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Probabilités

Table des matières

1 q.c.m préliminaire3

1.1 énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .3

1.2 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .6

2 loi des grands nombres7

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .7

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .9

3 probabilité10

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .10

3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .11

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .13

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .17

4 probabilités et opérations sur les événements22

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .22

4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .22

4.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .22

4.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .23

4.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .24

4.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .24

4.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .25

4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .26

4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .28

4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .30

5 probabilités et expériences aléatoires composées33

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .33

5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .33

5.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .33

5.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .33

5.1.4 activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .34

5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .35

5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .37

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .38

5.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .39

6 exercices41

7 devoir maison48

7.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .48

7.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .49

8 évaluations50

8.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .50

8.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .51

1

9 révision52

1 q.c.m préliminaire1.1 énoncé

)/-#0)# 1 2 1 2 1 2 3 41
567

5,! " '

8 "/01-2 '$ 3$$ !!!4 ! ! 4 5#$ "//01-2 617'$ 3$$ 4 "$$%'89

3*9%$(

'3*

1.2 réponses

questionrésultatméthode

1p(pile) =12

nombre de cas favorables nombre de cas total

2p(1) =16

nombre de cas favorables nombre de cas total

3p(2) =16

nombre de cas favorables nombre de cas total

4p(Pair) =p(2) +p(4) +p(6) = 0,68

???somme des probabilit´es des cas favorables

5p(Roi) =432

nombre de cas favorables nombre de cas total

6p(Coeur) =832

nombre de cas favorables nombre de cas total

7p(Roi et coeur) =132

nombre de cas favorables nombre de cas total

8p(Roi ou coeur) =432+832-132=1132

???p(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B)

9p(Roi) = 1-432=3232-432=2832

???p(A= 1-p(A)

10p(Fille) =1732

nombre de cas favorables nombre de cas total

11p(Droitier) =2530

nombre de cas favorables nombre de cas total

12p(FilleetDroitier) =1530

nombre de cas favorables nombre de cas total

13p(FilleouDroitier) =1730+2530-1530=2730p(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B)

14pGaucher(Fille) =25

nombre de cas favorables nombre de cas total

15pFille(Gaucher) =217

nombre de cas favorables nombre de cas total

16p(2vertes) =49

???arbre1 etnombre de cas favorablesnombre de cas total

17p(2rouges) =19arbre1 etnombre de cas favorablesnombre de cas total

18p(2vertes) =26arbre2 etnombre de cas favorablesnombre de cas total

19p(2rouges) = 0arbre2 etnombre de cas favorablesnombre de cas total

20p(2six) =136arbre3 etnombre de cas favorablesnombre de cas total

arbre 1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 arbre 2 V1 V2 R1V2 R1 V1 R1 V1 V2 arbre 3 1 23
4 5 6 1 23
4 5 6

2 loi des grands nombres2.1 activité

2.2 à retenir

définition 1 :(expérience aléatoire et univers)

(1) Une expérience est aléatoire si :?on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver

(2) L"ensembleUdes "résultats" possibles est appelé "l"univers" de l"expérience aléatoire

Exemples :

a. lancer d"une pièce :U={P;F} b. lancer d"une dé à six faces :U={1;2;3;4;5;6} c. choix d"une carte dans un jeu usuel de 32 cartes :U={as de coeur;...;7de pique} d. jouer au loto(7 nombres différents de 1 à 49):

Remarques :

a. chaque résultat est aussi appelé"issue","événement élémentaire"ou"éventualité"

b. l"univers est aussi notéΩ(grand oméga) c. à notre niveau, l"universUaura toujours un nombrenentier et fini d"éléments on pourra alors noterU={x1;x2;...;xn} propriété 1 :(loi des grands nombres) Etant donnée une expérience aléatoire d"universU={x1;x2;...xn} On répètekfois cette expérience aléatoire Soitfk(xi)la proportion de fois où l"on obtient le résultatxi?Uparmi leskexpériences c"est à dire :? fk(xi) =nombre de fois o`u on obtient xinombre d´exp´eriences

