M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L'INTERACTION NEWTONIENNE O B JE C T IFS • Un point fréquemment rencontré en
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[PDF] Chapitre 7 :M ouvements à force centrale
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète, planète œ La force F C est donc conservative Exemple : interaction newtonienne
[PDF] M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L
M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L'INTERACTION NEWTONIENNE O B JE C T IFS • Un point fréquemment rencontré en
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Il n'y a que deux types de forces centrales conservatives pour les- quelles les états liés sont fermés c'est-à-dire périodiques : — la force centrale newtonienne 5 =
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Force centrale si F = F(r)er conservative si δW = −dEp Pour les forces de gravitation et électrostatique que l'on appelle interactions new- toniennes F(r) = k r2 et
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Exercices – Mécanique PTSI □ Forces centrales conservatives M7 § ¦ ¤ ¥ Ex-M7 1 Point matériel tiré par une corde (*) Un palet P de masse M glisse sans
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Dans ce chapitre, nous verrons les forces centrales conservatives, dont la force de Newton et La force de Coulomb est une force centrale conservative :
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newtoniennes, c'est à dire des forces centrales dont la norme varie en 1 r2 La force centrale étant une force conservative, l'énergie mécanique se conserve et
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où e est le vecteur directeur de l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut Le poids est une force conservative si, et seulement si il dérive d'une énergie potentielle Epp
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2 mai 2018 · Soit un point matériel de position M dans un référentiel galiléen Rg, soumis à une force centrale de centre O, conservative, d'énergie potentielle
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M7 - FORCES CENTRALESCONSERVATIVES - CAS DEL"INTERACTION NEWTONIENNE
OBJECTIFS
•Un point fr´equemment rencontr´e en physique concerne le mouvement d"un point mat´eriel
soumis `a une force constamment dirig´ee vers un point fixe - qu"on appelle"force centrale»(Ü
Cf §I). cette situation se rencontre en particulier :- à l"échelle microscopique, avec, dans le cadre de la mécanique classique, par exemple,le cas
d"un électron soumis à l"action d"un noyau atomique, - à l"échelle astronomiquelorsque nous observons, par exemple, le mouvement des astres soumisà la force de gravitation du Soleil.
• L"étude de ce problème est grandement simplifiée par : - l"utilisation des deux théorèmes généraux de la mécanique du point : leThéorème du Moment Cinétiquerencontré dans la leçonM6(ÜCf §II) et leThéorème de l"Énergie Mécaniqueconnu depuis le leçonM3(ÜCf §III). - l"introduction de la notion d""énergie potentielle effec- tive» (ÜCf §IV). • La seconde partie de ce cours (§V) concerne l"interaction newtonienneavec l"étude spécifique du mouvement d"un point matériel dans le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle fixe. Les résultats obtenus peuvent être appliqués à la majorité des mouvements observés en astronomie : ceux des planètes autour d"une étoile et des satellites naturels ou artificiels autour des planètes. Dans la leçonM10, nous verrons com- ment réutiliser ces résultats dans le cas où le centre de force n"est pas fixe.Comète Hale-Bopp vue de la Terre en 1997
I Forces centrales conservatives
I.1 Champ de forces centrales
♦D´efinition :SoitOun point fixe du r´ef´erentielRd"´etude.•Lorsqu"en tout pointMde l"espace, un point
mat´eriel est soumis `a une force-→F(M)colin´eaire au vecteur--→OM, on parle dechamp de forces cen- trales: ?M? E--→OM×-→F(M) =-→0?-→Fest une force centrale •On appelleOlecentre de force. •Avec la d´efinition du vecteur unitaire-→erdes coor- donn´ees sph´eriques -→er=--→OMOM, on peut ´ecrire :
-→F(M) =F(M)-→er xyz Oex ez ey M(R) F erI.2 Champ de forces centrales conservatives
zPropri´et´e :Un champ de forces du type-→F(M) =F(r)-→er, avecr=OMet-→er=--→OMOMest un champ deforces centrales conservatives.
Alors,
-→Fd´erive de l"´energie potentielleEptelle queF(r) =-dEpdr?-→F=-dEpdr-→er
M7II. Propri´et´es des mouvements `a force centrale2008-2009 D´emonstration :On revient `a la d´efinition d"une force conservative : -→Fest conservative?δW(-→F) =-dEp CommeOM=r-→er, on a d--→OM= dr-→er+rd-→er, avec-→er?d-→er- c"est-`a-dire-→er?d-→er= 01
Donc, pour une force centrale du type
-→F(M) =F(r)-→er: δW(-→F) =-→F?d--→OM=-→F(M) =F(r)-→er?(dr-→er+rd-→er) =F(r)drPar identification, on en d´eduit :
F(r) =-dEpdr
I.3 Exemples de forces centrales conservatives :
(1) Force de rappel ´elastique :un ressort (ou un ´elastique toujours tendu), de longueur l=OM=r, dont une extr´emit´e est fixe enOexerce sur un mobile attach´e `a son autre extr´emit´eMune force :Fel=-k(r-l0)-→er=-dEp,el
dr-→er?Ep,el=12k(r-l0)2+CteCte=0 pour---------→avoirEp(l0)=0Ep,el=12k(r-l0)2 (2) Force coulombienne :un noyau d"or, de chargeQ=Ze, plac´e enOexerce sur un ion h´elion, de chargeq= 2e, localis´e enM, une force : Fe=14π?0q.Qr2-→er=-dEp,edr-→er?Ep,e=14π?0q.Qr+CteCte=0 pour---------→avoirEp(∞)=0Ep,e=14π?0q.Qr
(3) Force gravitationnelle :un astre de sym´etrie sph´erique, de massemO, de centreO, de rayonR, exerce sur un point mat´erielM, de massem, restant `a la distancer=OM > R, une force :Fg=-Gm.mO
r2-→er=-dEp,gdr-→er?Ep,g=-Gm.mOr+CteCte=0 pour---------→avoirEp(∞)=0Ep,g=-Gm.mOr II Propri´et´es des mouvements `a force centraleII.1 Conservation du moment cin´etique
•Syst`eme, r´ef´erentiel et bilan des forces :SoitS={M,m}, un point mat´eriel de massem,
´etudi´e dans un r´ef´erentiel galil´eenR, soumis `a une r´esultante des forces qui s"assimile `a une
force centrale-→F=F(M)-→er, de centre de forceO(Oest donc fixe dansR). •LeTh´eor`eme du Moment Cin´etiqueappliqu´e `aM:?d---→LO/R(M) dt? R =--→MO(-→F) =--→OM×-→F=-→0?---→LO/R(M) =-→CtezPropri´et´e 1 :Pour un point mat´eriel subissant seulement une force centrale de centreO, il
y aconservation du moment cin´etique ´evalu´e enO:LO/R(M) =-→Cte
Rq1 :Pour connaˆıtre ce vecteur constant, il suffit de connaˆıtre les conditions initiales (---→OM0,-→v0)
du pointM:LO/R(M) =-→Cte=---→OM0×m-→v0
Rq2 :On peut d´efinir un vecteur-→C(appel´e par certains," vecteur cinématique ») tel que
-→C=---→LO/R(M)
m=--→OM×---→vM/R.Ce vecteur est également constant, et fixé par lesC.I.:-→C=--→Cte"=---→OM0×-→v0