[PDF] [PDF] Forme exponentielle des nombres complexes

[PDF] Nombres complexes et exponentielle complexe - webusersimj-prgfr

On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa ` cq 

[PDF] Lexponentielle complexe

nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont Par ailleurs, en utilisant la formule du binôme, ∑ p+q=n sp p tq q =

[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE

Ainsi : cos sin cos sin Exemple : 2) Formules d'Euler Leonhard Euler (1707- 1783) mathématicien et physicien 

[PDF] Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

Écriture exponentielle 1 Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose eiθ = cosθ + isin θ On montre que U = {eiθ θ ∈ R} Formules d'Euler 

[PDF] Nombres complexes

On déduit de ces propriétés, les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours □ Notation exponentielle des nombres complexes

[PDF] À propos de la leçon 213 Exponentielle complexe ; fonctions

En utilisant la formule d'addition (1), on établit alors plus généralement (sans invoquer le théorème général) que exp est dérivable au sens complexe en tout point, 

[PDF] Forme exponentielle des nombres complexes

formule directe de cos ( π 12 ) ? Indication : c'est Re(a) a 9 Soit M le 

[PDF] Le module, les arguments, lexponentielle imaginaire et leurs

Le module du nombre complexe z est le réel positif ou nul noté z et défini par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l' exponentielle imaginaire Dire que le réel θ avec la formule établie pour l' exponentielle 

[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules

formules trigonométriques 4 1 Nombres complexes Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1 − i, i et −1 Notations on écrit que 2 réels x et 

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Forme exponentielle des nombres complexespage 1 de 3

Forme exponentielle des nombres complexes

1.

Soita=ei5=8etb= 1 +ei5=4.

Demontrer queba

est un reel et en deduire l'argument deb.Ne pas developper sous forme algebrique. Diviser pararevient a multiplier par

son inverseei5=8. ba ==ei5=8+ei5=8. C'est la somme de deux nombres conjugues, donc c'est un reelk. Doncb=ka. Donc arg(b) = arg(k) + arg(a). Pour determiner exactement arg(k) (0 ou), il faut conna^tre le signe dek.k=ei5=8+ei5=8= 2cos58 Or 2 <58 < , donc cos58 <0 (verier sur un dessin).

Donck <0, donc arg(k) =, et arg(b) =+58

=138 38
[2] Remarque (a demontrer) : les points d'axes 0, 1,b, etei5=4forment un losange.

A;OetBsont alignes, dans cet ordre.O

BA 2.

Soitdans];[.

SoientO;A;B;C;D;Eles points d'axes respectives0;1;ei;ei;1 +ei;1ei

Demontrer que(OD)est perpendiculaire a(OE)Geometriquement :OADBetOCEAsont des losanges (a demontrer). Les dia-

gonales d'un losange sont perpendiculaires, donc (OD) est perpendiculaire a (BA). Or!BA=!OE(a demontrer), donc (OD) est perpendiculaire a (OE).O CEADB Algebriquement : il sut de demontrer que1ei1 +eiest un imaginaire pur (rappeler pourquoi cela sut). Or

1ei1 +ei=(1ei)(1 +ei)j1 +eij2(en multipliant en haut et en bas par le conjugue

du denominateur). Le denominateur est un reel et le numerateur est, apres developpement :eiei. C'est la dierence de deux nombres conjugues, donc c'est un imaginaire pur. Donc la fraction est bien un imaginaire pur. Remarque : cette solution est a un niveau abstrait, il y a tres peu de calculs.

3.SoitOABA0un losange, avecAetA0sur le cercle trigonometrique. Comment se

traduit algebriquement la propriete geometrique qui dit que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires?Soiteil'axe deAetei0l'axe deA0(veriez que vous comprenez bien pourquoi ces axes peuvent se mettre sous cette forme).!OBa pour axeei+ei0(a expliquer),!AA0a pour axeei0ei

La propriete equivaut donc a dire que

ei0eie i+ei0est un imaginaire pur (a expliquer). Cela peut se demontrer directement algebriquement, par un calcul analogue a celui de l'exemple precedent. Cela se ramene a prouver queei0eiei0eiest un imaginaire pur. (il faut comprendre pourquoi cela s'y ramene, et pourquoi c'est nalement vrai). Forme exponentielle des nombres complexespage 2 de 34. SoitOABA0un losange, avecAetA0sur le cercle trigonometrique. Comment se traduit algebriquement la propriete geometrique qui dit que les diagonales d'un losange sont les bissectrices des c^otes?Il sut de demontrer que !OA;!OB =!OB;!OA0 , c'est-a-dire que argba arg a0b , ce qui revient a dire qu'il existe un reel positifktel queba =ka0b , ce qui revient a dire que b2aa

0est reel positif, ce qui revient a dire que(ei+ei0)2e

iei0est reel positif. A terminer :demontrer algebriquement cette derniere propriete (developper, sim- plier). 5.

Montrer que1+cos2007

+cos22007 +cos32007 ++cos40132007 = 0L'expression etudiee est la partie reelle de 1+ei=2007+ei2=2007++ei4013=2007. Si on poseq=ei=2007, c'est donc la partie reelle de 1+q+q2++q4013, c'est-a- dire dequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5