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Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé

43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet

pujo@math.univ-lyon1.fr

Cours d"Analyse 3

Fonctions de plusieurs variablesFIGURE1 - Représentation de la fonctionf:R27!Rdéfinie par(x;y)7!z=sin(x2+3y2)0:1+r2+

(x2+ 5y2)exp(1r2)2 ;avecr=px

2+y2, et projection des courbes de niveau sur les plans

z= 0etz= 9. 1

Préambule

Le but de ce cours est degénéraliser la notion de dérivéed"une fonction d"une variable réelle

à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs

variables. L"idée fondamentale de cette théorie est d"approcherune application "quelconque" (de

plusieurs variables réelles ici) par une applicationlinéaireauvoisinaged"un point. Le cadre général pour la mettre en oeuvre est celuides espaces vectoriels(ce qui donne un sens au mot"linéaire"comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d"unenormesur l"espace de départ (pour avoir une notion devoisinage) et unenormesur l"espace d"arrivée (pour savoir"approcher").

Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants

ainsi que plusieurs applications notamment pour l"optimisation (voir le dernier chapitre du cours).

Toutefois, avant de s"attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien

définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir : - les distances, boules ouvertes, fermées, - les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- gramme), mais dans le cas particulier des espacesRn(et le plus souvent les espaces oùR2etR3) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimensionn(dimension finie). Rappelons qu"en dimension 2 (n= 2), on identifie un vecteurxde coordonnées(x1;x2)avec un point du plan de coordonnées(x1;x2)une fois fixée une origine. parx= (x1;:::;xn)2Rn. Rappelons enfin que l"ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR! Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport(f(x)f(x0))=(xx0). Elle implique donc de pouvoir diviser par(xx0). Mais dansRnça n"a pas de sens car la division

par un vecteur n"est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d"une fonction

DRn!Rn? C"est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la

DIFFERENTIABILITE.

Table des matières

1 Notion de topologie dansRn5

1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9HORS PROGRAMME :Applications d"unee.v.n.vers une.v.n.. . . . . . . . .23

1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29

2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Calcul différentiel 41

3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . .

51
3

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3 Plan tangent à un graphe d"une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . .

4 Théorème des accroissements finis 55

4.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Fonction d"une valeur sur un espaceRpet à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .56

4.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Difféomorphismes 61

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Formules de Taylor 67

6.1 Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Exemples de différentielles d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Différentielle d"ordrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

6.5 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Fonction d"une variable réelle à valeur réelle . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Fonction d"une variable réelle à valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . .73

6.5.3 Fonction deRpà valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

6.6 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Fonction d"une variable réelle à valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . .75

6.6.2 Fonction deRpà valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

6.7 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Extrema79

7.1 Rappels d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Condictions nécessaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Critères avec les matrices Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Cas particulier oùf:R2!R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

7.3 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2 Extrema liés avec une seule contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.3 Extrema liés avec plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
4

Chapitre 1

Notion de topologie dansRn(a)Leonhard Euler

(1707-1783) : en résolvant en 1736 le problème des sept ponts enjambant la rivière Pregolia

Prusse, il a ouvert la

voie de la topologie.

En effet, par la

généralisation de ce problème, Cauchy et L"Huillier entre autres commencèrent

à développer la

théorie liée à cette discipline.(b) Maurice René

Fréchet (1878-1973) :

c"est à lui que l"on doit en 1906 les d"es- paces métriques et les premières notions de topologie en cherchant

à formaliser en termes

abstraits les travaux de Volterra, Arzelà,

Hadamard et Cantor.(c)Johann Bene-

dict Listing (1808-

1882) : il est le pre-

mier à avoir em- ployé le mot "topo- logie" FIGURE1.1 - Quelques mathématiciens célèbres liés à la topologie.

1.1 Espaces métriques, distance

Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctionsf:URp!Rq(p;q2N). Pour cela il faudra étudier tout d"abord la structure du domaineUcar le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons. 5

1.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnNous allons donc définir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc. dans les

domaines inclus dansRnqui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour tous les nouveaux outils abordés.

