Si Mq est un nombre premier, alors q est premier Démonstration Si q n'est pas premier, q = mn, avec m, n > 2 Et alors Mq = 2mn − 1 qui est divisible par 2n
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Si a > 2 alors an − 1 n'est pas un nombre premier Définition 1 Les entiers de la forme Mn = 2n − 1 sont appelés nombres de Mersenne Du théorème, on peut
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Donc l'ensemble des nombres premiers est infini Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1 Soit p un entier naturel quelconque Montrons que
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fini quadratique sur Fp (p étant un nombre premier) pour le test de primalité et 3 3 ci-dessous, auxquels la démonstration du théor`eme 3 1 s'applique, avec
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On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n − 1; si ce nombre est premier, on Pour une démonstration, voir le Théor`eme 1 plus bas 3
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Soit p un nombre premier ≡ −1 (mod 4) et soit a premier `a p On suppose que a est un carré modulo p Alors, a est d'ordre impair modulo p Démonstration D'
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Primalité des nombres de Mersenne
Référence : Cours de calcul formel. Corps finis, systèmes polynomiaux, applications.PhilippeSaux Picart, ÉricRannou
2011-2012
On appellenombres de Mersenneles
M q= 2q-1 pourq?NOn a d"abord le lemme :
Lemme 1
SiMqest un nombre premier, alorsqest premier.
Démonstration.Siqn"est pas premier,q=mn, avecm,n >2.Et alorsMq= 2mn-1 qui est divisible par 2n-1.
On a une caractérisation :
Théorème 2
Pour tout nombre premier impairq:
M qest premier???2 +⎷
3? 2q-1 ≡ -1 modMq.On remarque qu"il faut se placer dans un corps où 3 admet une racine carrée. Dans la suite, on explicitera : on
prendraFMqou une de ses extensions.Démonstration du sens direct.
Lemme 3
Pour tout entierknon nul,M2k+1est congru à 7 modulo 12.Démonstration.Par récurrence :
(k= 1) : On a bien 22×1+1= 7. 1 (k→k+ 1) : On a modulo 12 : 22(k+1)+1-1≡4×22k+1-1
≡?22k+1-1?×4 + 3 ≡7×4 + 3 ≡7Donc, pour toutqimpair,Mq≡7 mod 12.
Montrons maintenant que 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.Pour cela, on montre le
Lemme 4
3 est résidu quadratique modulo un entier premierpsi, et seulement sip≡ ±1 mod 12.
Démonstration.Par la loi de réciprocité quadratique, on a : p 3? ?3p? = (-1)p-1 2.Ainsi, par définition du symbole de Legendre :
3 résidu modulop??p
3? = (-1)p-1 2.On remarque que le seul carré non nul deF3est 1, et donc 3 est résidu quadratique modulopsi, et seulement
sil"une des conditions est vérifiée : (i)p≡1 mod 3 etp-12est pair.
(ii)p≡2 mod 3 etp-12est impair.
Dans le premier cas,pest congru à 1 modulo 3 et 4, et donc modulo 12.Dans le second cas,pest congru à 2 modulo 3, et 3 modulo 4, et donc par théorème chinois, à -1 modulo 12.♦
CommeMqn"est congru ni à 1, ni à -1 modulo 12, 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.X2-3 est donc
irréductible surFMq, et doncA=FMq[X]/(X2-3)est un corps, et on note la classe deXdansA⎷ 3.On remarque de plus que 2
q+1≡2 modMq, et donc 2 admet une racine carrée⎷2 := 2q+12.
On définit les quantités
ρ=1 +⎷
3⎷2etρ=1-⎷3⎷2.
On montre facilement queρ2= 2 +⎷
3 etρρ=-1.
De plus, on remarque que comme⎷
3 n"est pas résidu quadratique moduloMq, par petit théorème de Fermat :
3?Mq= 3M
q-12⎷3 =-⎷3. CommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
2 De même, on aρMq=ρCommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
De même, on a
2M q=⎷2, et doncρMq=ρ. On multiplie à gauche et à droite, et on obtient :2 +⎷
3? 2q-12 +⎷3?
Mq+1 2=-1. Démonstration du sens réciproque.On note dans la suiteZnl"anneauZ/nZ.On note encoreAune extension deZMqcontenant une racine de 3 : plus précisemment, siZMqcontient une
racine de 3, on prendA=ZMq, et sinon on prendA=ZMq[X]/(X2-3). On supposeMqnon premier, et on appellepun de ses diviseurs premiers.pest donc un diviseur de 0 dansA, et a fortiori n"est pas inversible. Il est donc contenu dansun idéal maximal
MdeA. Alors A/Mest un corps, de caractéristiquep(pnon nul dansM).On appelleα(resp.β) la classe de 2 +⎷
3 (resp. 2-⎷3) dansA/M.
Notre hypothèse s"écrit doncα2q-1≡ -1 modMq, et on en déduit queαest d"ordre 2qdansA/M.
On pose maintenantQ= (X-α)(X-β) =X2-4X+1. C"est un polynôme à coefficient dans le corps premier
deA/M,Fp.
Donc, commeαest racine deQ,αpaussi, et doncαp=αouαp=β.Dans le premier cas, comme l"ordre deαest 2q, 2qdivisep-1. OrpdiviseMq= 2q-1, doncp <2q. D"où une
contradiction.Dans le second cas,αp=β=α-1=αMq. On a alorsp≡2q-1 mod 2q, et ceci imposep=Mq. Encore une
contradiction. Remarque- On peut citer un corollaire direct de ce théorème :Théorème 5 : Test de Lehmer-Lucas
On définit la suite(Ln)?ZNMqpar
L0= 4etLn+1=L2n-2 modMq.
Alors on a :
M qpremier??Lq-2≡0 modMq.Cet algorithme permet de calculer directement dansZMqplutôt que dans une extension. Au final, il est de
complexitéO(q3) (on peut accélerer un peu avec la transformée de Fourier discrète). 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2