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Soientaetbdeux entiers. Posons
pgcd(a,b), pour le plus grand commun diviseur deaetb. Et ppcm(a,b), pour le plus petit commun multiple deaetb. On dit queaetbsontrelativement p remiersi pgcd (a,b) =1. Sia≥1, alors pgcd(0,a) =aet pgcd(1,a) =1.27 octobre 2015 1 / 33 Comment calculer le pgcd? Avecl"algo rithmed"Euclide . Exemple : Calculons pgcd(1351,1064)avec l"algorithme d"Euclide. On calcule la suite des restes succcessifs :
1351=1·1064+287
1064=3·287+203
287=1·203+84
203=2·84+35
84=2·35+14
35=2·14+7
14=2·7+0.
Le dernier reste non-zero, 7, est le pgcd(1351,1064).27 octobre 2015 2 / 33
La raison pourquoi ça marche.
Lemme Soit m>0et n deux entiers. Par division-avec-reste il existe deux entiers Alorspgcd(n,m) =pgcd(m,r). Si r=0alorspgcd(n,m) =m.27 octobre 2015 3 / 33
1351=1·1064+287
donc par le lemme pgcd(1351,1064) =pgcd(1064,287). Et
1064=3·287+203
donc pgcd(1064,287) =pgcd(287,203).
Etc. :
pgcd(1351,1064) =pgcd(1064,287) =pgcd(287,203) =pgcd(203,84) = =pgcd(84,35) =pgcd(35,14) =pgcd(14,7) = =pgcd(7,0) =7
En effet :
7 =le dernier reste non-zero=pgcd.27 octobre 2015 4 / 33
En fait notre lemme est un peu plus grand, avec d"autres conséquences. Lemme Soit m>0et n deux entiers. Par division avec reste il existe des entiers q (i) Alorspgcd(n,m) =pgcd(m,r). Si r=0alorspgcd(n,m) =m. (ii) Mettons d:=pgcd(n,m) =pgcd(m,r). Supposons ils existent des
entiers s,t tels qued =sm+tr.Alo rsd =tn+ (s-tq)m.Ou (ii) en autres mots : si on peut écriredcomme une combinaison
Z-linéaire demetr, alors on peut aussi écriredcomme une combinaison
Z-linéaire denetm.27 octobre 2015 5 / 33
La preuve est facile.
Démonstration.
(i) Soitd≥1 un diviseur dem.
Sid|n, aussid|(n-qm) =r.
Et sid|r, aussid|(qm+r) =n.
Doncdest diviseur en commun demetnsi et seulement si dest diviseur en commun demetr.
En particulier, pgcd(m,n) =pgcd(m,r).
(ii) Par substitution d=sm+tr=sm+t(n-qm) =tn+ (s-tq)m.27 octobre 2015 6 / 33 Le lemme suggère pas seulement l"algorithme d"Euclide pour calculer le pgcd(n,m)mais aussi unalgo rithmep ourtrouver deux entiers setttels que sn+tm=pgcd(n,m).
Il y a deux versions.
27 octobre 2015 7 / 33
Méthode par substitutions
(i) On commence par la suite des restes :
287=1351-1·1064
203=1064-3·287
84=287-1·203
35=203-2·84
14=84-2·35
7=35-2·14
0=14-2·7.
(ii) On commence en bas avec la combinaisonZ-linéaire :
7=35-2·14
et substitue 14=84-2·35 et réécrit :
7=35-2·(84-2·35)= -2·84+5·35.27 octobre 2015 8 / 33
Puis on monte une ligne. On substitue 35=203-2·84 et rééecrit :
7=-2·84+5·35=-2·84+5·(203-2·84)= 5·203+ (-12)·84.
Puis on monte une ligne. On substitue 84=287-1·203 et réécrit :
7=5·203+(-12)·84=5·203+(-12)·(287-1·203)= ( -12)·287+17·203.
On monte jusqu"en haut.
27 octobre 2015 9 / 33
Le résultat :
7=35-2·14=35-2·(84-2·35) =
=-2·84+5·35=-2·84+5·(203-2·84) = =5·203+ (-12)·84=5·203+ (-12)·(287-203) = = (-12)·287+17·203= (-12)·287+17·(1064-3·287) = =17·1064+ (-63)·287=17·1064+ (-63)(1351-1064) = = (-63)·1351+80·1064. Pour être sûr qu"on n"a pas fait une erreur de calcul on vérifie la réponse.
