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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?

17 novembre 2014

Exercice 15 points

Commun à tous lescandidats

Une fabrique de desserts glacés dispose d"une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.

PartieA

Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros.

On considère que la probabilité qu"un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en

gros est égale à 0,003.

On nommeXla variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production,

associelenombredecônesdéfectueux présents danscelot.Onsuppose quelaproductionestsuffisamment

importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

1.La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux eton suppose que les 2000 tirages sont

indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu"un cône soit défectueux est de 0,003.

On peut donc dire que la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=2000 etp=

0,003.

2.Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l"entreprise procède alors à un

échange de celui-ci.

L"événement "un lot n"est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes défectueux est infé-

rieur ou égal à 11, donc correspond àX?11.

P(X?11)=11?

k=0P(X=k)

On calcule les probabilités (arrondies à 10

-5) : kP(X=k)P(X?k)

00,002460,00246

10,014780,01724

20,044460,06170

30,089100,15080

40,133850,28465

50,160780,44544

60,160860,60630

70,137880,74419

80,103360,84755

90,068840,91639

100,041240,95763

110,022450,98007

Donc la probabilité qu"un lot ne soit pas échangé est 0,980 aumillième.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne parYla variable aléatoire qui, à chaque

cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacéequ"il contient. On suppose queYsuit une loi normaleN?110 ;σ2?, d"espéranceμ=110 et d"écart-typeσ.

Une glace est considérée comme commercialisable lorsque lamasse de crème glacée qu"elle contient ap-

partient à l"intervalle[104; 116].

On sait que la probabilité de l"événement " une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que

P(104?Y?116)=0,98.

D"après le cours, on sait que, siYsuit la loi normale de paramètresμ=110 etσ, alors la loiZ=Y-110

σsuit

la loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d"écart type 1).

104?Y?116?? -6?Y-110?6?? -6

σ?Y-110σ?6σdonc

P(104?Y?116)=0,98??P?

-6

σ?Z?6σ?

=0,98 On peut représenter la situation par le graphique ci-dessous : -6σ6σ 98%
1%1%

On peut en déduire queP?

Z?6σ?

=0,99. On peut le démontrer en utilisant un résultat connu du cours :P(-t?Z?t)=2P(Z?t)-1.

On cherche donc la valeurttelle queP(Z?t)=0,99 sachant que la variable aléatoireZsuit la loi normale

centrée réduite; on trouve à la calculatricet≈2,326.

On a donc :

6

Une valeur approchée à 10

-1près du paramètreσtelle que la probabilité de l"événement "la glace est com- mercialisable» soit égale à 0,98 est 2,6.

Vérification

Si Y suit la loi normale de paramètresμ=110etσ=2,6alors P(104?Y?116)≈0,979. Si on prendσ=2,5on trouve P(104?Y?116)≈0,984. Enfin en prenantσ=2,7on trouve P(104?Y?116)≈0,974.

La valeur approchée à10-1près deσqui donne la probabilité la plus proche de 0,98 est2,6.

PartieC

Une étude réalisée en l"an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant réguliè-

rement des glaces était de 84%.

L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% d"un pourcentagepdans une population de taille

nest : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? On an=900 etp=0,84 donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuilde 95% du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est : I=?

0,84-1,96?

0,84×0,16?900; 0,84+1,96?

0,84×0,16?900?

≈[0,816; 0,864]

Nouvelle-Calédonie217 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d"entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une

proportion def=795

900≈0,883.

Orf??Idonc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre2000 et 2010.

Nouvelle-Calédonie317 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

1. Affirmation1 : vraie

Le point d"affixe (-1+i)10est situé sur l"axe imaginaire.

Explication

z=(-1+i)10=?(-1+i)2?5; (-1+i)2=-2i doncz=(-2i)5=-32i5 i

2=-1 donc i4=1 et donc i5=i; on en déduit quez=-32i qui est un imaginaire pur.

2. Affirmation2 : fausse

Dans l"ensemble des nombres complexes, l"équationz- z+2-4i=0 admet une solution unique.

