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Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable ”autour” d'eux Si f est deux
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+ : x + y ≤ 1} 4 Recherche d'extrema 4 1 Extremum local Définition 14 Soit f une fonction définie sur un ouvert U
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Fonctionsde2et3variables
AdministrationÉconomiqueetSociale
Mathématiques
XA100M
fonction,onnote f:RR!R: fonction,onnote f:RRR!R: en(x;y;z). noteD(f).Exemple
Soit f:RR!R (x;y)7!1 xy: couples(x;y)telsquexy6=0.AinsiD(f)=f(x;y)2RR:x6=yg:
Ona f(2;3)=1 23=1:Exemple
Soit g:RRR!R (x;y;z)7!8 :yz xsix6=00sinon.
couples(x;y;z).AinsiD(g)=RRR:
Ona g(2;3;1)=31 2=32etg(0;32;12)=0:
2Extremumssouscontrainte:méthode
f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctiondedeuxvariableset c:RR!R (x;y)7!c(x;y) unedeuxièmefonctiondedeuxvariables. celuipourlequelf(x;y)estmaximum.Uncouple(x
0 ;y 0 )deD(f)estunmaximumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 celuipourlequelf(x;y)estminimum.Uncouple(x
0 ;y 0 )deD(f)estunminimumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 souslacontraintec. f(x;y)deviennentalors1.soitg(y)=f(h(y);y)danslepremiercas;
2.soitg(x)=f(x;h(x))danslesecondcas.
Exemple
Onconsidèrelafonction
f(x;y)=2xy c(x;y)=2x+3y6: y=22 3x: f(x;y)=f x;22 3x =2x 223x etondoitétudierlesextremumsde g(x)=2x 22
3x
Oncalcule
g 0 (x)=8 3x+4:Ainsig
0 (x)>0pourx<3 2etg 0 (x)<0pourx>32etgaun
maximumatteintenx=32.Onaalors
y=22 332=1: unmaximum,cemaximumestatteinten 32
;1etvaut f 3 2;1 =3:
2x+3y6=0.
3Dérivéespartiellespremièreset
deuxvariablesSoit f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctionà2variables. (x;y)si,ladérivéedelafonction f y :R!R x7!f(x;y) existeenx.Onnote @f @x:RR!R (x;y)7!f 0y (x;y):Pourcalculer@f
considérantycommeunnombreconstant. (x;y)si,ladérivéedelafonction f x :R!R y7!f(x;y) existeeny.Onnote @f @y:RR!R (x;y)7!f 0x (x;y):Pourcalculer@f
considérantxcommeunnombreconstant.Exemple
Soit f:RR!R (x;y)7!x 2 p y+y: OnaD(f)=f(x;y)2RR:y0g:
Siyestconstant,ladérivéedex
2 p y+yparrapportàxest2xp y donc@f @x(x;y)=2xp y:Sixestconstant,ladérivéedex
2 p y+yparrapportàyest x 212p y +1donc @f @y(x;y)=x 2 1 2p y+1: f(x;y)2RR:y>0g6=D(f):