En effet
(-63)·1351+80·1064=-85113+85120=727 octobre 2015 10 / 33 À cause de tous les substitutions on risque facilement de faire uneerreur de calcul Il y a une autre méthode, qui est un peu plus propre avec moins de risque d"erreur de calcul. Cette méthode calcule le pgcd et la combinaisonZ-linéaire simultanément. Moi, je p rèférecette métho de
27 octobre 2015 11 / 33
Méthode de Bézout
Commence avec deux combinaisonsZ-linéaire triviales. Le début :
1·1351+0·1064=1351
0·1351+1·1064=1064
Le premier reste est 287=1351-1064. Donc aussi
287=1351-1064= [1·1351+0·1064]-[0·1351+1·1064] =
= (1-0)·1351+ (0-1)·1064.
D"où une ligne de plus
1·1351+0·1064=1351
0·1351+1·1064=1064
1·1351+ (-1)·1064=28727 octobre 2015 12 / 33
Le deuxième reste est 203=1064-3·287 donc aussi
203=1064-3·287
= [0·1351+1·1064] +( -3)·[1·1351+ (-1)·1064] = (0-3)·1351+ (1+ (-3)(-1))·1064 = (-3)·1351+ (4)·1064
Et une autre ligne s"est ajoutée :
1·1351+0·1064=1351
0·1351+1·1064=1064
1·1351+ (-1)·1064=287
(-3)·1351+ (4)·1064=203
Et on répète.
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On a
1·1351+0·1064=1351
0·1351+1·1064=1064
1·1351+ (-1)·1064=287
(-3)·1351+ (4)·1064=203 (4)·1351+ (-5)·1064=84 (-11)·1351+ (14)·1064=35 (26)·1351+ (-33)·1064=14 (-63)·1351+ (80)·1064=7 La dernière ligne donne nos deux réponses, le pgcd et la combin aison
Z-linéaire.27 octobre 2015 14 / 33
Je vois cet algorithme (appelél"algorithme de Bézout) comme l"algorithme d"Euclide renfo rcép arde l"administration
La partie à la
droite du =est la suite des restes, pour calculer le pgcd(n,m)avec l"algorithme d"Euclide.
La partie à la
gauche du =commence par deux combinaisons triviales Z-linéaire denetm. Puis , ce qu"on fait à droit pour obtenir le prochain reste, on fait aussi à gauche pour maintenir l"administration. Cet algorithme de Bézout/Euclide donne une preuve constructive du théorème de Bézout :
27 octobre 2015 15 / 33
Théorème (Bézout)
Soient n,m deux entiers avec d=pgcd(n,m).
Alors il existe deux entiers s,t tel que sn+tm=d.Démonstration. Sim=0, alors 1·n+0·m=d, sin≥0 et-1·n+0·m=d, sin<0.
Et le résultat est vrai.
Sans perte de généralité on peut supposer quenetmsont des nombres naturels etm>0. Puis l"algorithme de Bézout fonctionne pour calculer telssett. On peut aussi utiliser l"induction pour montrer ce théorème.
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Une variation.
Théorème
Soient a,b,c trois entiers. Posons d=pgcd(a,b).
Considérons l"équation
ax+by=c. Il est possible de résoudre cette équation avec des entiers (c.-à-d. de trouver deux entiers x et y tel que l"équation est satisfaite) si et seulement si d |c.Et il y a un algorithme!
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Démonstration.
Supposons des entiersx,yexistent tels queax+by=c. On ad|aetd|b donc aussid|(ax+by)et nécessairementd|c.
Par contre
si d|c, il existen?Ztel quec=dn. Par le théorème de Bézout ils existents,ttels qued=as+btdoncc=dn=a(sn) +b(tn). Et on voit que le pairx=snety=tnforme une solution de l"équation.27 octobre 2015 18 / 33
Par exemple :
L"équation 1351x+1064y=29 n"a pas de solution entière, car pgcd(1064,1351) =7 ne divise pas 29. L"équation 1351x+1064y=21 a une solution entière, car pgcd(1064,1351) =7 divise 21.
Trouver une solution.
27 octobre 2015 19 / 33
Heureusement nous savons déjà obtenu :
(-63)·1351+80·1064=7, donc (-63·3)·1351+ (80·3)·1064=7·3=21, et
1351·(-189)+ 1064·240=21
Donc la couplex=-189 ety=240 estune solution.
Autres
solution s?
27 octobre 2015 20 / 33
On a 1351=7·193 et 1064=7·152, donc
152·1351=152·7·193=1064·193
Pour chaque entierh?Zle couplex=-189+h·152 et
y=240-h·193 est aussi une solution : (-189+h·152)·1351+(240-h·193)·1064= (-189)·1351+(240)·1064=21,
Par exemple,h=1 donne :x=-37 ety=47, et en effet
1351·(-37) +1064·47=-49987+50008=21.
Cette méthode fonctionne généralement pour trouver autres solutions.
