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Exercice 2

Corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2015

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l"épreuve : 4 heures

Coefficient : 7

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l"indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète

ou non fructueuse, qu"il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront

prises en compte dans l"appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s"assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de

1/7 à 7/7.

Le sujet comporte une annexe numérotée 7/7 à remettre avec la copie.

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EXERCICE 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit ()nula suite définie par son premier terme 0uet, pour tout entier naturel n, par la relation bauu nn 1+=+ (a et b réels non nuls tels que a ¹ 1).

On pose, pour tout entier naturel n,

.1 abuvnn--=

1.Démontrer que, la suite

()nvest géométrique de raison a.

2.En déduire que si a appartient à l"intervalle ] -1 ; 1[, alors la suite

()nu a pour limite .1ab

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu"il rentre chez lui, Max taille sa plante.

1.Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

2.Pour tout entier naturel n, on note h

n la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l"année (2015 + n). a.Justifier que, pour tout entier naturel n, 3075,01+=+nnhh. b.Conjecturer à l"aide de la calculatrice le sens de variations de la suite ()nh. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). c.La suite ()nh est-elle convergente ? Justifier la réponse. 1 alainpiller. fr

EXERCICE 2

Partie A:

[ Inde 2015 ] 1.

Montrons que (

V n ) est géométrique de raison a:

Nous savons que:

n = U n b 1 - a , U n = V n b 1 - a donc: V n 1 = U n 1 b 1 - a

Ainsi: V

n 1 a U n + b b 1 - a = a V n b 1 - a + b - b 1 - a = a x V n a b 1 - a b 1 - a 1 - a b 1 - a => V n 1 = a x V n

Par conséquent, (

V n ) est bien une suite géométrique de raiso = a et de premier terme V 0 = U 0 b 1 - a

Nous pouvons alors écrire:

V n = U 0 b 1 - a x ( a ) n 2.

Déduisons-en la limite de la suite (

U n V n = U n b 1 - a <=> U n = V n b 1 - a 2 alainpiller. fr

Dans ces conditions: lim U

n n = lim V n n b 1 - a

Or: lim V

n n = 0, car: et donc: lim ( a ) n n = 0.

D'où: lim U

n n = lim 0 n b 1 - a => lim U n nquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2