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supposée de viscosité négligeable Les épaisseurs des lames d'eau sont considérées comme faible ce qui permet de négliger l'action de la pesanteur terrestre

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en mécanique des fluides I Jet d'eau sur une plaque mouvement du fluide ` a la force de pression exercée sur la plaque Le syst`eme est donc le même 

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14 sept 2010 · Les exercices proposés sont des transpositions directes de ce qui a été traité en Le jet d'eau évacuée frappe une plaque plane disposée 

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PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des uidesoctobre 2013Td correction Bilans en mecanique des uides

I Jet d'eau sur une plaqueD

mD 1D 2~v h a.L'ecoulement est incompressible et permanent. L'ecoulement est unidimensionnel, on peut donc prendre~vvx~ex, donc l'equation d'Euler s'ecrit p~vÝÝÑgradq~vvxBvxBx~ex ÝÝÑgradP

Or, le

uide etant incompressible, div~v0 donc

BvxBx0

et donc

ÝÝÑgradPÝÑ0

La pression est donc constante dans les zones ou l'ecoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par continuite, a l'interface eau-air,PP0, donc la pression dans les zones d'ecoulement unidimensionnel est egale a la pression atmospherique. b.On fait un bilan de moment cinetique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l'axe en choisissant le systeme suivant at, le systeme est constitue parfla plaque, l'eau contenue dans la surface g(S0) etfl'eau entrant entretettdtdans la surface enAg(S1de massemA), atdt, le systeme est constitue parfla plaque, l'eau contenue dans la surface g(S0) etfl'eau sortant entretettdtde la surface enB(S2Bde massemB) etC(S2Cde massemC)g.AB CO Hyz

On calcule le moment cinetique par rapport a at

L ptq LS0ptq mApÝÑOA^~vAq ~exLS0ptq mAppÝÝÑOHÝÝÑHAq ^v~eyq ~ex 1 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des uidesoctobre 2013ÝÝÑ

HAest porte par~eydonc

L ptq LS0ptq mAph~ez^v~eyq ~exLS0ptq mAvh On calcule ensuite le moment cinetique par rapport a atdt L ptdtq LS0ptdtq mBpÝÝÑOB^~vBq ~exmCpÝÝÑOC^~vCq ~ex

Or enB, la vitesse est colineaire aÝÝÑOB, enCla vitesse est colineaire aÝÝÑOC, donc

L ptdtq LS0ptdtq On peut donc ecrire la variation du moment cinetique DL

Lptdtq Lptq LS0ptdtq LS0ptq mavh

L'ecoulement est etudie en regime permanent, avec un debit massique tel quemADmdt, donc DL Dmdtvh et donc DLDt Dmvh Il reste a faire l'inventaire des actions exterieures et de leur moment : la pression est la m ^emeen tout p ointen tourantle syst eme,et egale aP0, donc son moment est nul, la r eactionau niv eaude l'axe es tune force qui passe par O, donc son moment est nul, le p oids,don tle momen test apri orinon n ul. Le poids s'applique au centre de gravite de la plaque, donc M P pÝÝÑOG^m~gq ~exmppÝÝÑOHÝÝÑHGq ^ pg~ezq ~ex donc M

P mgHG mglsin

On en deduit donc, en appliquant le theoreme du moment cinetique D mvhmglsinñsinDmvhmgl c.Le uide est incompressible, donc le debit volumique est conserve D mD1D2

Par ailleurs, l'ecoulement etant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le theoreme de

Bernoulli en negligeant l'eet de la pesanteur

P A12 v2APB12 v2BPC12 v2C

CommePAPBPCP0,

v

AvBvCv

On fait un bilan de quantite de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantite de mouvement du uide a la force de pression exercee sur la plaque. Le systeme est donc le m^eme qu'a la 2 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des

uidesoctobre 2013question precedente, hormis la plaque. Le systemeS0est donc constitue uniquement par le

uide contenu dans , de quantite de mouvement~p0ptq.

A l'instantt

~pptq ~p0ptq mA~vA~p0ptq Dmdt~vA et a l'instanttdt ~pptdtq ~p0ptdtq mB~vBmC~vC~p0ptq D1dt~vBD2dt~vC donc D~pDt

D1~vBD2~vCDm~vA

La force de pesanteur etant neglige, seule la force de pression s'exerce. En particulier, compte tenu du

caractere parfait du uide, la force de surface s'exercant sur le uide de la part de la plaque se reduit a la pressionP(pas de viscosite). On peut alors ecrire F¿

PdÝÑS

ouPest variable. On transforme cette integrale F¿

P0dÝÑS¿

pPP0qdÝÑ?

La premiere integrale est nulle, puisque c'est l'integrale sur une surface fermee d'une pression constante.

