Pour la suite du cours, nous aurons besoin de l'introduction d'une nouvelle métrique : la norme (d'un vecteur) Vous avez remarqué que vous avez pu comprendre
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Différentiabilité de fonctions de plusieurs variables - UPMC
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1 Montrer d' après la definition que la fonction : f(x, y) = x2 + y2 est différentiable dans R2
[PDF] Différentiabilité de Fonctions de Plusieurs Variables - PédagoTech
Pour la suite du cours, nous aurons besoin de l'introduction d'une nouvelle métrique : la norme (d'un vecteur) Vous avez remarqué que vous avez pu comprendre
[PDF] Fonctions de plusieurs variables
1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f, définie au voisinage de 0, être dérivable en 0, c'est 1 2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables
[PDF] Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C - Institut de
Pour dériver par rapport à une variable on considère que toutes les autres sont des On suppose que f et g sont deux fonctions de U dans Rp différentiables
[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
3 5 Opérations sur les fonctions différentiables 3 6 3 Plan tangent à un graphe d'une fonction de 2 variables 6 1 Applications deux fois différentiables
[PDF] Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
1 1 3 Représentation graphique d'une fonction à deux variables 3 1 2 Dérivées 4 1 1 Différentiabilité des fonctions de Rn dans Rp 35
[PDF] Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables - Denis Vekeman
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles 2007 Définition 1 4 f admet un développement limité d'ordre 2 en a ∈ U si ∃L forme linéaire, ∃q
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Maths-francefr
3-d) Différentiabilité et différentielle d'une application linéaire Le modèle de base d'une fonction à n variables réelles et p composantes, (n, p) ∈ (N∗)2, est
[PDF] MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications
f : D ⊂ IR2 −→ IR est différentiable au point (x0,y0) appartenant à D, s'il existe des constantes A et B et une fonction ε (de deux variables) telles que, pour (x0
[PDF] différents murs d'une maison
[PDF] différents murs d'une maison pdf
[PDF] differents type de leadership
[PDF] différents types d'évaluation en eps
[PDF] différents types d'hépatites pdf
[PDF] differents types de banques
[PDF] différents types de lecteurs
[PDF] différents types de management cours
[PDF] différents types de politiques publiques
[PDF] differents types de recherche scientifique
[PDF] difficulté ? écrire adulte
[PDF] difficulté ? écrire correctement
[PDF] difficulté ? écrire maladie
[PDF] difficulté ? se relever de la position assise
de Plusieurs Variables
1 Introduction
utiliserons surtout deIRndansIRm). Nous utiliserons dans ce qui suit et dans les exercices les trois normes suivantes, quiSoitx2Rn;
jjxjj1=nX i=1jxij jjxjj2=v uut n X i=1x 2i jjxjj1= sup i2f1;¢¢¢;ngjxij vers un autre (F;jj:jjF):Remarque 1
Dans le cas d'espaces vectoriels de dimensions ¯nis (commeIRn), toutes 1Remarque 2
notamment µa cause des bijections qu'il y a entreIRnet les notions d'espaces vectoriels et d'espaces a±nes. Ainsi, si l'on prend deux pointsPetQdont les composantes sont dans IR d1(P;Q) =jj~PQjj1=jjP¡Qjj1=nX
i=1jpi¡qij d2(P;Q) =jj~PQjj2=jjP¡Qjj2=v
uut n X i=1(pi¡qi)2 d1(P;Q) =jj~PQjj1=jjP¡Qjj2= sup
i2f1;¢¢¢;ngjpi¡qij d'une telle fonction, soit: @f @x i(p1;¢¢¢;pn) = lim h!0 hLtel que:
f(P+h)¡f(P) =L:h+jjhjjA²(h) avec limjjhjjA!0²(h) = 0 f(a+h1;b+h2;c+h3)¡f(a;b;c) =A£h1+B£h2+C£h3+jj(h1;h2;h3)jjA²(h1;h2;h3) 2 avec limjjh1;h2;h3jjA!0²(h1;h2;h3) = 0Exemple 1
f(x;y) =x4+ 3x2yPla»cons nous au point(1;¡1):
f(1 +h1;¡1 +h2)¡f(1;¡1) = (1 +h1)4+ 3(1 +h1)2(¡1 +h2) + 2 = 1 + 4h1+ 6h21+ 4h31+h41+ (3 + 6h1+ 3h21)(¡1 +h2) + 2 = 1¡3 + 2 + (4¡6)h1+ 3h2+ [6h21+ 4h31+h41¡3h21 +6h1h2+ 3h21h2] =¡2h1+ 3h2+jj(h1;h2)jj²(h1;h2) df(1;¡1) : (h1;h2)! ¡2h1+ 3h2On remarque que
@f(x;y) @x = 4x3+ 6xyet@f(x;y) @y = 3x2et donc que,@f(1;¡1) @x4¡6 =¡2et que@f(1;¡1)
@y surU: @f @x i(P) =liExemple 2
f(x;y) =(x2sin1 p x2+y2si(x;y)6= (0;0);
0sinon.
classeC1surIR2n f0;0)g:fest continue en(0;0);en e®etjf(x;y)j ·x2·x2+y2doncjf(x;y)j · jj(x;y)jj22etlim(x;y)!(0;0)f(x;y) = 0.
3 @f @x (0;0) = limh!0f(h1;0)¡f(0;0) h1= limh
1!0h1sin1
jh1j= 0 @f @y (0;0) = limh2!0f(0;h2)¡f(0;0)
h 2= 0 @f @x (x;y) = 2xsin1 p x2+y2¡x3
p x2+y2)3cos1
p x 2+y2 @f @y (x;y) =¡x2y p x2+y2)3cos1
p x 2+y2 j²(h1;h2)j=jf(h1;h2)¡f(0;0)j jj(h1;h2)jj2=¯¯¯¯h21sin1
p h21+h22¯
jj(h1;h2)jj2·h21 jj(h1;h2)jj2· jj(h1;h2)jj2 fest elle de classeC1surIR2?Six >0alors@f
@x (x;0) = 2xsinµ1 x¡cosµ1
x n'admet pas de limite quandxtend de classeC1surIR2: df:h!@f @x 1h1+¢¢¢+@f
@x nh nOn note aussi plus simplement:
df=@f @x 1dx 1+@f @x 2dx2¢¢¢+@f
@x ndx nExemple 3
f(x;y) =( x3y x2+y2si(x;y)6= (0;0);
0sinon.
4En regardantf(x;0)on s'aper»coit que
@f @x (0;0) = 0 carf(x;0) = 0;8x:De m^eme, on a que
@f @y (0;0) = 0 j²(h1;h2)j=jf(h1;h2)¡f(0;0)j jj(h1;h2)jj2=jf(h1;h2)j jj(h1;h2)jj2En prenant comme majorant:jhj3·(p
h21+h22)3etjh2j ·p
h21+h22;d'oµu:
²(h1;h2)· jj(h1;h2)jj2
et la limite de cette expression est nulle lorsque(h1;h2)!(0;0):Remarque 3
Exemple 4
f(x;y) =( x3+y3 x2+y2si(x;y)6= (0;0);
0sinon.
@f @x (0;0) =@f @y (0;0) = 1 comme norme, la norme1;nous obtenons que:²(h1;h2) =f(h1;h2)¡h1¡h2
jh1j+jh2j=¡h1h2(h1+h2) (jh1j+jh2j)(h21+h22)Si l'on fait tendrejjhjjvers0quandh1=h2on obtient
²(h1;h1) =¡2h31
2jh1j2h21=¡h31
2jh1j3
or la limite quandh1tend vers0+est¡1 2 52.3 Gradient
rf=µ@f @x 1@f @x2¢¢¢@f
@x ainsi que dans de trµes nombreux domaines... x!f(x) =8 >>:f1(x1;x2;¢¢¢;xn)
f2(x1;x2;¢¢¢;xn)...
f m(x1;x2;¢¢¢;xn) f(P+h) =f(P) +u(h) +jjhjj²(h)aveclimjjhjj!0²(h) = 0 d af: fest dite de classeC1surAsi les fonctions composantesfisont de classeC1surA; @x j;i2 f1;¢¢¢;mg;j2 f1;¢¢¢;ngexistent et sont, de plus, continues.Remarque 4
qu'un cas particulier avecu(x) =L:x=Pn x: 63.2 Matrice Jacobienne
ncolonnes, donnent la matrice suivante:Jf(P) =0
B BB@@f 1 @x 1@f 1 @x2:::@f1
@x n@f2 @x 1@f 2 @x2:::@f2
@x n............ @f m @x 1@f m @x2:::@fm
@x n1 C CCA sont. SoitAun ouvert deIRnetfune fonction deAµa valeur dansIRm: @x jexistent pour tout matrice Jacobienne defau pointP: deA:Remarque 5
3.4 Exemples sur les changements de repµeres
Exemple 5
½x=rcosµ
y=rsinµ avecr=p x Uest un ensemble ouvert. L'applicationf: (r;µ)!(x;y)a pour matrice Jacobienne:Jf(P) =Ã
@f1 @x 1@f 1 @x 2@f2 @x 1@f 2 @x 2! =µcosµ¡rsinµExemple 6
:x=rcosµ y=rsinµ z=z 7 SoitP0la projection orthogonale par rapport µa~kdePsur le plan(O;~i;~j):Ainsi, µ <2¼;z2IRg; Uest un ensemble ouvert. L'applicationf: (r;µ;z)!(x;y;z)a pour matrice Jacobienne:Jf(P) =0
B @@f 1 @x 1@f 1 @x 2@f 1 @x 3@f2 @x 1@f 2 @x 2@f 2 @x 3@f3 @x 1@f 3 @x 2@f 3 @x 31C A=0 @cosµ¡rsinµ0 sinµ rcosµ0