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théor`eme de Dirichlet : si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe (2) Si un nombre premier divise un produit de facteurs premiers alors il est 

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22 juil 2015 · Théorème 1 : Tout entier naturel n, n ⩾ 2, admet un diviseur premier Si n n'est pas premier, alors il admet un diviseur premier p tel que :

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Si q divise Mp alors il existe un entier k tel que q = 2kp+1 Autrement dit, si p est premier alors les diviseurs premiers de Mp sont de la forme 2kp + 1 Exemple 

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L'entier 37907 est premier : il n'est divisible par aucun des 44 nombres premiers plus Si n n'est pas premier alors il existe un entier p tel que n = pq et 1

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Réciproquement, si D un diviseur de a et b alors D divise r = a – bq et donc D est un diviseur de b et r On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et  

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Conséquence : Si p et q sont deux nombres premiers distincts, alors 1 p q ∧ = 1 3 Proposition Soient p un nombre premier, * n∈ et

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Alors il existe d ∈ N tel que 1

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Un entier p est premier s'il admet exactement deux diviseurs Exemples Alors p admet un diviseur d tel que 1 la racine carrée n de n , alors n est premier

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1 2 2 — Nombres de Mersenne : de la factorisation Xpq −1=(Xp −1)(Xp(q−1) +· ··+Xp +1), on en déduit que si 2n −1 est premier alors n est un nombre premier 

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Si n est premier, alors n s'écrit n = n donc est un produit fini de nombres premiers Sinon, n a au moins un diviseur qui ne soit ni 1 ni n Donc n peut s'écrire n = ab 

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Chapitre 02 Nombres premiersTerminale S Spécialité

NOMBRES PREMIERS

Dans ce chapitre, on se place dansN.

I- généralités

Définition

Soitnun entier naturel.Nest un nombre premier s"il admet exactement deux diviseurs dansN: 1 et lui-même. Remarques•0 n"est pas premier, il admet une infinité de diviseurs. •1 n"est pas premier, il admet un seul diviseur. •2 est un nombre premier

Théorème 1

Soitn?N,n?2.

Sinn"est pas premier, il admet au moins un diviseur premier : sonplus petit diviseur dansNautre que 1.

DémonstrationOn va faire un raisonnement par l"absurde.nn"est pas premier doncnadmet au moins un diviseur strict (distinct den) strictement

plus grand que 1. Soitple plus petit de ces diviseurs. On a 1< p < n. Supposons quepne soit pas un nombre premier. Alors il existed?Ntel que 1< d < p etddivisep. Alorsddivisen, ce qui est impossible.pest donc un nombre premier. ConséquenceSinn"est divisible par aucun entierppremier tel que 2?p?⎷n, alorsnest premier.

Démonstration

Démonstration par contraposée : " si P vraie alors Q vraie »équivaut à " si Q faux alors

P faux ».

On va supposer quenn"est pas premier et on va démontrer qu"alors il admet un diviseur premier inférieur ou égal à⎷n. Sinn"est pas premier, d"après le théorème précédent, il admet un diviseur premierpqui est son plus petit diviseur , 1< p < n. Alorsn=p×q,qest aussi un diviseur dendoncp?qetp2?pqsoitp2?nou encore p?⎷n. Voir dans le manuel Savoir-faire 5 p. 17 : Reconnaître si un entier est premier - Algorithme

Crible d"Erathostène

Dans un tableau carré de 100 cases, on écrit les cent premiersentiers naturels non nuls. On va barrer tous les entiers qui ne sont pas premiers.

On barre le 1.

2 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 2.

3 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 3.

On continue ainsi.

A chaque étape, le premier nombre non barré est un nombre premier, en effet il n"admet 1 Chapitre 02 Nombres premiersTerminale S Spécialité aucun diviseur premier strict autre que 1. A chaque étape, le premier multiple depà barrer estp2. On s"arrête lorsqu"on a barré les multiples de 7. En effet si unentier naturel inférieur

ou égal à 10 n"est pas premier, il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à⎷

100 = 10 .

Propriété

Soientaetbdeux entiers naturels non nuls etpun nombre premier. Sipdiviseab, alors pdiviseaoupdiviseb.

Démonstration

Démonstration par disjonction des cas

•Sipdivisea, alors la propriété est vraie •Sipne divise pasa, alorspest premier avecapuisquepadmet pour seuls diviseurs 1 etp, et d"après le théorème de Gausspdiviseb.

Théorème 2

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

On fait une démonstration par l"absurde.

Supposons que l"ensemble des nombres premiers soit fini.

Notonsp1,p2,···,pnles nombres premiers.

On considère le nombreN=p1×p2× ··· ×pn+ 1. Nn"est pas un nombre premier, donc il existe un nombre premierpkqui diviseN. AlorspkdiviseN-p1×p2× ··· ×pn= 1, ce qui est impossible. Il existe donc une infinité de nombres premiers. 5 mm II- Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème 1

Tout entier natureln?2 s"écrit de manière unique comme produit de nombres premiers.

Démonstration

•Existence 2 Chapitre 02 Nombres premiersTerminale S Spécialité nentier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premierp?2.

On a alorsn=n1×p1avecn1< n.

Sin1= 1, alorsnest premier.

Sin?2, il existe un entierp2premier qui divisen1.

n

1=p2×n2doncn=p1×p2×n2avecn2< n1< n.

On obtient ainsi une suite d"entiers naturels strictement décroissante et minorée par

1, donc cette suite est finie et le dernier terme est égal à 1.

Doncn=p1×p2× ··· ×pk, avecp1,p2,···,pkpremiers. •Unicité admise

On noten=pα11×pα22× ··· ×pαrravecp1,p2,···,prnombres premiers distincts deux à

deux etα1,α2,···,αrentiers naturels non nuls.

Exemple

Décomposer en produit de facteurs premiers 4312. 4312
2 2156
2 1078
2 539
7 77
11 11 11 1

Théorème 2

Soitaetbdeux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. bdiviseasi et seulement si tout facteur figurant dans la décomposition deben produit de facteurs premiers figure aussi dans celle deaavec un exposant supérieur ou égal à celui qu"il a dans la décomposition deb.

Démonstration

•Sia=b×q, la décomposition deaen produit de facteurs premiers s"obtient en faisant le produit de la décomposition debpar celle deq. Dans la décomposition deafigurent donc tous les facteurs qui figurent dans celle deb avec un exposant au moins égal.

•Soita=pα11pα22···pαkketb=pβ11pβ22···pβrravecr?ket, pour touti, 1?i?r,

i?αi.

On a alors :

a=pα1-β11pα2-β22···pαr-βrrpαr+1r+1···pαkk×pβ11pβ22···pβrr

=pα1-β11pα2-β22···pαr-βrrpαr+1r+1···pαkk×b. best donc un diviseur dea. 3quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30