[PDF] equation de la tangente exercice
[PDF] fonction circulaire réciproque exercice corrigé pdf
[PDF] carnet de bord stage bts
[PDF] exemple d'un journal de stage
[PDF] journal de bord stage licence
[PDF] exemple journal de bord stage 3eme
[PDF] journal de bord stage en entreprise 3ème
[PDF] journal de bord stage exemple
[PDF] portrait d'un héros
[PDF] heros redaction
[PDF] description d un héros imaginaire
[PDF] inventé un super hero
[PDF] cours math 2 st pdf
[PDF] examen math 2 st pdf
[PDF] cours math 3 st pdf
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95
2M stand/renf - JtJ 2019
Chapitre 6: Fonctions trigonométriques
Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.
6.1 Quelques rappels
Définitions
Les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide du cercle trigonométrique : Considérons le point M du cercle trigonométrique corres- pondant à l'angle .
Le cosinus de , noté cos(), est la 1
ère
coordonnée (ou abs- cisse) de M.
Le sinus de , noté sin(), est la 2
ème
coordonnée (ou or- donnée) de M. La tangente de , notée tan(), est l'ordonnée de T.
Relations fondamentales
(I) sin 2 ()+cos 2 ()=1 (II) tan()=sin() cos()
Valeurs particulières
degrés radians sin cos tan 0°
30°
45°
60°
90°
180°
Graphes des fonctions trigo
96 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019
Périodicité
• La fonction sinus est périodique de période ...... sin( + ...) = sin(...) • La fonction cosinus est périodique de période ...... cos( + ...) = cos(...) • La fonction tangente est périodique de période ...... tan( + ...) = tan(...) a) Esquisser la fonction f définie par f(x)=3sin x 2 puis préciser sa période et son amplitude.
Exemple
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97
2M stand/renf - JtJ 2019 b) Esquisser la fonction f définie par f(x)=1
2cosx+
puis préciser sa période, son amplitude.
Exemple
Exercice 6.1 :
Esquisser les fonctions f suivantes en précisant leur période et leur amplitude: a) f(x)=2cos x 3 b)f(x)=sinx+ 2 c) f(x)=3cos x 2
Théorème
Si f(x)=asin(bx+c) ou f(x)=acos(bx+c),
où a, b et c sont des réels non nuls, alors : • l'amplitude A vaut : | a | • la période T vaut : 2 |b|
98 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019 On considère la fonction f définie parf(x)=3cos x 2 Déterminer l'amplitude A et la période T de f. En déduire son esquisse
Exemple
Exercice 6.2 :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa pé- riode T et son amplitude A : a) f(x)=sinx 2 b)g(x)=2cos 3x+ c) h(x)=cos x 2 3 d) i(x)=2sin 3x Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon- dantes à ces 4 fonctions :
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 99
2M stand/renf - JtJ 2019
6.2 Quelques équations trigonométriques
Introduction
Une équation trigonométrique est une équation contenant des expressions trigonométriques. Il n"existe pas de mé- thode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très souvent votre allié.
