Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable ”autour” d'eux Si f est deux
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2 Extremums sous contrainte : méthode de substitution 2 1 Extremums sous contrainte Soit f : R × R → R (x, y) ↦→ f(x, y) une fonction de deux variables et
[PDF] Math2 – Chapitre 2 Dérivées, Taylor, extrema locaux
2 10 – Taylor 2 11 – Extrema locaux Théor`eme – Toutes les fonctions de plusieurs variables obtenues comme somme ر R une fonction de deux variables,
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xy x+y Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables On trouve les extrema de f sur le bord du rectangle en examinant les quatre côtés
[PDF] Cours Fonctions de deux variables - Maths ECE
Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable ”autour” d'eux Si f est deux
[PDF] Etude des extrema dune fonction
Dans les deux premiers cas on dit que f admet un extremum local en x Evidement On va généraliser la discussion précédente aux fonction `a deux variables
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Extremum signifie minimum ou maximum 7 1 2 Points critiques (les suspects ) On va se concentrer sur la recherche des extrema locaux d'une
[PDF] Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables
Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles - Page 1 f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min, resp max
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4 Extrema d'une fonction de deux variables 63 4 1 Rappel dans le cas d'une seule variable 63 4 2 Extrémum local d'une fonction de
[PDF] Chap 3: Optimisation dune fonction à deux variables - COURSES
global) en (a,b) sur D, on dit que (a,b) est un extremum local (Resp global) () UIC 2018-2019 2 / 25 Page 3
[PDF] Chapitre 10 Fonctions de deux variables réelles
+ : x + y ≤ 1} 4 Recherche d'extrema 4 1 Extremum local Définition 14 Soit f une fonction définie sur un ouvert U
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Cours Fonctions de deux variables
par Pierre Veuillez1 Support th´eorique
1.1 Repr´esentation
Plan et espace :Grˆace `a un rep`ere cart´esien?O,?i,?j?
du plan, les couples (x,y) deR2peuvent ˆetre repr´esent´e par des pointsMde coordonn´ees (x,y)du plan. Pour une fonctionfdeR2dansR,grˆace `a un rep`ere?O,?i,?j,?k?
de l"espace, l"image de (x,y) sera repr´esent´ee par un point d"altitudez=f(x,y). L"ensemble de ces points formera une surface repr´esentative. Pour mieux appr´ehender cette surface, on pourra chercher des courbes de niveaux, des coupes verticales (comment les caract´eriser),ou des perspectives.Exemple :f(x,y) =x2-y2Courbes de niveau
CoupesxconstantCoupesyconstantRepr´esentation fil de ferSurface ombr´eeFonctions de deux variables Page 1/ 6
1.2 Distance
Probl`ematique :Les extrema de fonctions ne se caract´erisent pas de la mˆeme fa¸con suivant que la
fonction est ou n"est pas d´erivable "autour" d"eux Sifest deux fois d´erivable sur [a,b] et qu"elle est extremum enx?]a,b[,que peut-on dire de f ?(x),def??(x)?En est-il de mˆeme enaet enb?
D"o`u la n´ecessit´e pour une fonction deR2dansRde d´efinir l"alentour d"un pointA= (x,y), la proximit´e ou la distance entre points. D´efinition :La distance -euclidienne- entreA= (x,y) etB= (x?,y?) estd(A,B) =?(x-x?)2+ (y-y?)2Propi´et´es :d(A,B) = 0??A=B
1.3 Topologie (lieu d"utilisation des th´eor`emes)
Repr´esentation :Pour repr´esenter un ensemble donn´e par intersection, on hachure les parties
refus´ees. Pour repr´esenter un ensemble donn´e par r´eunion, on hachure les parties accept´ees.Exercice 1 :Repr´esenter
E={(x,y)?R2/ x2+y2>1 oux >0}
On trace la fronti`ere puis on teste `axouyconstant : yfix´e, sixest plus grand est-on encore dans l"ensemble? Boules :Laboule ouvertede centreAet de rayonrest le disque sans son bord :B(A,r) =?M?R2/ d(A,M)< r?