La deuxieme integrale est non nulle quandPP0, donc au contact entre la plaque et le uide, d'ou

F ¿

plaque pPP0qdÝÑS

On a donc

plaque pPP0qdÝÑSD1~vBD2~vCDm~vA que l'on projette le long de la plaque

0D1vD2vDmsinv

On a donc nalement le systeme suivant

"D1D2Dm D

1D2DmsinñD1Dmp1sinq2

et D2Dmp1sin2

II Force exercee sur un coude de canalisation

On va faire un bilan de quantite de mouvement sur la systeme ferme suivant at, le systeme est constitue du uide compris entre les surfacesS1etS2(systemeS0de massem0), plus le uide qui va entrer a travers la surfaceS1entretettdt(systemeS1, de massem1), atdt, le systeme est constitue deS0, plus le uide sortant par la surfaceS2(systemeS2de masse m 2. 3 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des uidesoctobre 2013Par conservation de la masse totale du systeme mptdtq mptq m0m2m0m1m2m10ñm2m1m

On eectue le bilan de quantite de mouvement, at

~pptq ~p0m~v1 et atdt ~pptdtq ~p0m~v2 ce qui donne

D~pmp~v2~v1q Ddtp~v2~v1q

et doncD~pDt

Dp~v2~v1q

Par ailleurs, les forces s'exercant sur le systeme sont : le p oidsÝÑPM~g, la force de pression motrice en S1:P1S1~ex, la force de pression r esistanteen S2:P2S2pcos~exsin~eyq la r eactionde la canalisation ÝÑR. de sorte que Dv

2pcos~exsin~eyq Dv1~exM~gP1S1~exP2S2pcos~exsin~eyq ÝÑR

La force exercee par le

uide sur la canalisation est donnee par ÝÑF ÝÑRDv2pcos~exsin~eyq Dv1~exMg~eyP1S1~exP2S2pcos~exsin~eyq que l'on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes "FxDv2cosDv1P1S1P2S2cos F yDv2sinMgP2S2sin Dans des conditions classiquesS1S2S,P1P2P0, et pour un uide incompressible, par conservation du debit,v1v2v "FxDvcosDvP0SP0Scos F yDvsinMgP0Ssin et en regroupant les termes "Fx pDvP0Sqpcos1q F y pDvP0SqsinMg 4 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des uidesoctobre 2013III

Eolienne/helice

1 2x 1xS AS B~v A~v A~v A~v B~v~v P 0P 0a.Le uide est incompressible, donc le debit est conservatif, et donc S

AvASBvBSv

b.On applique le theoreme de Bernoulli entreAet un point de de 1 P 0v2A2 P1v22

ñP1P0v2A2

v22

De m^eme entre un point de

2etB P 0v2B2 P1v22

ñP2P0v2B2

v22

On denit le systeme suivant :

at, le volume compris entre 1et 2(S0, de quantite de mouvement~p0ptq m0~vptq) + le uide rentrant dansS0entretettdt(S1, de massem1), atdt, le volume compris entre 1et 2(S0, de quantite de mouvement~p0ptdtq m0~vptdtq) + le uide sortant deS0entretettdt(S2, de massem2), On fait un bilan de quantite de mouvement sur ce systeme ~pptq ~p0m1~v ~pptdtq ~p0m2~v En regime stationnaire,~p0ptq ~p0ptdtq, etm1m2(conservation de la masse) donc D~pDt

ÝÑ0

Les forces qui agissent sur le systeme sont les forces de pression et l'action de l'helice sur le uide

ÝÑF, donc

FP1S~exloomoon

moteurP2S~exloomoon resistant0ñÝÑFS~expP2P1q S~exv2B2 v2A2

La force exercee par l'helice sur le

uide est donc positive (et donc fournit un travail positif au uide, fonctionnement en moteur) siP2¡P1ou sivB¡vA, et doncSB SA. La vitesse d'ejection du uide est plus grande en sortie qu'en entree.

Inversement, La force exercee par l'helice sur le

uide est negative (et donc fournit un travail negatif au uide, fonctionnement en eolienne/generatrice) siP1 P2ou sivB vA, et doncSB¡SA. La vitesse d'ejection du uide est plus petite en sortie qu'en entree, et on preleve de l'energie cinetique du vent pour faire tourner l'helice. 5 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des

uidesoctobre 2013c.On choisit un nouveau systeme dans lequel les pressions sont identiques sur les deux faces, soit :

at, le volume compris entreSAetSB(S0, de quantite de mouvement~p0m0~v) + le uide rentrant dansS0entretettdt(S1, de massem1), atdt, le volume compris entreSAetSA(S0, de quantite de mouvement~p0m0~v) + le uide sortant deS0entretettdt(S2, de massem2), on est toujours en regime permanent donc~p0ptq ~p0ptdtq, et , etm1m2m, donc

