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Chapitre 7 : Mouvements à force centrale Mécanique Page 1 sur 8 I Définition œ interaction newtonienne A) Force centrale On dit que M est soumis à une 

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A elles seules, ces deux forces expliquent un nombre important de phénomènes physiques I – Force centrale et conservative : caractéristiques 1 1 Système de 

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1 déc 2013 · Chapitre 7: Forces centrales I Caractéristiques d'un mouvement à force centrale II Energie potentielle effective III Application à une force en 

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https://femto-physique fr/mecanique/forces-centrales php 7 1 Lois de conservation On considère un point matériel M de masse < soumis à une force centrale 

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Contenu du programme officiel Puissance et travail d'une force Théorème de l' énergie cinétique Energie potentielle dans les problèmes à un degré de liberté

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1) Montrer que le mouvement est plan et déterminer le plan de la trajectoire 2) Montrer que la force −→F est une force conservative En déduire l'énergie 

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TD-M22-Forces centrales TD M22 : Forces centrales vitesse et l'expression de l'accélération d'un point M soumis à une force centrale Nous allons les établir, 

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Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives Un mobile P de masse m n'est soumis 

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19 mar 2018 · TD M7 : Champ de force central et conservatif Langevin-Wallon Bilan des forces : M n'est soumis qu'à une force centrale #” F = Fr(r)#”er 

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Mouvements à force centrale

I 26
. (d'après CCP 1999 MP) Dans cet énoncé les vecteurs sont notés en caractères gras ; sur votre copie, vous mettrez une flèche au dessus. On désire étudier les mouvements possibles d'un point matériel M, de masse m, sous l'action du champ de pesanteur g , à l'intérieur d'une cavité fixe que l'on suppose solidaire d'un référentiel terrestre R (O, e x , e y , e z ) supposé galiléen. La surface extérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution P, d'axe vertical ascendant Oz , dont l'équation en coordonnées cylindriques (, , z) est 2 - az = 0 avec a > 0 (Figure A-l). On suppose que le point matériel M glisse sans frottement sur P. Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de M , la base de projection étant celle de R c (O, e , e , e z ) (Figure A-l). On suppose la liaison unilatérale, c'est-à-dire que les coordonnées et z de M satisfont à l'inégalité z 2 / a.

1. Moment cinétique

a) Exprimer, dans la base de R C , la vitesse de M par rapport

à R .

b) Exprimer en fonction des coordonnées cylindriques de M fonctions du temps t la composante sur Oz du

moment cinétique en O de M. z c) Montrer que la réaction R qu'exerce P sur M est contenue dans le plan OHP. En appliquant le théorème du moment cinétique en O, sous forme vectorielle, montrer que se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation

de conservation en fonction de et . Dans la suite, pour simplifier l'écriture, on désignera par L cette constante.

z

2. Energie

a) Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l'expression de l'énergie cinétique E

k de la particule

M par rapport à R ?

b) Justifier l'existence d'une énergie potentielle E p associée à la force subie par M. Exprimer E p en fonction de en supposant que E p (O) = 0. c) Que peut-on dire de EE? mkp E=+

3. Discussion générale du mouvement

a) Déduire de ce qui précède une équation différentielle du premier ordre, à une seule fonction inconnue , de la

forme ()t 2 1 2 pefm mGEE += où G() est positif et sans dimension et où E p,ef () est appelé énergie po tentielle effective. Expliciter G() et E p,ef b) Représenter le graphe E p,ef (). Montrer que E p,ef () passe par un minimum pour une valeur m de que l'on exprimera en fonction de L, m, a et g, intensité du champ de pesanteur. c) Discuter, à l'aide du graphe E p,ef (), la nature du mouvement de M. En déduire que la trajectoire de M sur P est nécessairement tracée sur une région de P limitée par deux cercles définis

à l'aide des constantes du mouvement et des

données du problème. On se contentera d'indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deux

cercles.

4. Etude de quelques mouvements particuliers

a) A quelle condition sur L la trajectoire de M sur P est-elle une portion de parabole méridienne ?

b) Déterminer la vitesse initiale v 0 pour que la trajectoire de M sur P soit un cercle horizontal. c) Une petite perturbation écarte légèrement la coordonn

ée de la valeur

m pour laquelle E p,ef () est minimal.

Montrer que varie sinusoïdalement avec une période que l'on calculera dans le cas général.

m d) Application numérique : m = 1 m, a = 2 m, g = 9,81 m.s -2 e) Pour quelles valeurs de et a une trajectoire de ce type se referme-t-elle après un tour ? m 5.

L'expérience montre qu'en réalité le mobile se stabilise finalement au fond de la cuvette, quelles que soient les

conditions initiales du mouvement. Commenter à l'aide de l'énergie. II 25
. Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force central e.

Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives. Un mobile P de masse m n'est soumis qu'à la force

rn k Fu r , où r et OP= r OP u OP

1) Montrer que le mouvement est plan et qu'en coordonnées polaires est une constante du mouvement qu'on

notera C. 2 r

2) Montrer que la loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale peut être écrite sous la forme

2 2 dr fr dt = et exprimer la fonction ()fr en fonction de k, m, r, n et C.

3) Discuter le signe de ()fr et tracer son graphe en distinguant plusieurs cas, en particulier selon que :

a) ; 3n< b) ; 3n= c) . 3n>

4) Dans quel cas l'orbite est-elle un cercle de centre O et de rayon a ?

5) Décrire l'allure radiale d'un mouvement initialement proche d'un mouvement circulaire, en distinguant plusieurs

cas. A quelle condition l'orbite circulaire est-elle stable ?

6) On suppose l'orbite circulaire stable. Soit un mouvement voisin d'une orbite circulaire de rayon a et de période

: où reste petit devant a. Montrer qu'il obéit à T()rat=+()t 22
22
4 (3)0 d n dtT

7) Ce résultat est-il en accord avec la conclusion sur la stabilité des orbites circulaires ? Quel est alors l'allure du

mouvement ?

8) Interpréter le cas particulier . 2n=

III 49
(d'après petites mines 2002). Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère (,,,)Oijk . Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan (, h (table à coussin d'air par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : g= ,)Oxyorizontal kg Le palet est accroché à l'extrémité d'un ressort (point ) de longueur à vide l, de raideur , dont l'autre extrémité est fixée en O. La position de est repérée dans la base (, M 0 k M )ij par OMxiyj=+ ou dans la base r ee par OM r re=

1. Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a

conservation du moment cinétique L O par rapport à O.

2. On lance le palet d'un point

0 (0)OMOMtli=== 0 vj=

Mouvements à force centrale, page 2

, avec une vitesse initiale v 00 orthogonale à OM 0 . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan (,. ,)Oxy

Préciser

O L en fonction de r et d , puis, en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base. On notera L le module de dt O L

3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique.

Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ? Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique E. m

Préciser l'expression de E :

m en fonction des conditions initiales, en fonction de ,,, drd rm et l. k dtdt 0

4. Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire :

2 1 2 me dr ff Er dt r Em. Préciser l'expression de E. Tracer l'allure de . () eff eff Er

5. Le palet peut-il s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ?

6. Le palet peut-il passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?

7. Décrire qualitativement le mouvement.

8. Quelles sont les valeurs extrêmes de au cours du mouvement ? On précisera l'une de ces valeurs et on

donnera l'équation déterminant l'autre. r

9. Calculer l'écart entre ces deux valeurs s'il est petit. A quelle condition cela est-il valable ?

IV 21
. Pendule sphérique (d'après ENSI Sud 1985). A. Un point matériel M, de masse m, est relié à un point fixe O par une tige rigide sans masse de longueur a. Le mouvement de M sera rapporté au repère orthonormé (,,,)Oijk fixe dans un espace galiléen. La trajectoire du point M dans l'espace est sur une sphère de rayon a et de centre O. L'articulation en O est sans frottement. La position de M sera donnée par : (cossin)OMrijzk+=+

Mouvements à force centrale, page 3

2 a+= k avec rz . 22
L'accélération de la pesanteur est donnée par : gg= , (g). 0>

C=ans la suite

quee peut s'annuler, que M tourne toujours dans le même sens et que B.

° Exprimer l'énergie cinétique du point M en fonction des dérivées par rapport au temps des coordonnées

cy rgie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle est nulle pour z = 0). tion obtenue en II.4° et de la relation 2 , exprimer à l'aide de et des co u égal à un polynôme de degré 3 en qui s'écrit :

1° Exprimer la projection sur Oz du moment cinétique de M par rapport au

point O.

2° Démontrer que r reste constant au cours du temps. On suppose d

3° Montrer n

2 0C. raza<<. 1 c E lindriques de M.

2° Exprimer l'éne

3° Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale

m

E du point M ?

4° Donner son expression.

5° Tenant compte de la rela

22
rza+= m Ez,z nstantes m, a, g, et C.

6° En dédire que

2 az 2 estz 22222
()22()zazEmgzCPz==. / m a

7° Faire un inventaire complet des propriétés qu'on connaît sur le signe du polynôme. En déduire que

s'a

n se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se situe entre deux plans horizontaux.

gé mme instant initial , l'un de ceux où cette tangence se produit, avec = Pzz nnule pour au moins une valeur de z comprise entre a et a, qu'on appellera 0 z. C. O

1° Justifier qu'en tout point de la trajectoire où 0z=, celle-ci est tangente à un cercle zcte= (parallèle

ographique).

2° On prendra co0t=

000 vrj 0 0r et se krza+= 0

0>) et avec la position initiale M

0 pridans le plan xOz et définie par OMriz=+ 222
00000 mer les constantes C et m

E à l'aide des conditiontiales. Expris ini

fini()()zzQz et exprimer en fonction des co racine de et une seule est comprise entre et

3° Décomposer alors ()Pz, dé en II.6°, sous la forme : ()Pz=

0 ()Qz nditions initiales.

4° Montrer qu'une

1 z()Qzaa.

5° Exprimer

2 0 e+ et montrer que la trajectoire reste co=

6° Montrer que : avec

à l'aide da, g et

1 z. En déduire le signe de ()zz , 0 z 01 mprise entre les plans zz= et 1 zz. 0 12 ()2()()Qzgzzzz= 2 01 2 01 azz z zz

7° Quelle est la vecto?aleur de pour que la trajire soit circulaire

ine point atteigne le plan de l'équateur z

9° Pour

0C v 0 v

8° Quelle est la valeur mimal

0E v de 0 v pour que, 0 z étant négatif, le (0=) ? 0 3 2

za=, donner à l'aide d'un dessin qualitatif la projection sur de la trajectoire dans les trois cas

su v< ; 0 xOy ivants : a) si 0 v 0C b) si 00CE vvv<< c) si vv 00E V 40
. Mouvement à force centrale et énergie potentielle effective.

Un point matériel P, de masse m, est attaché à un point fixe O par un ressort de raideur k et de longueur naturelle

; il glisse sans frottement sur un plan horizontal passant par O. On le lance du point P 0 avec une vitesse horizontale perpendiculaire à OP 0 v 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22