Quel que soitxi?U:

pluskest grand et???(1) plusfk(xi)se rapproche d"une certaine valeurpi (2) plus les "fluctuations" des valeurs defk(xi)sont petites

Remarques :

a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre defois et plus la fréquence

d"apparition du résultat auquel on s"intéresse se rapproche d"une certaine valeur

Exemples :

a. pièce équilibrée :fk(P)se rapproche de 0,5 = 50% quandkgrandit b. dé à six faces équilibré :fk(1)se rapproche de1

6?16,7%quandkgrandit

c. jeu de 32 cartes :fk(Roi)se rapproche de4

32?12,5%quandkgrandit

3 probabilité3.1 activité

activité 1 (a) le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs 5 1 2 a b c d e fg h i j k l i. donner l"universUdes résultats possibles ii. donner la valeur de la probabilité de chacun des résultats possibles(p(a) =...) iii. on reçoit le nombreRd"euros indiqué selon le grand secteur A. donner la probabilitép(R= 5)de recevoir 5 euros puisp(R= 1)etp(R= 2) B. déterminer les probabilitésp(R≥2)etp(R <2)et interpréter les résultats (b) on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs i. combien y a t-il de résultats possibles?(penser à un arbre de dénombrement) ii. combien y a t-il de cas où l"on reçoit 10 euros au total ? iii. en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total iv. quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total? (c) en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alorsX=R-2( par exemple :X= 5-2 = 3) i. compléter le tableau suivant somme reçu :R5total gain du jeu :X3total probabilité ii. quelle est la probabilitép(X >0)de gagner de l"argent à ce jeu? iii. quelle est la probabilitép(X <0)de perdre de l"argent? iv. calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les probabilités v. ce jeu est-il à l"avantage du joueur ou de l"organisateur? (d) dans le cas où l"on fait tourner la roue 2 fois de suite i. quelle est la probabilité d"avoir un gain total nul ii. quelle est la probabilité d"avoir un gain total strictement négatif ? activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat :X123456total probabilité0,10,10,20,30,250,051 calculer :

A.p(Xpair)

B.p(X≥3)

C.p(X <3)

3.2 corrigé activité

corrigé activité 1 (a) le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs 5 1 2 a b c d e fg h i j k l i.????U={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} ii. p(a) =p(b) =p(c) =...=p(k) =p(l) =112 iii. on reçoit le nombreRd"euros indiqué selon le grand secteur A.? ???p(R= 5) =312=14????p(R= 1) =412=13????p(R= 2) =512 B. ???p(R≥2) =812=23la probabilité de gagner au moins 2 euros est de?67% p(R <2) =p(R= 1) =13 la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de?33% (b) on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs i.? ???il y a12×12 = 144résultats possibles(voir l"arbre partiel ci dessous) a ?a ?b ?c ?d(5) ?e(5) ?f(5) ?g ?h ?i ?j ?k ?l ?b ?c ?d(5) ?e(5) ?f(5) ?g ?h ?i ?j ?k ?l ii. nombre de cas où l"on reçoit 10 euros(5 puis 5)au total :????3×3 = 9cas iii. probabilité de recevoir 10 euros au total :? 9

144= 6,25%

iv. probabilité de recevoir 2 euros(1 puis 1)au total :?

4×4

144=16144?11,1%

(c) en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alorsX=R-2( par exemple :X= 5-2 = 3) i. somme reçu :R125total gain du jeu :X-103total probabilité4 12 5 12 3 12 12 12 ii.? p(X >0) =p(X= 3) =312 iii.? ???p(X <0) =p(X= 1) =412 iv. gain moyen =412×(-1) +512×0 +312×3 =512?????0,42euros v. ???ce jeu est à l"avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,42 > 0) (d) dans le cas où l"on fait tourner la roue 2 fois de suite i. probabilité d"avoir un gain total nul :? p(double2) =5×5144=25144?17,3% ii. probabilité d"avoir un gain total strictement négatif : ???p("double1"ou"1puis2"ou"2puis1") =4×4 + 4×5 + 5×4144=56144?39% corrigé activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat :X123456total probabilité0,10,10,20,30,250,051 calculer : A.p(Xpair) =p(X= 2) +p(X= 4) +p(X= 6) = 0,1 + 0,3 + 0,05 = 0,45=? ???45%

B.p(X≥3) =p(X= 3) +p(X= 4) +p(X= 5) +p(X= 6)

p(X≥3) = 0,2 + 0,3 + 0,25 + 0,05 = 0,8=? ???80%

C.p(X <3) =p(X= 1) +p(X= 2) = 0,1 + 0,1 = 0,2=?