Exemple
Résoudre cos(2x) = -0,9
Exercice 6.3 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) cos(x)=1
2 b) sin(3x)=0,829
c) tan(x)=0,754 d) cos(x)=1, 43 e) tanx 2 =5,33 f) sin(3x)=3 2
100 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019
Résoudre sin 2x+
2 =3 2
Exemple
Exercice 6.4 :
Résoudre les équations suivantes (en radians): a) sinx+ 4 =1 2 b) cosx 3 =1 2 c) sin 2x 3 =1 2 d) cos 4x 4 =2 2 e) tan(2x+)=3 f) tanx 2 =1
Exemple
Résoudre sin
2 x =1
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 101
2M stand/renf - JtJ 2019
Exercice 6.5 :
Résoudre les équations suivantes (en radians): a) cos 2 x =1 b) sin 2 x =1 4 c) tan 2 x =3 d) sin 2 x =3 4 e) tan 2 x =1 f) sin 2 (x)=cos 2 (x)
Exemple
Résoudre 4cos
2 (x)4cos(x)3=0
Exercice 6.6 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) 2sin 2 (x)5sin(x)+2=0 b) 2cos 2 (x)3cos(x)+1=0 c) tan 2 (x)+2tan(x)=1
102 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019
Exemple
Résoudre 3sin
2 (x)+cos 2 (x)2=0
Exercice 6.7 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) 3sin 2 (x)+cos 2 (x)2=0 (en proposant une autre substitution) b) 2cos 2 (x)sin(x)=1 c)
5sin(x)=6cos
2 (x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 103
2M stand/renf - JtJ 2019
6.3 Dérivée des fonctions trigonométriques
Introduction
À l'image des chapitres précédents, nous pourrions détermi- ner la dérivée de la fonction f définie par f (x) = sin(x) à l'aide du calcul de limite : lim xa sin(x)sin(a) xa. Essayons de trouver cette dérivée en comparant les graphes de f et de la pente de la tangente en plusieurs points. x 2π y -2 2 f(x)=sin(x) x 2π y -1 1 f (x)=......... Des démarches analogues permettraient de justifier les règles suivantes : Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8
ème
règle : Si f(x)=sin(x) f (x)=cos(x) 9
ème
règle : Si f(x)=cos(x) f (x)=sin(x) 10
ème
règle : Si f(x)=tan(x) f(x)=tan 2 (x)+1 ou f(x)=1 cos 2 (x)
Exercice 6.8 :
Dériver les fonctions f suivantes :
a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x 2
· cos(x)
c) f (x) = cos(x) - 2tan(x) d)f(x)=tan(x) x e)f(x)=sin(x)
1+cos(x) f)f(x)=x
sin(x)+cos(x)
104 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019
Exercice 6.9 :
En combinant les règles 8 et 9 du tableau précédent, justifier la 10
ème
règle (sous les deux formes).
Exercice 6.10 :
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point indiqué : a) f (x) = tan(x) au point d'abscisse x = b) f (x) = x cos(x) au point d'abscisse x =
Exercice 6.11 :
En quelles valeurs de x[0;2], la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?
6.4 La dérivée de fonctions composées
Introduction
Nous avons déjà eu l'occasion de dériver quelques fonctions composées codées: f(x)=(gh)(x). Par exemple : • f(x)=x2 correspond à f(x)=(gh)(x) avec g(x) = ......... et h(x) = ......... • f(x)=(3x5) 3 correspond à f(x)=(gh)(x) avec g(x) = ......... et h(x) = ......... f(x)=1 x 2 +4 3 correspond à f(x)=(gh)(x) avec g(x) = ......... et h(x) = ......... Lors du calcul de ces 3 dérivées, nous avons vu apparaître ce que nous avons appelé la dérivée interne. Ceci se géné- ralise lors du calcul de la dérivée de toutes les fonctions composées. Les règles de dérivation des fonctions composées : 11
ème
règle : Si f(x)=sing(x) f (x)=cosg(x) g (x) 12
ème
règle : Si f(x)=cosg(x) f (x)=sing(x) g (x) 13
ème
règle : Si f(x)=tang(x) f (x)=1 cosg(x) 2 g (x)= g (x) cosg(x) 2 ou f(x)=tan 2 (g(x))+1 g(x) ou plus généralement pour toutes les fonctions composées : 14
ème
règle : Si f(x)=g(x)h(x)=gh(x) f (x)= g h(x) h (x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 105
2M stand/renf - JtJ 2019
Exemple
dériver les 2 fonctions f et g définies par : a) f(x)=sinx 2 b) f(x)=sin(x) 2 Exercice 6.12 : Dériver les fonctions f définies par : a) f(x)=tan(3x) b) f(x)=cos(x 3 c) f(x)=cos 3 (x) d) f(x)=xsin 1 x
106 CHAPITRE 6
2M stand/renf - Jt 2019quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
[PDF] Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus - Maths-francefr