27 octobre 2015 21 / 33
Le théorème de Bézout a des corollaires utiles.
Théorème
(i) Soient a,b,c trois entiers tels que a|bc etpgcd(a,b) =1. Alors a|c. (ii) Soit p un nombre p remier tel que p |bc. Alors p|b ou p|c.Mais 6|(2·3)et 6? |2 et 6? |3 (6 n"est pas premier).Corollaire Si p est un nombre premier tel que p|(n1n2...ns). Alors il existe un i tel que p|ni.27 octobre 2015 22 / 33
Démonstration.
(i) Hypothèse pgcd(a,b) =1 : il existe entierss,ttels quesa+tb=1 par
Bézout, et donc
sac+tbc=c
Hypothèsea|bc: il existeutel queau=bc. Donc
c=sac+tau= (sc+tu)a ou a|c (ii) Si le nombre premierpne divise pasbalorspgcd(p,b) =1. Donc l"hypothése de (i) est satisfaite et on peut conclure.
27 octobre 2015 23 / 33
Déjà montré :
Théorème
Pour chaque nombre naturel n>1il existe un entier s≥1et des nombres premiers p
1, p2,...,pstels que
n=p1p2...ps, et p
Théorème
Soit n>1un nombre naturel. Si
n=p1p2...ps =q1q2...qt où p Alors s=t et p1=q1, p2=q2,...,ps=qs.27 octobre 2015 24 / 33
Démonstration.
On api|(p1p2...ps). Et sipest premier, la seule factorisation première : p=p. Le début. Pourn=2 il n"y a qu"une seule factorisation (2 est premier.) factorisation première pourmest unique. Sin+1 est premier, il y a une seule factorisation, comme déjà remarqué.
27 octobre 2015 25 / 33
(suite). Supposonsn+1 estcomp oséet n+1=p1p2...ps=q1q2...qtsont deux factorisations ordonnées. Lespietqjsont tous des nombres premiers qui divisentn. Soitp≥2 le plus petit nombre premier qui divisen. Alorsp|p1p2...ps impliquep=pipour uni. Par minimalité nécessairementp=p1. Et de même façonp=q1. Doncp1=q1. Par l"hypothèse d"induction,ma une seule factorization. C"est à dire p
2=q2,p3=q3..... Donc aussi les deux factorisations den+1
coïncident. Par induction généreuse on conclut que l"unicité de la factorisation première est vraie.
27 octobre 2015 26 / 33
Soitn>1 alors on peut aussi écrireuniquement
n=pa11pa22...pass, oùp1
Il y a une conséquence bien connue : 27 octobre 2015 27 / 33
En général, trouver une factorisation première est très laborieux. Mais si on a déjà factorisénetmon peut facilement calculer pgcd(n,m).Théorème Supposons n=pa11pa22...pass,et m=pb11pb22...pbss,où p 1 Alors pgcd(n,m) =pc11pc22...pcss, et ppcm(n,m) =pd11pd22...pdss, où c iest le minimum de{ai,bi}et diest le maximum de{ai,bi}.27 octobre 2015 28 / 33 Corollaire
Soit n et m deux nombres naturels positifs. Alors
nm=pgcd(n,m)·ppcm(n,m)27 octobre 2015 29 / 33 Par exemple : On a
1064=23·71·191·1930,
1351=20·71·190·1931,
pgcd(1064,1351) =20·71·190·1930=7, ppcm(1064,1351) =23·71·191·1931=205352, 205352·7=1437464=1074·1351.27 octobre 2015 30 / 33
Exemple : Pour montrer que 193 est premier, il suffit de voir que 193 n"est pas divisible par 2,3,5,7,11,13. Ce qui est le cas.27 octobre 2015 31 / 33 Nous allons présenter la fameuse preuve par l"absurde d"Euclide du théorème suivantThéorème Il existe une infinité de nombres premiers.
27 octobre 2015 32 / 33
Démonstration.
Supposons qu"il existeseulementun nombre fini, disonsN, de nombres premiers. Soientp1,p2,p3,...,pNces nombres premiers (parmi eux se trouvent bien sûr 2, 3, 5, 7, 11.) Considérons le très grand nombre n=1+ (p1·p2·p3···pN-1·pN). Comme pour chaque nombre naturel, il existe un nombre premierpqui divisen. Ce nombre premierpse trouve nécessairement sur la liste de tous les s"écrit comme 1 plus unpi-multiple; doncpi=pne divise pasn, car il y aura un reste 1 après division parpi. AlorspdivisenETpne divise pasn. Ce qui est absurde! On conclut que l"hypothèse qu"il existe seulement un nombre fini de nombres premiers est fausse! Le théorème est donc vrai, car c"est l"opposé de cette fausse hypothèse.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques