[PDF] [PDF] Notes sur les développements décimaux périodiques - lAPMEP

[PDF] Développement décimal dun réel - Maths-francefr

Définition 1 Un nombre réel x est un nombre décimal si et seulement si il existe un entier naturel n tel Une telle écriture s'appelle un développement décimal illimité si et seulement si son développement décimal propre est périodique à

[PDF] Décimaux au CAPES

Rappelons qu'un nombre décimal est un rationnel qui admet une écriture frac- tionnaire de la forme a et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf ci-dessous) 2 10m ≤ x, ce qui contredit la définition de xm Remarque En vertu de 2 11, la suite des décimales de y est périodique de période n 

[PDF] Développement décimal dun réel

On dit que l admet un développement décimal illimité donné Définition Soit x un réel positif ou nul On dit que x admet un développement Démontrer que le développement décimal illimité propre d'un nombre x est périodique si et

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Définition d'un nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre réel qui a un nombre fini de Exercice 1 : Nombres `a suite décimale illimitée périodique

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Nombres décimaux - approximation décimale des nombres réels Définition Inversement, si le développement décimal d'un nombre réel a est périodique de  

[PDF] Notes sur les développements décimaux périodiques - lAPMEP

définition des développements décimaux des nombres réels de l'intervalle [0,1] sous illimité périodique mixte, constitué d'une partie irrégulière et d'une partie

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On dit que l admet un développement décimal illimité donné Définition Soit x un réel positif ou nul On dit que x admet un développement Démontrer que le développement décimal illimité propre d'un nombre x est périodique si et

[PDF] Développement décimal

Le spectateur choisit un nombre entre 1 et 15, et doit dire sur quelle(s) carte(s) il se trouve Comment le a) Quel sens donner `a l'écriture décimale illimitée 0, 2199999999 périodique (Sens ?) 1◦ Définition et propriétés standards

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Définition 4 1 On appelle nombre décimal tout nombre rationnel de la forme 4 3 On dit que le développement décimal illimité propre d'un réel x est périodique

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Définition : Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale Ainsi Son écriture décimale illimitée comporte une infinité de chiffres 3 qui décimal périodique, il suffit de généraliser la méthode suivante :

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3°) Chacun des partenaires veille à faire apparaître les publications de l"autre dansses bibliographies, donnant ainsi un meilleur écho aux ressources des deux revues.4°) Le contenu de ce partenariat fait l"objet d"une annonce sur les sites de Sésamathet de l"APMEP, avec un lien vers l"association partenaire.5°) Des contacts réguliers à distance évaluent l"état du partenariat et le fontprogresser au fil du temps. Une réunion annuelle fait le point du partenariat et luidonne de nouvelles impulsions.6°) Ce partenariat prend effet à la rentrée 2007.J"invite les lecteurs du BVà découvrir la revue en ligne partenaire. Pour mesurerl"intérêt de publier en ligne, je leur suggère de lire (de façon interactive) l"article

(7) du numéro de novembre 2006. Ils pourront aussi découvrir les dossiers des diφφérents numéros (les calculatrices, la géométrie dynamique, les tableurs, les tableaux numériques interactifs, les TICE en Lycées professionnels), ainsi que les nombreux articles "hors dossiers» qui balayent le champ des TICE. Il reste à espérer que d"authentiques synergies se manifesteront à l"avenir entre les

deux revues, pour une stimulation réciproque et un meilleur contenu de chacune!Notes sur les développements

décimaux périodiques

Robert Rolland

1. Introduction

Dans cette note nous étudions quelques propriétés des développements décimaux des nombres de la forme m/noù met nsont des entiers premiers entre eux tels que 1 £m (7) http://revue.sesamath.net/spip.php?article4 (*) Institut de Mathématiques de Luminy, Case 907, 13288 Marseille cedex 9.

