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Mécanique 2TD-M22-Forces centralesTD M22 : Forces centrales Exercice 1 : établissement de l"équation de la trajectoire par la conservation de l"énergie mécanique E M=12 mr2+mC22r2+Kr (1) A partir de la conservation de cette énergie, on souhaite retrouver l"expression de l"équation polaire de la trajectoirer=f(θ). 1.
Manipuler le premier te rmede l"équation (
1 ) pour faire apparaitre la grandeur drdθ 2. En déduire une expre ssionde l"énergie mécanique en fonction de r,drdθ,C,metK. 3.Réaliser le c hangementde v ariableu=1r
, et réorganiser l"expression deEMprécédente afin de montrer que : EM=mC22
(?dudθ 2 +u2) +Ku(2) 4. Écrire la c onservationde l"énergie mécanique dEMdθ = 0et résoudre l"équation obtenue (on noteAetθ0les constantes). 5. Donner l"équatio nr=f(θ)de la trajectoire en fonction dep=mC2|K|,e=Apet unparamètre?qui prendra la valeur +1 ou -1 selon le cas (K >0ouK <0).Exercice 2 : établissement de l"équation de la trajectoire
grâce aux formules de Binet Les formules de Binet donnent en coordonnées polaires les expressions du carré de la vitesse et l"expression de l"accélération d"un point M soumis à une force centrale.Nous allons les établir, puis nous en servir pour retrouver l"équation de la trajectoirer=f(θ).
1. Écrire la vitesse du p ointM en co ordonnéesp olairespuis son mo duleau carr é.In troduire le changement de variableu=1r et la constante des airesC=r2θ.Montrer ainsi que :
v 2=C2( (?dudθ 2 +u2) (18) 2. F airede même a vecl"accélération et mon trerque : a=-C2u2?d2udθ 2+u? -→ur(19) 3. Appliquer le princip efondamen talde la dynamique au p ointM et retrouv erl"équation différentielle dont la solution sera l"équation de la trajectoire.1 Mécanique 2TD-M22-Forces centralesExercice 3 : satellite en mouvement quasi-circulaire Soit un satellite artificiel en mouvement autour de la Terre. On suppose que le satellite n"est soumis qu"à la force de gravitation terrestre, on noteMTla masse de la Terre,RTson rayon,mla masse du satellite etGla constante de gravitation universelle. 1. Choisir le référen tield"étude adéquat. 2. Établir la conserv ationdu momen tciné tiquedu satellite. 3. En déduire que le mouv ementdu satellite est plan. 4. Donner l"expression du momen tcinétique du satellite en fonction de la constan tedes aires dont on donnera l"expression. 5. En déduire, dans le cas du mouv ementcirc ulaire,l"uniformité du mouv ement. 6. Établir l"expression de la vitesse du satellite en fonction de G,MTetrle rayon de son orbite. 7. Établir l"expression de l"éne rgiecinétique du satellite en fonction de G,MT,metr. 8.Établir l"expression de l"énergie p otentielledu satellite, la relier à EC(on prendra l"origine
des énergies potentielles à l"infini). 9. En déduire l"expression de l"éner giemécanique du satellite et donner sa relation à ECet àEP.Exercice 4 : orbite de transfert et satellite géostation- naire Pour mettre un satellite géostationnaire en orbite, on utilise un lanceur (type Ariane 5) quilibère le satellite au périgée d"une orbite elliptique de transfert. Le satellite parcourt l"orbite
de transfert jusqu"à son apogée qui coïncide avec un point de l"orbite géostationnaire. La
mise en marche d"un moteur du satellite lui permet alors de se positionner sur la trajectoire géostationnaire. 1. Rapp elerce qu"est un satellite géostationnaire. 2. Sac hantque l"or bitegéostationnair eest quasi-circulaire, que l"on no tehgl"altitude de cette orbite,h0l"altitude du périgée de l"orbite de transfert,ason demi-grand axe etRT le rayon de la Terre; faire un schéma représentant la mise en orbite et faire apparaitre les grandeurs citées. 3. Calc ulerla vitesse a ngulaireΩgdu satellite sur son orbite géostationnaire. 4.Détermin erles expressions :
Du ra yonRgde la trajectoire géostationnaire;
De son altitude hg;
De sa vitesse vg.
Puis effectuer les applications numériques.
5. D"après les données de l"énoncé, trouv erla v aleurdu demi-grand axe ade l"ellipse de transfert, de son excentricitée(il faudra utiliser les expressions derp) et de son paramètre p. 2Mécanique 2TD-M22-Forces centrales6.En appliquan tla relation fondamen talede la dyna miqueau satellite, on mon treque
l"équation polaire de sa trajectoire sur l"orbite de transfert est : r=C 2GMT1 +AC2GM
Tcosθ(46)
Identifier dans cette expression le paramètre p et le paramètre e de l"ellipse de transfert; puis exprimer la constante des aires en fonction dep,GetMT. 7.En dé duire,sac hantque sur l"or bitede transfert, la vitesse est orthora dialeau p érigéeet
à l"apogée de celle-ci, la vitesse du satellite en ces deux points. 8. A l"aide de la troisième loi de Kepler, calculer le temps que passe le satellite sur cette orbite de transfert.