Laboule ferm´eede centreAet de rayonrest le disque avec son bord : Ouvert :Dest un ouvert deR2si tout point deDest `a l"int´erieur deD. Enonc´e math´ematique : pour tout pointAdeD, il exister >0 tel que°B(A,r)? D. L"´enonc´e devra pr´eciser si l"ensemble consid´er´e est un ouvert ou pas. Ferm´e :Dest un ferm´e deR2si son compl´ementaire est un ouvert. L"´enonc´e devra pr´eciser si l"ensemble consid´er´e est un ferm´e ou pas. Born´e :Dest un born´e dansR2s"il exister >0 tel queD ?°B(O,r), L"´enonc´e devra pr´eciser si l"ensemble consid´er´e est born´e ou pas. Fronti`ere (hors programme) :Comment caract´eriser la fronti`ere d"un ensemble?Id´ees g´en´erales (hors programme)•les ensembles donn´es par des in´egalit´es strictes "conti-
nues" sont des ouverts;En effet, une in´egalit´e stricte reste vraie `a proximit´e d"un point o`u elle est v´erifi´ee (... si la
condition est continue) •Lesproduits cart´esiensd"intervalles ouverts deRsont des ouverts deR2. Exemple :D= ]0,1[×]0,+∞[ ={(x,y)/ x?]0,1[ ety?]0,+∞[}•Une intersection finie d"ouvert est un ouvert. Une r´eunion quelconque d"ouvert est un ouvert
Contre exemple :?+∞
n=1°B?O,1n ?={O}est un ferm´e.Fonctions de deux variables Page 2/ 62 Limite et continuit´e
2.1 D´efinition
Limite :SoitD ?R2etf:D→R.
On dit quefa pour limite?enA= (a,b)? Det on note limM→Af(M) =?ouf(M)→f(A) quandM→Asi : f(x,y) est aussi proche de?que l"on veut pourvu queM= (x,y) soit suffisamment proche de A..Formalisation :
pour toutε >0 (la proximit´e que je veux) il existeα >0 (il existe une proximit´e) tel que,Continuit´e :SoitD ?R2etf:D→R.
On dit quefest continue enA? Dsif(M)→f(A) quandM→A.2.2 Op´erations
R´ef´erences :les fonctions coordonn´ees (x,y)→xet (x,y)→ysont continues surR2Op´erations :Les sommes, produits quotient et compos´ees de fonctions continues sont continues,
sous les r´eserves habituelles : - d´enominateur non nul, pour les quotients. - image par la premi`ere dans l"ensemble de continuit´e de la seconde, pour les compos´ees. Exercice 3 :D´eterminer les ensembles de continuit´e de : f(x,y) =x+yest la somme de (x,y)→xet (x,y)→ycontinues surR2 g(x,y) = ln(x+y) est la compos´ee defet de ln. h(x,y) =x·yx+yest le quotient de (x,y)→x·yet de (x,y)→x·y k(x,y) =?x2+y2-1 est la compos´ee de⎷et de la somme des compos´ees (x,y)→x→x2
et de (x,y)→y→y22.3 Extremum
Th´eor`eme :fcontinue sur un ferm´e born´e deR2alorsfa un minimum et un maximum (absolu). Le th´eor`eme ne pr´ecise pas comment le trouver!Fonctions de deux variables Page 3/ 63 D´eriv´ees partielles
3.1 D´erivation
D´efinition :La d´eriv´ee partielle def(x,y) par rapport `axest la d´eriv´ee dex→f(x,y) o`uyest
consid´er´e comme param`etre.Elle est not´eep=∂f∂x
ouf?x.De mˆeme pourq=∂f∂y
=f?yo`uxest consid´er´e comme un param`etre. r=∂2f∂x 2=f?? x2est la d´eriv´ee dex→∂f∂x (x,y) o`uyest consid´er´e comme param`etre, s=∂2f∂x∂y =f??x,yest la d´eriv´ee dex→∂f∂y (x,y) o`uyest consid´er´e comme param`etre, s=∂2f∂y∂x =f??y,xest la d´eriv´ee dey→∂f∂x (x,y) o`uxest consid´er´e comme param`etre, t=∂2f∂y 2=f?? y2est la d´eriv´ee dey→∂f∂y (x,y) o`uxest consid´er´e comme param`etre, p, q, r, s,ettsont les "notations de Monge"M´ethode :pour calculer les d´eriv´ees secondes, il faut d"abord calculer la d´eriv´ee premi`eres en (x,y)