???20%

3.3 à retenir

définition 2 :(probabilité et événement élémentaire )

Soit un universU={x1;x2;...;xn}

Une probabilitépdéfinie surUest une fonction deUvers[0;1] qui à chaquexiassocie un nombrep(xi)compris entre 0 et 1 et telle que :? ???p(x1) +p(x2) +...+p(xn) = 1(la somme des probabilités des issues vaut 1)

Remarques :

a. le nombrep(xi)compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" dexi b. La somme des probabilités des éléments deUest égale à 1

Exemples :

a. dé à 6 faces équilibré : résultat123456total probabilité1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 61
b. dé à 6 faces non équilibré :résultat123456total probabilité0,10,10,20,30,250,051 définition 3:(probabilité et événement quelconque ) Soit un l"universU={x1;x2;...;xn}sur lequel est défini une probabilitép

SoitAune partie deU

?•SiA?=∅est constituée des issuesxi1;...;xik(A={xi1;...;xik}) alors la probabilité deAest le nombre notép(A)avec :? ???p(A) =p(xi1) +...+p(xik) (p(A)est la somme des issues qui constituentA)

•Si?

???A=∅alors????p(A) = 0on dit queAest un événement"impossible"

Remarque :

si? ???p(A) = 1on dit queAest un événement"certain" propriété 2 :(cas de l"équiprobabilité) Soit l"universU={x1;x2;...;xn}constitué den >0issues etpune probabilité (1) Si? ???p(x1) =p(x2) =...=p(xn) =1nalors on dit qu"il y a "équiprobabilité" (toutes les éventualités ont la même probabilité) (2) SoitAune partie deUconstituée deskévénements élémentairesxi1;...;xik on alors? p(A) =knou encore???? p(A) =nombre de cas favorables pour Anombre de cas au total

Exemples :

i. dé à 6 faces équilibré : résultat :X123456total probabilité1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 61
p(Xpair) =... p(X≥3) =... p(X <3) =... ii. dé à 6 faces non équilibré : résultat :X123456total probabilité0,10,10,20,30,250,051 p(Xpair) =... p(X≥3) =... p(X <3) =...

3.4 exercices

exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs5e2e 0e on reçoit le nombre d"euros indiqué (a) donner les probabilités suivantes i.p(R= 0), p(R= 2)etp(R= 5) de recevoir respectivement 0e, 2eet 5e, ii.p(R >0)(interpréter le résultat par une phrase) iii.p(R <5)(interpréter le résultat par une phrase) (b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficientsles probabilités? (c) sachant qu"il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-ilà l"avantage du joueur ou de l"organisateur ? exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée àp(pile) =3

21donner la valeur exacte dep(face)ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5

exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S :123456total probabilité0,10,050,150,020,28 i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non ii. calculer les probabilités suivantes A.p(Pair)(probabilité que le score S soit Pair)

B.p(S≥3)

C.p(S >3)

exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.

Chacune tire au hasard une bille de son sac.

i. Le contenu des sacs est le suivant :

Sac d"Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges

et

30 billes noires100 billes rouges

et

3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge? ii. On souhaite qu"Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d"Ali? exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

GarçonFilleTotal

Seconde14020160

Première41090500

Terminale150190340

total7003001000 (a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i.A: l"élève est une fille ii.B: l"élève est en première iii.C: l"élève est un garçon et est en terminale iv.E: l"élève n"est pas en première (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu"elle soit en première? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille? exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1; 1; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. 12 1 31
2

QuestionABC

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche?2 3 6 44
Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro2?1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50