élément y est alors noté y = f(x), on l'appelle l'image de x et on dit que x est un antécédent de y par f On parle plus généralement de fonctions : une fonction f d'un ensemble E dans un est bijective et déterminer h−1 Proposition 5 8
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Image des intervalles
L'image de I par f , notée f (I) est l'ensemble des nombres de la forme f (x) avec x ∈ I : Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue
[PDF] Notion de fonction - Labomath
Une fonction f permet d'associer à tout nombre x d'un ensemble D un nombre Il s'agit de déterminer l'ensemble des réels x dont l'image est égale à 5, donc
[PDF] On veut calculer limage du nombre (-5) Pour cela on remplace x
2 est l'antécédent de 6 par la même fonction * L'image d'un nombre x est : f (x) = 3×x = 3x Calculer une image : Calculer l'image de (-5) par la fonction f définie
[PDF] Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et
Après avoir déterminé son ensemble de définition, montrer que la courbe représentative Cf de f possède un axe de symétrie qu'il faudra calculer 1 Page 2 4
[PDF] CHAPITRE 10 : NOTION DE FONCTION
[3 110] Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une représentative de la fonction f est l'ensemble des points M de coordonnées
[PDF] Chapitre 5 Applications
élément y est alors noté y = f(x), on l'appelle l'image de x et on dit que x est un antécédent de y par f On parle plus généralement de fonctions : une fonction f d'un ensemble E dans un est bijective et déterminer h−1 Proposition 5 8
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
Pour une fonction f(x) donnée, on appelle ensemble de définition l'ensemble D des Pour déterminer l'image de x par f, on place x en abscisse puis on lit
[PDF] Généralités sur les fonctions - JavMathch
Définition: Le graphe d'une fonction f est l'ensemble de tous les couples de la forme (x : f(x)) où x est un toutes les images des éléments de l'ensemble de départ A L'image Déterminer l'ensemble de définition des fonctions f définies par:
[PDF] determiner l'ensemble des points m(x y)
[PDF] determiner l'ensemble des primitives
[PDF] determiner l'ensemble des reels x
[PDF] determiners
[PDF] deterministic finite automata and regular expressions
[PDF] detroit to chennai lufthansa flight status
[PDF] deux droites sécantes dans un plan
[PDF] deux droites sécantes definition
[PDF] deux droites secantes en un point
[PDF] deux droites sécantes et angles
[PDF] deux droites sécantes représentation paramétrique
[PDF] deux droites sécantes sont coplanaires
[PDF] deux droites sécantes vecteur
[PDF] deuxieme couronne paris
Chapitre 5
Applications
1. D´efinitions et exemples
D´efinition 5.1 -SoientEetFdeux ensembles. Une applicationfdeEdansFest un"proc´ed´e" qui permet d"associer `a chaque ´el´ementxdeEun unique ´el´ementydeF; cet
´el´ementyest alors not´ey=f(x), on l"appellel"image de x et on dit quexestunant´ec´edent
deyparf. On dit queEest l"ensemble de d´epart defet queFest l"ensemble d"arriv´ee de f.On notef:E-→Fouf:E-→F
x?-→f(x). L"ensembleG={(x,y)?E×F|y=f(x)}est appel´e le graphe def. Exemples -On d´efinit une applicationfen prenant :E={1,2,3}, F={1,2,3,4}, f(1) =f(2) = 1, f(3) = 4. Alors, l"image de 3 est 4 et 1 a deux ant´ec´edents :1 et 2.
32
1 4 3 2 1Diagramme sagittal
3214321
Diagramme cart´esien
L"application Logarithme : ln :R?+-→R
x?-→ln(x)L"application :R3-→R3
(x,y,z)?-→(2x+ 3y,x-y+z,y+ 5z) L"application appel´ee "premi`ere projection" ou "premi`ere coordonn´ee" : p1:R×R-→R
(x,y)?-→xL"application "identit´e" :IdE:E-→E
x?-→x Contre-exemples -Les ´enonc´es suivants sont faux ou incomplets : "L"application deCdansCqui associe `a chaquezdeCune de ses racines carr´ees complexes". "L"application deRdansRd´efinie parf(x) = 1/x"."L"applicationfd´efinie surZparf(x) =x2"
Composition des applicationsRemarques -On note souventF(E,F) l"ensemble des applications deEdansF.
On parle plus g´en´eralement de fonctions : une fonctionfd"un ensemble Edans un ensembleFassocie `a chaque ´el´ementxdeEun ´el´ement deF au plus; l"ensemble des ´el´ementsxdeEauxquels elle associe un ´el´ement ydeFest appel´e le domaine de d´efinition de la fonctionfet not´eDf. Sixappartient `aDf, l"´el´ementyqui lui est associ´e est not´ey=f(x). On peut alors construire l"application (encore not´eefpar abus de langage), f:Df-→F x?-→f(x)et c"est elle qu"on ´etudie en fait. Par exemple, si on parle de "la fonction r´eelle de la variable r´eelle d´efinie parf(x) = 1/x", on aDf=R?, et on ´etudie l"applicationf:R?-→R x?-→1/x.2. Egalit´e - Restriction - Prolongement
D´efinition 5.2 -Soientf:E-→Fetf1:E?-→F?deux applications. On dit qu"elles sont ´egales et on notef=f1si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :E=E?, F=F?et?x?E, f(x) =f1(x).