E-mail: rolland@iml.univ-mrs.fr

...untzRolland-Texte 12/0?/0? ?:13 Page ?41 (m¹0) et, uniquement dans ce cas, de deux développements décimaux distincts. Ce qui nous intéresse ici ce sont les comportements particuliers de ces développements dans le cas des nombres rationnels et la présentation des outils d"algèbre très simples mis en oeuvre pour expliquer ces comportements. Nous rappelons dans un premier temps la classification habituelle : nest de la forme 2 5 auquel cas la fraction irréductible m/nadmet un développement décimal fini : avec q s ¹0, ainsi qu"un développement décimal infini ne contenant que des 9 à partir d"un certain rang : où nn"est divisible ni par 2 ni par 5 auquel cas le développement décimal est illimité et périodique, c"est-à-dire que : ce qu"on note aussi :

Nous adopterons la terminologie suivante :

q 1 q 2 ...q s est la partie périodiqueet sla période. • n est de la forme 2 5 n 1 où n 1 >1 n"est divisible ni par 2 ni par 5. Ce cas est un mélange des deux cas précédents. Il donne pour la fraction m/nun développement illimité périodique mixte, constitué d"une partie irrégulièreet d"une partie périodique Puis nous détaillons un peu quelques comportements liés à la structure algébrique sous-jacente. L"outil principal utilisé est la notion de classe résiduelle modulo n, autrement dit l"anneau

Z/nZ. Nous noterons :

la relation d"équivalence entre deux entiers xet yqui exprime que xet ysont dans la même classe résiduelle modulo n, c"est-à-dire que x-yest divisible par n, ou encore que xet yont le même reste dans leur division euclidienne par n. xynº() m nuuuqq q ks =0 1212
m nqqq s =0 12 m nqqqqq q ss =0 1212

¢=-qq

ss 1. m nqqq s =¢0999 12 m nqqq s =0 12 m k 10

742Pour chercher et approfondir

APMEP n o 472

KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 742

Nous noterons :

pour indiquer que yest le résultat de l"opération qui aux entiers xet nfait correspondre l"unique représentant yde la classe résiduelle de xmodulo nqui vérifie 0

£y Les comportements classiques que nous venons de citer sont connus depuis longtemps. On peut en trouver une preuve en des termes très proches de ceux qu"on pourrait utiliser de nos jours dans l"article d"Eugène Catalan [Cat42]. Eugène Catalan montre toute la force du petit théorème de Fermat :

pαrce que lα mαnière dont on présente ordinαirement lα théorie des φrαctions

éléments.

Dans le cours de l"exposé, il utilise (sans lui donner ce nom) la fonction indicatrice d"Euler appelée aussi fonction phi, qui compte le nombre d"éléments inversibles de Z/nZet qui permet de généraliser le petit théorème de Fermat. L"exposé est repris en terme de groupes dans l"article [Ben09]. On trouvera enfin une approche pédagogique de cette question dans [And74]. Les outils mathématiques algébriques et arithmétiques utilisés dans la suite sont exposés dans [Dem97], [KR98], ainsi que dans l"annexe arithmétique de [BRV05].

2. Développement décimal d"un nombre de la forme m/2

a 5 b Théorème 2.1.- Soient m et n deux entiers premiers entre eux tels que 1£mLα φrαction irréductiβle m

/n αdmet un développement décimαl φini si et seulement si n est de lα φorme n =2 5 où α et β sont des entiers ≥0.

Démonstrαtion. - Supposons n =2

5 et notons t=max(α,β). On peut donc

écrire :

Si nous écrivons l"entier 2

t-α 5 t-β msous forme décimale : alors :

Remarquons que

v 0

¹0.

Réciproquement, si la fraction irréductible

m/nadmet un développement décimal m nvv t 0 10 ,.K 25

10tatb

t mvv =K, m nm tatb t 25
10. yxn=mod, Les développements décimaux périodiques743 APMEP n o 472

KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 743

fini, alors :Donc on peut écrire : où vest un entier, si bien que : Donc ndivise ml0 t et comme nest premier avec m, il divise 10 t . L"entier nest donc de la forme 2 5

3. Développement décimal d'une fraction irréductible m/noù n

n'est divisible ni par2 ni par5 Soit nun entier >1 dont la décomposition en facteurs premiers ne contient ni 2 ni 5. Un tel nse repère facilement par son dernier chiffre en écriture décimale qui est

1, 3, 7 ou 9. Soit

mun entier premier avec ntel que 1 £mLe nombre m/na, d"après le paragraphe précédent, un développement illimité sous la forme : Les décimales se calculent par des divisions euclidiennes successives ayant des restes non nuls : et par récurrence : Ce processus décrit parfaitement la division posée classique qu"on apprend à l"école primaire : ajout d"un zéro à la fin (multiplication par 10), recherche de q i , calcul du reste. Nous sommes donc amenés à étudier les deux suites qui interviennent dans lesquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41