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A. P. M. E. P.

?Brevet de technicien supérieur novembre 2014? groupement A Nouvelle-Calédonie

Exercice110points

Soitτun nombre réel apparemment à l"intervalle [0 ;π]. On considère une fonction Fdéfinie sur l"ensemble des nombres réels, périodique de période 2π, impaire telle que :

F(t)=0 sit??

0 ;τ

2?

F(t)=1 sit??τ

2;π-τ2?

et

F(t)=0 sit??

2;π?

La fonctionFsatisfait aux conditions de Dirichlet. On note son développement en série de Fourier, avec les notations du formulaire : a

0++∞?

n=1(ancos(nt)+bnsin(nt)).

PartieA

Pour cette partie,τ=π

3. Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions in- dépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie. tionF?

2.La valeur du coefficienta0est égale à :

•0•1•2

3•π

3.La valeur du coefficientb1est égale à :

•0•1•2

π•2?

3

PartieB

Pour cette partie,τ=π

3.

1.On noteFela valeur efficace de la fonctionF. On rappelle que :

F 2e=1 0 [F(t)]2dt.

Montrer que :F2e=2

3.

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

2.Le taux de distorsion harmoniqueTHDdu signal modélisé par la fonctionF

est défini par :

THD=100?

2F2e-b21

b1. Donner une valeur approchée à une unité près du nombreTHD.

PartieC

Pour cette partieτest quelconque dans l"intervalle [0 ;π[. Un onduleur autonome est un convertisseur statique assurant la transformation mande décalée est celle définie parF(t) oùtest le temps mesuré en secondes.

1.Déterminera0etanpour tout nombre entier naturelnnon nul. Justifier la

réponse.

2.Montrer que

0

F(t)sin(nt)dt=1

n? cos?nτ2? -cos? nπ-nτ2??

3.Justifier quepour tout nombreréelτettout nombreentier naturelnnonnul,

on a l"égalité suivante : cos nπ-nτ 2? =(-1)ncos?nτ2?

4. a.Déduire des questions 2 et 3 que, pour tout nombre entier naturelnnon

nul, on a : b n=2(1-(-1)n) nπcos?nτ2? b.En déduire les valeurs deb2etb4· c.Que peut-on dire deb2ppour tout nombre entier naturelpnon nul?

5.La courbe en annexe 2 donne en fonction deτ, le taux de distorsion harmo-

nique (THD) introduit dans la partie B. Déterminer graphiquement la valeur deτpour laquelle le taux de distorsion harmonique est minimal.

Exercice210points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. mercialiser un nouveau modèle de photocopieur multifonction dont l"une des ca- ractéristiques est la correction de QCM. Dans le but de respecter le plan marketing établi, l"un de ces photocopieurs est installé pour une période d"essai dans le secré- tariat pédagogique d"une université.

Les étudiants de cette université ont passé une épreuve de culture générale, sous la

forme d"un QCM. Les documents réponses ont été ensuite corrigés par ce photoco- pieur.

Une étude a été réalisée afin d"évaluer la fréquence des erreurs de correction et le

temps nécessaire à cette correction.

PartieA

Nouvelle-Calédonie Groupe A2novembre2014

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

On prélève au hasard un document réponse de cette épreuve. Tous les documents réponses ont la même probabilité d"être tirés. Lors de cette étude, 85% des documents réponses ont été complétés en noir et le reste dans une autre couleur. Laprobabilité qu"un document réponse présente au moins uneerreur decorrection sachant que la couleur utilisée pour y répondre est le noir, est égale à 0,001. Laprobabilité qu"un document réponse présente au moins uneerreur decorrection sachant que la couleur utilisée pour y répondre n"est pas le noir, est égale à 0,1.

On définit les évènements suivants :

E: "Le document,réponse présente au moins une erreur de correction»; N: "Le document réponse a été complété en noir».

1.Recopier et compléter l"arbre ci-dessous qui illustre la situation précédente.

N ...E E...

N...E...

E...

2.Dans cette question, on donnera les valeurs exactes.

a.Justifier queP(N∩E)=0,00085. b.Calculer la probabilité de l"évènement

N∩E.

c.En déduire la probabilitéP(E).

3.Quelle est la probabilité, donnée à 1O-3près, que le document prélevé soit

écrit en noir, sachant qulil présente au moins une erreur de correction?

PartieB

On appelle document " mal corrigé» un document réponse présentant au moins une erreur de correction. La proportion de documents "mal corrigés» est arrondie à 1,6%. On prélève au hasard 100 documents réponses. Le nombre de documents réponses est suffisamment grand pour que l"on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. corrigés» parmi les 100 choisis. loi.

On donnera une valeur approchée à 10

-3près.

3. a.On considère une variable aléatoireYsuivant la loi de Poisson de para-

mètreλ=1,6 dont la table est donnée ci-dessous.

Nouvelle-Calédonie Groupe A3novembre2014

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

ABC

1kP(Y=k)

200,2019

310,3230

420,2584

530,1378

640,0551

750,0176

860,0047

970,0011

1080,0002

1190,0000

12100,0000

13110,0000

14......

15 À l"aide de la table ou de la calculatrice, déterminer le pluspetit nombre entier naturelk?tel que :

P(y?k?)?0,95.

b.On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoireXpeut être approchée par la loi de Poisson de paramètreλ=1,6. Peut-on affirmer que la probabilité qu"au plus 4 documents réponses sur

100 soient "mal corrigés» est supérieure ou égale à 0,95?

4.Ladurée,exprimée en secondes, nécessaire àl"appareil pour corriger100 do-

cuments est une variable aléatoireZ. On admet que la variable aléatoireZ suit la loi normale de moyenne 250 et d"écart type 20. a.DéterminerP(220?Z?280).

On donnera une valeur approchée à 10

-3près. b.Lephotocopieur estjugéperformantsilaprobabilitéqueletemps decor- rection de 100 documents réponses soit compris entre 220 secondes et

28Osecondes est supérieure à 0,8. Ce photocopieur est-il performant?

PartieC

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions in- dépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées,une seule est exacte. Le candi- dat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.

1.Une variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,016.

Une valeur approchée à 10

-3près de la probabilitéP(X?1) est :

•0,199•0,324•0,523•0,801

2.Une variable aléatoireYsuit la loi de Poisson de paramètreλ.

réel strictement positifλassocie la probabilité de l"évènementY=2.

Nouvelle-Calédonie Groupe A4novembre2014

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

0,10,20,30,4

-0,11 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1λO Sachant que cette probabilité vaut 0,26, une valeur possible, approchée au dixième, deλest :

•0,1•1,6•3•3,9

3.Une variable aléatoireZsuit la loi normale centrée réduite.

Une valeur approchée à 10

-1près du nombre réelαtel que :

P(Z?α)=0,0668

est :

• -1,5• -0,5•0,5•1,5

Nouvelle-Calédonie Groupe A5novembre2014

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

Annexe 1

12 -1π2π-π-2π

Courbe 1

12 -1π2π-π-2π

Courbe 2

12 -1π2π-π-2π

Courbe 3

12 -1π2π-π-2π

Courbe 4

Nouvelle-Calédonie Groupe A6novembre2014

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

Annexe 2

0510152025303540455055

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Nouvelle-Calédonie Groupe A7novembre2014

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