Exemples -Soientf:?R-→R
x?-→cos(x)etf1:?R-→R x?-→2cos2(x/2)-1Alors, on a f=f1.Les trois applicationsf:?R-→R
x?-→x2,g:?R-→R+ x?-→x2eth:?R +-→R x?-→x2, sont deux `a deux distinctes. D´efinition 5.3 -SoientEetFdeux ensembles,E1un sous-ensemble deE,f:E-→F etf1:E1-→F. On suppose que pour tout ´el´ementxdeE1, on af(x) =f1(x). Alors, on dit quef1estlarestriction def`aE1et quefestunprolongement def1`aE. On note f1=f|E1.
Exemple -Dans le deuxi`eme exemple ci-dessus,hest la restriction def`aR+, etfest un prolongement deh`aR. Mais l"applicationk:R-→Rtelle que (?x?R+, k(x) =x2et ?x?R?-k(x) = 0) est un autre prolongement deh. (Dessiner et comparer les graphes de ces trois applications). Remarque -Lorsquefest une application deEdansFetF1un sous-ensemble deF tel que pour tout ´el´ementxde E l"´el´ementf(x) appartienne `aF1, on consid`ere souvent l"applicationg:E-→F1 x?-→f(x). C"est le cas dans le deuxi`eme exemple pour les applicationsf etg, si on prendF1=R+. Exercice -Soitf:R+-→Rl"application donn´ee parf(x) = 1pour toutxtel que distincts def`aR. Quelle est la restriction def`a[0,1]? Trouver une application gdeR+dansNtelle que pour toutx?R+, g(x) =f(x). - 24 -Applications
3. Composition des applications
D´efinition 5.4 -Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. On d´efinit une application de E dans G not´eeg◦fen posant ?x?E, g◦f(x) =g(f(x)).On l"appelle application compos´ee degetf.
Remarques -Soientfetgdeux ´el´ements deF(E,E) ; les deux applicationsf◦get g◦fsont d´efinies, mais en g´en´eral elles ne sont pas ´egales. Par exemple, si on af:R-→R x?-→x2etg:R-→R x?-→2x, on obtientg◦f:R-→R x?-→2x2et f◦g:R-→R x?-→4x2et ces deux applications sont diff´erentes (prouvez le). On a (g◦f)◦h=g◦(f◦h) (lorsque cela a un sens). Soientfetgdeux applicationsf:E-→F,g:F1-→Go`uF1est un sous-ensemble deFtel que pour toutx?E, f(x) appartienne `aF1; soit f1:E-→F1
x?-→f(x). L"applicationg◦f1est souvent encore not´eeg◦fpar abus de langage. Exercice -SoitE={1,2,3}, f:E-→Eetg:E-→Eles applications d´efinies par f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3. Calculerf◦f, f◦get g◦f. A-t-onf◦g=g◦f?4. Bijection - Injection -Surjection
Proposition et d´efinition 5.5 -Soitf:E-→Fune application.1 - On dit quefest une surjection ou quefest surjective si chaque ´el´ementydeFest
l"image d"un ´el´ement deEau moins, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equation
y=f(x) a au moins une solution dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?x?E, y=f(x)2 - On dit quefest une injection ou quefest injective si la proposition suivante est vraie :
?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?).c"est-`a-dire si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ement deEau plus, ou encore, si
pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a au plus une solution dansE.3 - On dit quefest une bijection ou quefest bijective si elle est `a la fois injective et
surjective. Preuve : on va d´emontrer l"´equivalence concernant l"injectivit´e.1) Supposons que tout ´el´ement deFadmette au plus un ant´ec´edent parf. Soientx
etx?deux ´el´ements deEtels quef(x) =f(x?). Posonsy=f(x). C"est un ´el´ement deFqui admetxetx?pour ant´ec´edents. Orya au plus un ant´ec´edent. Donc x=x?. On a montr´e que, si tout ´el´ement deFa au plus un ant´ec´edent parf, l"application fest injective.2) Supposons qu"il existe un ´el´ement deFqui n"admette pas au plus un ant´ec´edent
parf. Notonsyun de ces ´el´ements.ya (au moins) deux ant´ec´edents distinctsx etx?. Par d´efinition d"un ant´ec´edent, on af(x) =f(x?) =y. On a doncx?=x?et f(x) =f(x?). On a montr´e?(x,x?)?E2,(x?=x?etf(x) =f(x?)),c"est-`a-dire la n´egation de "?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?)," c"est-`a-dire quefn"est pas injective. On a donc montr´e l"implication r´eciproque par contrapos´ee. - 25 -Etude des bijectionsRemarques -L"´ecriture avec les quantificateurs est souvent plus commode pour montrer
qu"une application est injective. L"expression "au plus" signifie qu"un ´el´ement deFsoit n"a pas d"ant´ec´edent, soit en a un. Proposition 5.6 -Soitf:E-→Fune application. L"applicationfest bijective si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ementxdeEet d"un seul, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a une solutionxet une seule dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?!x?E, y=f(x)