Toutefois, même si nous travaillerons principalement dansR2,R3ou de façon généraleRn, nous

pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui resteront valables dans des es-

paces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre). Mais ce ne seront pas n"importe

quels espaces. Les définitions et propositions ci-dessous font en effet intervenir des combinaisons

entre eux des éléments d"un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par consé-

quent il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaison linéaires de ses éléments, et les

plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous.SoitEun ensemble. On dispose sur cet ensemble d"une opération (notée additivement)

et on dispose par ailleurs d"une applicationKE!Equi à tout couple(;x)associe x. On dit queEest un espace vectoriel lorsque

1.Eest un groupe commutatif (pour l"addition)

2. pour tout v ecteurxdeE,1:x=x(1désignant le neutre de la multiplication deK). 3. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,()x=(x) 4. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,(+)x=x+x 5. pour tout 2Ket tous vecteursx;y2E,(x+y) =x+y.Définition 1.1(ESPACES VECTORIELS)Exemple .

L"espace

R n=R:::R|{z} nfois =fx= (x1;:::;xn);tel quexi2R;pour touti2 f1;:::;ngg: R nest un espace vectoriel de dimensionn. C"est celui que nous utiliserons le plus souvent ici.

Une fois donné l"espace vectoriel, il faut pouvoir évaluer ses éléments les uns par rapport aux

autres. D"où la notion de distance. 6

Notion de topologie dansRn1.1 Espaces métriques, distanceSoitEun ensemble non vide (on utilisera le plus souventRnici). On dit qu"une applica-

tiond:EE!R+; (x;y)7!d(x;y); est une distance surEsi elle vérifie 1. (SEP ARATION)pour tout (x;y)2EE,fx=yg () fd(x;y) = 0g, 2. (SYMETRIE) pour tout (x;y)2EE,d(x;y) =d(y;x), 3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour t out(x;y;z)2EEE,

d(x;y)d(x;z) +d(z;y)Définition 1.2(DISTANCE)On appelle espace métrique tout couple(E;d)oùE6=;est un espace vectoriel etdest

une distance.Définition 1.3(ESPACE METRIQUE)Exemple .

1.E=R, muni de la distanceddéfinie pour tout(x;y)2R2pard(x;y) =jxyjest un

espace métrique.

2.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MANHATTANd1définie pour tout(x;y)2RnRn

par d

1(x;y) =nX

i=1jxiyij:

3.E=Rn, muni de la DISTANCE EUCLIDIENNEd2définie pour tout(x;y)2RnRnpar

2(x;y) = (nX

i=1jxiyij2)1=2:

4.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MINKOWSKIdpdéfinie pour tout(x;y)2RnRn

par d p(x;y) = (nX i=1jxiyijp)1=p:

5.E=Rn, muni de la DISTANCE INFINIE ou distance TCHEBYCHEVd1définie pour tout

(x;y)2RnRnpar d

1(x;y) = sup

i=1;:::;njxiyij: 7

1.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnFIGURE1.2-Représentationdetroisdistances.1.PlandeManhattanqui,parsesruesquadrilléesa

donné son nom à la distance de Manhattan. 2. Cette distance est représentée en bleu, jaune et rouge

dans la figure 2. On peut noter que la distance euclidienne dans cette figure est représentée en vert

et correspond a la somme des diagonales des petits carrés (d"après le théorème de Pythagore). 3.

Enfin dans la figure 3, est représentée la distance infinie qui correspond au nombre minimum de

mouvements nécessaire au roi pour se déplacer de sa case (ici f6) à une autre case. Il est à noter que la distance de Manhattan est la distance de Minkowski pourp= 1, la distance EuclidienneestladistancedeMinkowskipourp= 2etladistancedeThcebychevestladistancede Minkowski quandp7! 1. Voir figure 1.2 pour une illustration des différentes distances abordées dans cet exemple. Pour rendre le cours plus simple, nous utiliserons plutôt la notion de norme dans tout le reste

de notre cours, et les espaces vectoriels normés plutôt que les espaces métriques. Il se trouve que

norme). Donc ce qui va suivre peut s"adapter parfaitement dans le cadre des espaces métriques, tout

en étant plus facilement compréhensible. 8 Notion de topologie dansRn1.2 Normes des espaces vectoriels1.2 Normes des espaces vectoriels SoitEun espace vectoriel surR(on utilisera en généralE=Rn). On appelle norme sur

Eune application

E!R+; x7! kxk; et vérifie 1. (SEP ARATION)pour tout x2E,kxk= 0()x= 0, 2. (HOMOGENEITE POSITIVE) pour t out2R, pour toutx2Ekxk=jj:kxk, 3.

(INEGALITE TRIANGULAIRE) pour t ousx;y2E,kx+yk kxk+kyk.Définition 1.4(NORME)Un espace vectoriel surRmuni de la norme est appelé espace vectoriel normé, que l"on

notera souvente:v:n:.Définition 1.5(ESPACE VECTORIEL NORME)On a la relation entre norme et distance dans le résultat suivant.

SoitEune:v:n:L"application

d:EE!R+; (x;y)7!d(x;y) :=kxyk;

est une distance surE. On l"appelle DISTANCE INDUITE surEpar la NORME.Proposition 1.6(DISTANCE INDUITE PAR UNE NORME)Preuve :Faite en cours.

Cette distance possède les propriétés suivantes : 1. pour tout x2E,d(0;x) =kxk, 2. pour tout (x;y)2E2, pour tout2R,d(x;y) =jjd(x;y), 3.

pour tout (x;y;z)2E3,d(x+z;y+z) =d(x;y).Propriété 1.7(PROPRIETES DES DISTANCES INDUITES PAR DES NORMES)Preuve :Pas faite en cours.

Remarque .ATTENTION : toute norme induit une distance, mais toutes les distances ne pro- viennent pas d"une norme. 9

1.2 Normes des espaces vectoriels Notion de topologie dansRnExemple .IMPORTANT : normes classiques surRn:

Soientx2Rn,x= (x1;:::;xn), avecxi2Rpour touti2 f1;:::;ng, etp2Rtel quep1,

1.kxk1=nX

1jxij(NORME MANHATTAN),

2.kxk2= (nX

1jxij2)1=2(NORME EUCLIDIENNE),

3.kxkp= (nX

1jxijp)1=p(NORMEp,p1),

4.kxk1= max1injxij(NORME INFINIE),

sont des normes surRn.Toute normek:kdans une:v:n(E;k:k)vérifie, pour tousx;y2E jkxk kykj kxyk:Proposition 1.8(PROPRIETE DES NORMES)Preuve :Faite en cours. Deux normesk:ketk:k0surEsont EQUIVALENTES s"il existe deux constantes réelles >0et >0telles que pour toutx2E kxk kxk0kxk:

On note alors :k:k k:k0.Définition 1.9(NORMES EQUIVALENTES)Cette définition induit une relation d"équivalence.Proposition 1.10

Preuve :Pas faite en cours.

SurRn(et tout autre espace vectoriel normé de dimension finie) TOUTES les normes sont équivalentes.Proposition 1.11(NORMES EQUIVALENTES ET DIMENSION FINIE)10

Notion de topologie dansRn1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornéePreuve :Pas faite en cours (abordé en TD).

Remarque .Dans la suite du cours on notera donc (sauf précision)k:kpour désigner une norme quelconque surRn.

Nous nous plaçons désormais dans des espaces vectoriels normés(E;k:k). En général nous pren-

dronsE=Rn. Il nous faudra ensuite nous approcher d"un élément de cet espace et regarder ce

qu"il se passe autour de lui (comme par exemple, le définir comme la limite d"une suite d"éléments

de l"espace métrique). Il nous faudra donc définir la notion de voisinage. Et les outils que nous

utiliserons ici sont les boules.

1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornéeSoit(E;k:k)une:v:n. Soientaun point deEetr2R,r >0.

1.B k:k(a;r) =fx2E;kxak rgest appelé boule FERMEE de centreaet de rayon r.

2.Bk:k(a;r) =fx2E;kxak< rgest appelé boule OUVERTE de centreaet de

rayonr.

3.Sk:k(a;r) =fx2E;kxak=rgest appelé SPHERE de centreaet de rayonr.Définition 1.12(BOULE OUVERTE, FERMEE, SPHERE)Dans le cas oùa= 0(vecteur nul) etr= 1on a ce qu"on appelle les boules ou sphères unités.Soit(E;k:k)une:v:n.

1.B k:k(0;1) =fx2Ekxk 1gest appelé boule UNITE FERMEE.

2.Bk:k(a;r) =fx2E;kxk<1gest appelé boule UNITE OUVERTE.

3.Sk:k(a;r) =fx2E;kxk= 1gest appelé SPHERE UNITE.Définition 1.13(BOULE UNITE OUVERTE, FERMEE, SPHERE)Remarque .Dans la suite et pour éviter les lourdeurs d"écriture nous ne mettrons pas la norme

en indice et nous écrirons justeB(a;r),B(a;r), etS(a;r)lorsque l"on désignera respectivement la boule fermée, ouverte ou la sphère de centreaet de rayonrpour une normek:kquelconque. Si jamais la norme devait être spécifiée, nous l"ajouterons alors en indice. Remarque .ATTENTION: les boules ont des formes différentes selon les espaces métriques utilisés. Voir un exemple dansR2pour la distance euclidienne dans la figure 1.3, ou la figure 1.4 pour des distancesp, oùp= 0:5;1;2;4et1. 11

1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée Notion de topologie dansRnFIGURE1.3 - Exemples surR2avec la norme euclidienne d"une boule fermée (1.), ouverte (2.), et

d"une sphère (3.) centrée enaet de rayonr.FIGURE1.4 - Exemples surR2avec la norme de Minkowskipde la sphère unité (centrée en0

et de rayon1, avecp= 1;2;4et1). Le casp= 0:5est à part puisqu"on rappelle quek:kpavec

0< p <1n"est pas une norme surRn). On dessine juste l"ensemblefx2Rn;kxk0:5= 1gSoit(E;k:k)une:v:n. Une partie bornéePdeEest une partie deEpour laquelle on

peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient tous les points deP(voir figure

1.5 pour un exemple).Définition 1.14(PARTIE BORNEE)12

Notion de topologie dansRn1.4 Ouverts et fermésFIGURE1.5 - Exemples surR2de partie bornée, avec la norme euclidienne.

1.4 Ouverts et fermésSoit(E;k:k)une:v:n. Une partie ouverte (ou un ouvert) deEest une partieUdeEtelle

que pour toutx2U, il exister >0réel, tel queB(x;r)U. Autrement dit, tout point deUest le centre d"une boule ouverte de rayon non-nul, incluse dansU(voir figure 1.6

pour un exemple).Définition 1.15(PARTIE OUVERTE)Soit(E;k:k)une:v:n. Une partie fermée (ou un fermé) deEest une partie telle que son

complémentaireUdeEest un ouvert.Définition 1.16(PARTIE FERMEE)Soit(E;k:k)une:v:n. On a alors : 1. une boule ouv erteest un ouv ert, 2.

une boule fermée est un ferm é.Proposition 1.17(BOULES OUVERTES, FERMEES)Preuve :Faite en cours.

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deENotion de topologie dansRnFIGURE1.6 - Exemples surR2de partie ouverte, avec la distance euclidienne.Soit(E;k:k)une:v:n.

1. toute union finie ou infinie d" ouvertsde Eest un ouvert, 2. toute intersection F INIEd"ouv ertsde Eet un ouvert, 3. toute union FINIE de fermés de Eest un fermé, 4. toute intersection fi nieou infinie de fermés de Eest un fermé, 5. les ensembles à la fois ouv ertset fermés de Esont;etE, et si ce sont les seuls on dira que l"espace est CONNEXE, 6.

un ensemble fini de points de Eest fermé .Proposition 1.18(INTERSECTION, REUNIONS D"OUVERTS, DE FERMES)Preuve :Faite en cours (en partie).

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deE

Avant toute chose, énonçons la définition de voisinage d"un point. Toutes les autres définitions

découleront de cette notion.On dit qu"une partieVdeEest un voisinage dex2EsiVcontient un ouvert contenant

x.Définition 1.19(VOISINAGE)Remarque .Cette définition revient à dire qu"une partieVdeEest un voisinage dex2EsiV

contient une boule ouverte contenantx(la boule peut être ou non centrée enx). 14

Notion de topologie dansRn1.5 Position d"un point par rapport à une partie deEFIGURE1.7 - Exemples surR2de voisinageVdex, avec la norme euclidienne.

Soit(E;k:k)une:v:n. SoitAEune partie quelconque deE. AlorsAcontient au-moins un ouvert (en effet; A). SoitOAl"ensemble de toutes les parties ouvertes deEcontenues dansA. Alors[

P2OAPest un

ouvert (comme réunion de parties quelconques d"ouverts).Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. Un pointxdeEest dit intérieur àAsiAest un

voisinage dex, autrement dit, siAcontient une boule ouverte contenantx.

L"intérieur deA, notéAouInt(A)est l"ensemble des points intérieurs àA.Définition 1.20(INTERIEUR)Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. L"intérieur deAest la plus grande partie ouverte

incluse dansA.Proposition 1.21(PROPRIETE DE L"INTERIEUR)Preuve :Pas faite en cours.

Remarque .On ax2A=[

P2OAP.

Remarque .On a :

Aest un ouvert,

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deENotion de topologie dansRn2.

AA,

3.Aest un ouvert()A=A.

Preuve :(3.) fait en cours.

Soit(E;k:k)une:v:n. SoitAune partie quelconque deE. AlorsEcontient au-moins une partie fermée contenantA(en effetEest fermé). SoitFl"ensemble des parties fermées contenantA. Alors\

F2FFest la plus petite partie fermée

contenantA. Et\

F2FFest bien une partie fermée (comme intersection de familles fermées).Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. Un pointxdeEest dit adhérent àAsi tout voisinage

dexrencontreA, autrement dit, si toute boule ouverte contenantxcontient au-moins un

élément deA.

L"adhérence deAE, notéeAouadh(A), est l"ensemble des points adhérents àA.Définition 1.22(ADHERENCE)Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. L"adhérence deAest la plus petite fermée contenantProposition 1.23(PROPRIETE DE L"ADHERENCE)Preuve :Pas faite en cours.

Remarque .On ax2A=\

F2FF.

Remarque .On a :

1.Aest un fermé,

2.AA,

3.Aest un fermé()A=A.

Preuve :(3.) fait en cours.

Soit(E;k:k)une:v:n:etAE. Alors{

EA={EA:Proposition 1.24(ADHERENCE DU COMPLEMENTAIRE)16

Notion de topologie dansRn1.5 Position d"un point par rapport à une partie deEPreuve :Faite en cours.

Soit(E;k:k)une:v:n. On appelle frontière deAE, notéeFr(A)l"ensemble défini parFr(A) =AA.

On dit quexest un point frontière deAsi et seulement six2Fr(A).Définition 1.25(FRONTIERE)Soit(E;k:k)une:v:n. SoientAEetPun ouvert deE. Alors

A\P6=; ()A\P6=;Proposition 1.26(INTERSECTION OUVERT ET FERME)Preuve :Faite en cours. Soit(E;k:k)une:v:n. SoientAE,x2Eetr >0,r2R. On a alors :

1.x2A()il exister >0, tel queB(x;r)A,

2.x2A()pour toutr >0,B(x;r)\A6=;,

3.x2Fr(A)()pour toutr >0,B(x;r)\A6=;etB(x;r)\{EA6=;.Proposition 1.27(OUVERT, FERME, FRONTIERE)Preuve :Faite en cours.

Soit(E;k:k)une:v:n.

1.Adh(B(0;1)) =B(0;1),

2.Int(B(0;1)) =B(0;1),

3.Fr(B(0;1)) =fx2E;d(0;x) = 1g.Proposition 1.28(BOULE UNITE)Preuve :Pas faite en cours.

Maintenant que les notions de bases qui nous intéressent sont établies, nous pouvons nous inté-

resser à des outils qui nous seront utiles dans certaines preuves du cours : les suites et la notion

d"ensemble compact. 17

1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé Notion de topologie dansRn1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé

Dans cette section, nous nous plaçons (sauf exception spécifiée) dans un(E;k:k)une:v:n quelconque.On appellesuitedansEtouteapplication N!E n7!xn:

On note une telle application(xn)n2N.Définition 1.29(SUITE)Soit(xn)n2N, une suite deEmuni de la normek:k. La suite(xn)n2Nest dite bornée si et

seulement si l"ensemblefxn; n2Ngest borné. Autrement dit, il existeM >0tel que

pour toutn2N,kxnk M.Définition 1.30(SUITE BORNEE)L"ensemble des suites bornées dans un espace vectoriel normé est un espace vectoriel.Proposition 1.31(SUITES BORNEES ET ESPACE VECTORIEL)Preuve :Pas faite en cours.

Soit(xn)n2N, une suite deEmuni de la normek:k. On dit que(xn)n2Nconverge dans (E;k:k), si et seulement s"il existel2E, tel que pour tout" >0, il existeN2N, tel

que pour toutnN,kxnlk< ".Définition 1.32(SUITE ET CONVERGENCE)La limite de la suite(xn)n2Ndéfinie ci-dessus est UNIQUE.Proposition 1.33(LIMTE ET UNICITE)Preuve :Faite en cours.

Notion de topologie dansRn1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel norméL"ensemble des suites convergentes dans un espace vectoriel normé est un espace vecto-

riel.Proposition 1.34(SUITES CONVERGENTES ET ESPACE VECTORIEL)Preuve :Pas faite en cours. SurRn, comme toutes les normes sont équivalentes , toute suite convergente pour l"une

des normes est convergente pour l"autre.Proposition 1.35(CONVERGENCES ET NORMES - DIMENSION FINIE)Preuve :Pas faite en cours.

SoitAE. On dit que(xn)n2Nest une suite de points deAsi et seulement si pour tout

n2N,xn2A.Définition 1.36(SUITES ET PARTIES)Si(xn)n2Nest une suite de points deAet(xn)n2Nconverge versl, alorsl2A.Proposition 1.37(LIMITE ET ADHERENCE)Preuve :Faite en cours.

SoitAE, alorsAest fermé si et seulement TOUTE suite de points deAqui converge

a sa limite qui appartient àA.Proposition 1.38(CARACTERISATION DES FERMES PAR LES SUITES)Preuve :Faite en cours.

Soit(xn)n2Nune suite deE. On dit que(xn)n2Nest une suite de Cauchy si et seulement

si pour tout" >0, il existeN2N, tel que pour tousn;mN,kxnxmk< ".Définition 1.39(SUITES DE CAUCHY)19

1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé Notion de topologie dansRnSi une suite est convergente alors elle est de Cauchy.Proposition 1.40(CAUCHY ET CONVERGENCE)Preuve :Faite en cours.

Remarque .ATTENTION: la réciproque n"est pas vraie en général. Par contre, le fait de tra-

vailler sur un espace où la réciproque est vraie serait bien pratique. En effet nous pourrions mon-

trer la convergence d"une suite sans avoir à calculer la limite de cette suite. Les espaces dont la

réciproque de la propriété ci-dessus.Si dans un ensemble, toute suite de Cauchy est convergente, on dit que l"ensemble est

complet.Définition 1.41(ESPACE COMPLET)Remarque . T outespace vector ielnormé complet est appelé espace de Banac h. Les e:v:n:(Rn;k:k)dans lesquels nous travaillerons pratiquement tout le temps, sont des espaces de Banach. Donc toute suite de Cauchy dans ces espaces sera convergente. Présentons ci-dessous quelques résultats en dimension finie. Nous allons considérer les espacesRpici. Soitfe1;e2;:::;epgune base deRp. Pour toutx2Rp, il existe un uniquep-uplet(x1;x2;::;xp)2Rptel quex=pX i=1x iei. Pour toutn2N, on aura donc (un élément d"une suite par exemple qui s"écrit) x n=pX i=1xquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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