Explication

On écritzsous la formea+iboùaetbsont des réels et on résout l"équation (E) :z- z+2-4i=0 (E)??a+ib-( a+ib)+2-4i=0??a+ib-(a-ib)+2-4i=0 ??a+ib-a+ib+2-4i=0??2ib+2-4i=0??(2b-4)i=-2 ce qui est impossible.

3. Affirmation3 : vraie

ln e7? +ln?e9?ln?e2?=eln2+ln3eln3-ln4

Explication

ln? e7? =12ln?e7?=72; ln?e9?=9 et ln?e2?=2 doncln?e9?ln?e2?=92

Donc ln

e7? +ln?e9?ln?e2?=72+92=162=8 ln2+ln3=ln(2×3)=ln6 donc eln2+ln3=eln6=6; ln3-ln4=ln3

4donc eln3-ln4=eln3

4=34 Donc eln2+ln3 eln3-ln4=63

4=6×4

3=8

4. Affirmation4 : vraie

?ln3 0e x ex+2dx=-ln?35?

Explication

Soitula fonction définie surRparu(x)=ex+2; cette fonction est dérivable surRetu?(x)=ex. De plus cette fonction est strictement positive surR.

Donc l"expression

ex ex+2est de la formeu?(x)u(x)qui a pour primitive ln(u(x)). La fonctionfdéfinie surRparf(x)=ex ex+2a pour primitive surRla fonctionFdéfinie parF(x)=ln(ex+2). Donc ln3 0e x ex+2dx=F(ln3)-F(0) 0e x ex+2dx=ln5-ln3=-(ln3-ln5)=-ln35

5. Affirmation5 : fausse

L"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 admet une solution unique dansR.

Explication

L"expression ln(x-1)-ln(x+2) n"existe que six-1>0 etx+2>0 donc on va résoudre l"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 dans l"intervalleI=]1;+∞[.

Nouvelle-Calédonie417 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

x-1-4x-8 x+2=0??-3x-9x+2=0??x=-3 etx?=-2 Mais-3??Idonc l"équation n"a pas de solution dansR.

Exercice 35 points

Commun à tous lescandidats

L"espace est rapporté à un repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

On donne les points A(1 ; 0 ;-1), B(1 ; 2 ; 3), C(-5 ; 5 ; 0) et D(11 ; 1 ;-2). Les points I et J sont les milieux

respectifs des segments[AB]et[CD]. Le point K est défini par--→BK=1

3--→BC.

1. a.Le point I est le milieu de[AB]donc a pour coordonnées?1+1

2;0+22;-1+32?

(1; 1; 1). Le point J est le milieu de[CD]donc a pour coordonnées?-5+11

2;5+12;0-22?

(3; 3;-1).

Le point K est défini par

--→BK=1

3--→BC ; le vecteur--→BC a pour coordonnées (-5-1; 5-2; 0-3)=

(-6; 3;-3) donc--→BK=1

3--→BC a pour coordonnées (-2; 1;-1).

Donc ?x

K-xB= -2

y

K-yB=1

z

K-zB= -1?????x

K= -2+1

y K=1+2 z

K= -1+3?????x

K= -1 y K=3 z K=2

Donc le point K a pour coordonnées (-1; 3; 2).

b.Les points I, J et K définissent un plan si et seulement si ces trois points ne sont pas alignés. On va

donc regarder si les vecteurs-→IJ et-→IK sont colinéaires. Le vecteur-→IJ a pour coordonnées (3-1; 3-1;-1-1)=(2; 2;-2). Le vecteur-→IK a pour coordonnées (-1-1; 3-1; 2-1)=(-2; 2; 1).

Orx-→IJ×(-1)=x-→IKety-→IJ×(-1)?=y-→IK; donc les vecteurs-→IJ et-→IK ne sont pas colinéaires.

Les trois points I, J et K définissent un plan.

c.Le vecteur-→nde coordonnées (3; 1; 4) est un vecteur normal au plan (IJK) siet seulement si il est

orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.-→n.-→IJ=3×2+1×2+4×(-2)=0=?-→n?-→IJ-→n.-→IK=3×(-2)+1×2+4×1=0=?-→n?-→IK?

donc -→nest un vecteur normal au plan (IJK). Le plan (IJK) est alors l"ensemble des points M tels que --→IM et-→nsoient orthogonaux.

Si M a pour coordonnées (x;y;z), le vecteur--→IM a pour coordonnées (x-1;y-1;z-1).--→IM?-→n??--→IM.-→n=0??3(x-1)+1(y-1)+4(z-1)=0??3x+y+4z-8=0.

Le plan (IJK) a pour équation 3x+y+4z-8=0.

2.SoitPle plan d"équation 3x+y+4z-8=0.

a.La droite (BD) a pour vecteur directeur--→BD de coordonnées (11-1; 1-2;-2-3)=(10;-1;-5). donc elle a pour représentation paramétrique :???x=1+10t y=2-toùt?R z=3-5t b.Pour chercher si le planPet la droite (BD) sont sécants, on résout le système :

Nouvelle-Calédonie517 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

?x=1+10t y=2-t z=3-5t y=2-t z=3-5t

3(1+10t)+(2-t)+4(3-5t)-8=0

y=2-t z=3-5t y=2+1 z=3+5 y=3 z=8 t= -1 Donc la droite (BD) et le planPsont sécants en un point L de coordonnées (-9; 3; 8).

c.Le vecteur--→BD a pour coordonnées (10;-1;-5), et le vecteur-→LB a pour coordonnées

(1-(-9); 2-3; 3-8)=(10;-1;-5). Les vecteurs--→BD et-→LB sont égaux donc le point L est le sy-

métrique du point D par rapport au point B.

Exercice 45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=5-4 x+2.

1.f?(x)=0-0(x+2)-4×1

(x+2)2=4(x+2)2>0 sur[0;+∞[. Donc la fonctionfest strictement croissante sur[0;+∞[.

2.On résout dans[0;+∞[l"équationf(x)=x:

f(x)=x??5-4 -x2+3x+6 x+2=0?? -x2+3x+6=0 etx+2?=0 On résout-x2+3x+6=0;Δ=9-4×6×(-1)=33>0.

Les solutions sont donc

-3-? 33
-2=3+? 33

2et3-?

33
2.

Cette deuxième solution est négative donc l"unique solution de l"équationf(x)=xdans l"intervalle

[0;+∞[estα=3+? 33

2≈4,37.

3.On considère la suite(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=f(un).

u

0,u1etu2; voir page 10.

On peut conjecturer que la suite

(un)est croissante et converge versα.

4. a.SoitPnla propriété 0?un?un+1?α.

•Initialisation: pourn=0,un=u0=1 etun+1=u1=f(u0)=5-4

1+2=113; de plusα≈4,37.

On a 0?1?11

3?αce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.

•Hérédité: on suppose que quel que soit l"entierp>0, 0?up?up+1?α. On sait d"après la question1.que la fonctionfest strictement croissante sur[0;+∞[; donc : f(0)=3?0,f?up?=up+1etf?up+1?=up+2. De plus,αest solution de l"équationf(x)=xdoncf(α)=α. On a donc 0?up+1?up+2?α; on peut dire que la propriété est vraie au rangp+1.

• La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc d"après le principe de récurrence

la propriété est vraie pour tout entier natureln.

Nouvelle-Calédonie617 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

On a donc démontré que, pour tout entier natureln, 0?un?un+1?α. b.Pour toutn,un?un+1donc la suite(un)est croissante. Pour toutn,un?αdonc la suite(un)est majorée parα. Donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite(un)est convergente.

5.Pour tout entier natureln, on définit la suite(Sn)parSn=n?

k=0u k=u0+u1+···+un. a.S0=u0=1;S1=u0+u1=1+11

3=143≈4,67

S

2=u0+u1+u2=S1+u2;u2=f(u1)=f?11

3? =7317doncS2=143+7317=45751≈8,960 donc S

2≈8,96.

b.On complète l"algorithme donné en annexe 2 pour qu"il affichela sommeSnpour la valeur de l"entierndemandée à l"utilisateur; voir page 11. c.On sait que la suite (un) est croissante donc, pour toutndeN,un?u0. Oru0=1, donc, pour toutn,un?1 et doncSn=u0+u1+...+un?n+1.

Or lim

n→+∞n+1=+∞donc, d"après les théorèmes de comparaison sur les limites : lim n→+∞Sn=+∞

Nouvelle-Calédonie717 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice 45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On considère l"algorithme suivant, oùAetBsont des entiers naturels tels queAEntrées:AetBentiers naturels tels queA

Variables:Dest un entier

Les variables d"entréesAetB

Traitement:Affecter àDla valeur deB-A

Tant queD>0

Bprend la valeur deA

Aprend la valeur deD

SiB>AAlors

Dprend la valeur deB-A

Sinon

Dprend la valeur deA-B

Fin Si

Fin Tant que

Sortie :AfficherA

1.On entreA=12 etB=14. On remplit le tableau donné enannexe;voir page 12.

La valeur affichée par l"algorithme est 2.

2.Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombresAetB.

En entrantA=221 etB=331, l"algorithme affiche la valeur 1. a.On a fait tourner l"algorithme pourA=221 etB=331 donc le PGCD de 221 et 331 est 1; ces deux nombres sont donc premiers entre eux.

D"après le théorème de Bézout, on peut dire qu"il existe des entiers relatifsxetytels que 221x-

331y=1 (équation (E)).

b.221×3-331×2=663-662=1 donc le couple (3 ; 2) est une solution de (E). (E) 221×x-331×y=1

221×3-331×2=1

221(x-3)-331(y-2)=0 par soustraction

Donc 221(x-3)=331(y-2) et donc 221 divise 331(y-2). Or on sait que 221 et 331 sont premiers entre eux donc, d"après le théorème de Gauss, 221 divisey-2. On peut donc dire quey-2=221koùk?Zet donc quey=2+221k. De 221(x-3)=331(y-2) on déduit 221(x-3)=331×221kce qui équivaut àx-3=331k; donc x=3+331k. L"ensemble solution de l"équation (E) est??3+331k; 2+221k?? k?Z

3.On considère les suites d"entiers naturels(un)et(vn)définies pour tout entier naturelnpar

u n=2+221net?v0=3 v n+1=vn+331 a.La suite (vn)est arithmétique de raisonr=331 et de premier termev0=3; donc, pour tout entier natureln,vn=v0+n×r=3+331n. b.up=vq??2+221p=3+331q??221p-331q=1 D"après les questions précédentes, on a : (p,q)=(3+331k, 2+221k)k?Z

Nouvelle-Calédonie817 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

0?p?500??0?3+331k?500=?k??0, 1?

0?q?500??0?2+221k?500=?k??0, 1, 2??

=?k??0, 1?

Pourk=0, (p,q)=(3, 2) doncu3=v2=665.

Pourk=1, (p,q)=(334, 223) doncu334=v223=73816.

Nouvelle-Calédonie917 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe 1 de l"exercice 4

réservéauxcandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

123456

1 2 3 4 5 6 7

OM0M1u

1M2u 2α

Nouvelle-Calédonie1017 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe 2 de l"exercice 4

réservéauxcandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Entrée :nun entier naturel

Variables:uetssont des variables réelles

netisont des variables entières

Initialisation:uprend la valeur 1

sprend la valeuru iprend la valeur 0

Demander la valeur den

Traitement:Tant quei

Affecter àila valeuri+1

Affecter àula valeur5-4u+2

Affecter àsla valeurs+u

Fin Tant que

Sortie :Affichers

Nouvelle-Calédonie1117 novembre2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe de l"exercice 4 - Spécialité

réservéauxcandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité ABD 12142
21210
1028
8102
286
624
462
242
220

Nouvelle-Calédonie1217 novembre2014

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