D~pmp~vB~vAq Dmdtp~vB~vAq

Le debit volumique pour un

uide incompressible est donne parDmSAvASBvBSv. On a alorsD~pDt

Dmp~vB~vAq

La pression etant la m^eme sur tout le systeme, la resultante des forces de pression est nulle, la seule force

exercee sur le systeme est la force exercee par l'helice

FDmp~vB~vAq Svp~vB~vAq

En projetant sur l'axeOxet en utilisant le resultat de la question precedente

SvpvBvAq Sv2B2

v2A2 donc vvAvB2 d.On calcule la puissance a partir de la valeur deÝÑF P

FÝÑF~vSvpvBvAqvAvB2

Dm2 pv2Bv2Aq qui est une fonction env3! On peut aussi utiliser le premier principe de la thermodynamique, applique au systeme at, le volume compris entreSAetSB(S0) + le uide rentrant dansS0entretettdt(S1, de massem1), atdt, le volume compris entreSAetSA(S0) + le uide sortant deS0entretettdt(S2, de massem2), dUdEcWQ Le uide etant parfait, il n'y a pas de chaleur echangee (adiabaticite) donc dUdEcWpressionWf

On calcule a variation d'energie interne

dUUptdtq Uptq US0US2 pUS0US1q DmdtpuS2uS1q

L'energie interne massique ne varie pas car le

uide est dans le m^eme etat thermodynamique enAetB, donc dU0 6 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des uidesoctobre 2013La variation d'energie cinetique vaut dE cEcptdtq Ecptq EcS0EcS2 pEcS0EcS1q DmdtpecS2ecS1q Dmdt2 pv2Bv2Aq La puissance des forces de pression vautPpressionÝÑFpression~v, soit au total W pressionPpressiondtdtpP0SAvAP0SBvBq 0

Finalement

Dmdt2 pv2Bv2Aq WFPFdtñPFDm2 pv2Bv2Aq III.1 Application a la propulsion d'un vaisseau (bateau ou avion)

e.Le referentiel du vaisseau est galileen, puisqu'il est en translation rectiligne dans un referentiel suppose

galileen. On a alors, dans ce referentiel, pour les vitesses du uide ~v

A ~uu~exet ~vB~ve~u pveuq~ex

La puissance fournie par l'helice vaut alors

P FDm2 pv2Bv2Aq Dm2 ppveuq2u2q Dm2 pv2e2veuq Pm

La puissance fournie a la coque est la puissance fournie par l'helice a la coque du vaisseau. Dans le

referentiel du vaisseau, l'helice est immobile doncÝÑFhelice{fluideÝÑFhelice{bateauÝÑ0 , doncÝÑFhelice{bateau

ÝÑFhelice{fluide ÝÑFOn a alors

P u ÝÑF~uSup~vB~vAqu~exSu2pveq Dmveu

On peut alors calculer

DmveuD

m2 pv2e2veuq2uv e2u22veu

11ve2u

f.est maximal quandve0, mais dans ce cas il n'y a pas de propulsion! g.Avionveu

0:35, bateauveu

1:33. Plus l'ecacite est importante, plus une faible vitesse d'ejection

permet d'obtenir une grande vitesse du vaisseau.

III.2 Application a une eolienne

h.Le tube de courant a alors la forme suivante (voir question c.) 1 2x 1x 7 PSI Moissan 2013TD correction Bilans en mecanique des

uidesoctobre 2013i.La puissance fournie sur l'arbre de l'eolienne est l'opposee de la puissance fournie par l'helice au

uide,

carÝÑFhelice{fluideÝÑFhelice{arbreÝÑ0 , puisque l'helice n'a pas de mouvement de translation. On a donc

P Dm2 pv2Bv2Aq Svpv2Bv2Aq12 Spv2Bv2AqvAvB4 ce qui donne

P Sv3A4

px21qp1xq Sv3A4 p1x2qp1xq et donc

PSv3A4

p1xx2x3q

On calcule l'annulation de la derivee

dPdx Sv3A4 p12x3x2q 0 qui a pour discriminant 41216 et pour solutionsx1 p24q{6 1 etx2 p24q{61{3.

La puissance maximale vaut alors

PSv3A4

p11{31{91{27q Sv3A427p27931q 827 Sv3A j.On calcule le debit de l'energie cinetique contenue dans un cylindre de sectionS D Ec12 v2Aloomoon E cvolumiqueSvAloomoon volumebalayepar unitedetemps12 Sv3A donc rPD

Ec1627

k.AN :Pmax15;5kW. 8quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19