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On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa ` cq 

[PDF] Lexponentielle complexe

nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont Par ailleurs, en utilisant la formule du binôme, ∑ p+q=n sp p tq q =

[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE

Ainsi : cos sin cos sin Exemple : 2) Formules d'Euler Leonhard Euler (1707- 1783) mathématicien et physicien 

[PDF] Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

Écriture exponentielle 1 Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose eiθ = cosθ + isin θ On montre que U = {eiθ θ ∈ R} Formules d'Euler 

[PDF] Nombres complexes

On déduit de ces propriétés, les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours □ Notation exponentielle des nombres complexes

[PDF] À propos de la leçon 213 Exponentielle complexe ; fonctions

En utilisant la formule d'addition (1), on établit alors plus généralement (sans invoquer le théorème général) que exp est dérivable au sens complexe en tout point, 

[PDF] Forme exponentielle des nombres complexes

formule directe de cos ( π 12 ) ? Indication : c'est Re(a) a 9 Soit M le 

[PDF] Le module, les arguments, lexponentielle imaginaire et leurs

Le module du nombre complexe z est le réel positif ou nul noté z et défini par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l' exponentielle imaginaire Dire que le réel θ avec la formule établie pour l' exponentielle 

[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules

formules trigonométriques 4 1 Nombres complexes Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1 − i, i et −1 Notations on écrit que 2 réels x et 

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Chapitre 4

Nombres complexes et exponentielle

complexe

Sommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .

85

4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .

85

4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants

89 4.1 Denition

Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.

Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition

estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres

complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :

(c)k:pa;bq pka;kbq.

On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus

simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition

et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel2b2iba 2b2. La preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe

Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point

Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.

Dans cette representation :

(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzq

Mpz1qMpz`z1q

xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzq

Mpizqa"?epzq?mpzq "b

´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq

Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b

?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,

l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.

UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq

θ"argpzq r2πs

1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.

Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).

Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On a

alors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de

module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.

OMpzqMpz1qz

1"zˆpcos?`isin?q

xy4.3 Exponentielle complexe

Denition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;

(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.

Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la

formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| eDes v aleursparticuli eresdes fonctions sin uset cosin us,on d eduitles v aleursparticuli eressuiv antesde

l'exponentielle complexe. m aj 28 ao^ut, 201783Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018 Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences0 6 4 3

2233456

e i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 23
34
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2

?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie

sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.

Consequence :

(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)

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