et c"est cette expression que l"on re-d´erive alors.Exercice 4 :D´eterminer sur quel ensemblefestC2est calculer ses d´eriv´ees partielles premi`eres et
secondes, avec : f(x,y) =xy etf(x,y) =ln(x+y)y ClasseC1:ffonction deR2dansRest de classeC1si elle est d´erivable par rapport `a chaque variable et si ses d´eriv´ees partielles sont continues. ClasseC2:ffonction deR2dansRest de classeC2si elle est d´erivable par rapport `a chaquevariable et si ses d´eriv´ees partielles sont d´erivable et si les d´erives partielle secondes sont conti-
nues. Op´erations :Les sommes, produits, quotients et compos´ees de fonctions de classeC1(respC2) sont de classeC1(respC2) (sous les hypoth`eses habituelles) - Sih(x,y) =g(f(x,y)) alors∂h∂x (x,y) =g?(f(x,y))∂f∂x (x,y) (comme les compos´ees de fonctions deRdansR) - Nouveaut´e :g(x) =f(u(x),v(x)) alors g ?(x) =∂f∂x (u(x),v(x))·u?(x) +∂f∂y (u(x),v(x))·v?(x)N.B.il faut d"abord calculer les d´eriv´ees partielles defavant del es appliquer `a (u(x),v(x))
Th´eor`eme (Schwarz) :Sifest de classeC2sur un ouvertOalors2f∂x∂y
=∂2f∂y∂x en tout point deO.Fonctions de deux variables Page 4/ 63.2 D´eveloppements limit´es
Th´eor`eme admis :Sifest de classeC1en (a,b) alors il existe une fonctionεqui tend vers 0 en (0,0) telle que f(a+h,b+k) =f(a,b) +∂f∂x (a,b)·h+∂f∂y (a,b)·k+⎷h2+k2ε(h,k)
Economie :En n´egligeant le reste, on ´ecrira (notation diff´erentielle) df=∂f∂x dx+∂f∂y dy avecdx=h,dy=ketdf=f(a+h,b+k)-f(a,b) les variations dex, yet def(x,y).G´eom´etrie :La surface repr´esentative de la partie principale du d´eveloppement limit´e
(x,y)→f(a,b)+∂f∂x (a,b)·(x-a)+∂f∂y (a,b)·(y-b) est le plan tangent `a celle defen (a,b). Approcher les variations defpar la partie principale du d´eveloppement limit´e, revient `a ap- procher la surface repr´esentative par le plan tangent.Th´eor`eme :Sifest de classeC2en (a,b) alors il existe il existe une fonctionεqui tend vers 0 en
(0,0) telle que f(a+h,b+k) =f(a,b) +∂f∂x (a,b)·h+∂f∂y (a,b)·k +h2∂2f∂x2(a,b) + 2hk∂2f∂y∂x
(a,b) +k2∂2f∂y2(a,b)
?h2+k2?ε(h,k)4 Extrema
4.1 Extrema locaux
D´efinition :(a,b) est un extremum local (ou relatif) defsurDs"il existe un ouvertOtel que (a,b) est extremum absolu surO ∩ D. Th´eor`eme (Condition n´ecessaire) :Soitfde classeC1sur un ouvertOdeR2. Sifa un extremum local en (a,b)? Oalorsp=∂f∂x (a,b) = 0 etq=∂f∂y (a,b) = 0 Preuve :Sifa un extremum local en (a,b),c"est aussi un extremum local pour les fonctions (x,b)→f(x,b) et (a,y)→f(a,y),sur un intervalle ouvert! D´efinition :(a,b) est un point critique defsi∂f∂x (a,b) = 0 et∂f∂y (a,b) = 0G´eom´etrie :Un point critique est un point en lequel le plan tangent `a la surface repr´esentative de
fest horizontal. Ce peut ˆetre un sommet, un col, ou autre chose... Les extrema locaux sont donc `a chercher parmi les point critiques (pour les fonctionsC1). Th´eor`eme (Condition suffisante) :Soitfde classeC2sur un ouvertOdeR2,et (a,b)? O. p, q, r, s,ettnotations de Monge. Sip=q= 0 etrt-s2>0alorsfa un extremum relatif en (a,b). C"est un maximum sir <0 (out <0) et un minimum sir >0 (out >0) Sip=q= 0 etrt-s2<0alorsfn"a pas d"extremum relatif en (a,b).C"est un "col" (selle de cheval)
Sip=q= 0 etrt-s2= 0alorson ne sait pas.
Exercice :f(x,y) =x2+ 2xy+my2
D´eterminer, suivant la valeur dem,les points critiques et les extrema locaux def.Fonctions de deux variables Page 5/ 6