100
3×0,8n-1403×0,5n+380
Si-1Baccalauréat S POLYNÉSIE7JUIN20137/7quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25