utiliser le barycentre pour établir des alignements de points, le point de concours de droites ▷ utiliser le 2 3 Barycentre et lignes de niveau 19 2
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Construire le barycentre G des points (A,3) ; (B, –1) ; (C,2) Exercice 2 Dans le plan P, soit un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que : AB = AC = a
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1)Montrer que G est le barycentre des points ( ) 1;- E et ( )2; F 2) en déduire que les droites ( ) EF et ( ) AB se coupent et déterminer le point d'intersection
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Préciser l'ensemble alors obtenu et construisez le 5-30 : Lignes de niveau - 1 ABC est un triangle 1 Construire le barycentre G de (A,
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On appelle isobarycentre de deux points A et B, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefficient Il s'agit en fait du milieu du segment [AB]
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BARYCENTRES 1ère S Exercice 2 ABC est un triangle 1) G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3) Construire le point G Expliquer 2) G/ est le
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Calculs
barycentriquesPrenum-AC Cameroun SOH ARNOLD
cedricksoh@gmail.comOBJECTIFS ET STRUCTURATION
Objectif général
Développerchez l"apprenantdescompétences luipermettant derésoudredes problèmes d"équilibre.Objectifs spécifiques A la fin de ce cours, l"apprenant doit être capable de : Idéterminer le point d"équilibre d"un ensemble de points massifsIdéterminer les lieux géométriques
Iutiliser le barycentre pour réduire des écritures vectorielles Iutiliser le barycentre pour établir des alignements de points, le point de concours de droites Iutiliser le barycentre pour caractériser un segment de droite, une demi-droite, une droite, un plan ou un domaine du plan.Pré-requis Comme pré-requis, nous avons les notions de : vecteurs du plan, addition vectorielle, produit d"un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires, produit sca- laire, relation de Chasles, repère et coordonnées, notion de parallélisme et d"ali- gnement, point de concours.DIPES II 2013-20142Liens avec les autres parties du programme
Applications affines (translation, homothétie, etc.) Toutes les applications affines conservent le barycentre.1.Expression d"une translation à l"aide du barycentre.
SoientAetBdeux points, la transformation qui, au pointMassocie le point M0= barf(B;1);(A;1);(M;1)gest unetranslation, qui a pour vecteur!AB.
2.Expression d"une homothétie à l"aide du barycentre.
SoientCun point etkun scalaire non nul. La transformation qui au pointM associe le pointM0= barf(C;1k);(M;k)gestl"homothétiede centreCet rapportk.Nombres complexes
Affixe du barycentre d"un système de points.
Calcul vectoriel
Réduction des sommes vectorielles à partir du barycentre.Place dans le programme Les calculs barycentriques introduisent la partie géométrique en terminale C car ils sont mis en oeuvre dans presque tous les chapitres de géométrie.Introduction Ce cours est subdivisé en quatre parties dont la première est une leçon sur la notion debarycentre et ses propriétés, la deuxième une leçon sur la notion de recherche de lieux géomé-
triques, la troisième une leçon sur les applications du barycentre et la dernière est un ensemble
de plusieurs types d"exercices classés par ordre de difficultés.. Tout au long de ce coursPdésignera le plan,Vl"ensemble des vecteurs du plan,El"espace etWl"ensemble des vecteurs de l"espace.Organisation d"une leçonLes définitions, propriétés, théorèmes ou méthodes d"une leçon sont introduits par des acti-
vités. La leçon étant renforcée par beaucoup d"exemples et des exercices d"application.PRENUM-AC3
Sommaire
Historique5
1 Barycentre
61.1 Définition du barycentre
61.2 Caractéristiques du barycentre
112 Recherche des lieux géométriques
162.1 Droite, segment et barycentre
162.2 Barycentre, plan et triangle
172.3 Barycentre et lignes de niveau
193 Autres applications du barycentre
253.1 Alignement des points
253.2 Concours et parallélisme
264 Exercices
294.1 Exercices de synthèse
294.2 Exercices de recherche
32Bibliographie et Webographie
40ANNEXE
41 DIPES II 2013-20144
Historique
Notion purement physique à l"origine, le barycentre a évolué progressivement et se présente de nos jours comme un instrument fondamental en mathématiques. Le barycentre qui vient du grecbarus(lourd, pesant) et decentre, est initialement le centre des poids. Il s"agitdonc à l"origine d"une notion mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que
centre des poids, que l"on appelle aujourd"hui centre de gravité, est le mathématicien-physicien
Archimède (287212avant J.-C.). Il a écrit dans son traité sur le centre de gravité des surfaces
planes : " Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps
physicien allemand, généralise les travaux d"Archimède : en 1827, il envisage le barycentrede plus de deux points et définit le calcul barycentrique. Cependant, on considère Archimède
comme le père du calcul barycentrique. En effet, il a mis au point une machine sur le principe du levier pour lancer à lui seul un grand vaisseau à la mer.DIPES II 2013-20145Sommaire
1.1 Définition du barycentre
61.2 Caractéristiques du barycentre
11 1Barycentre
Notion de point pondéré: soitAun point du plan (ou de l"espace) etaun nombre réel, le couple(A;a)est appelé point pondéré. Dans ce casaest appelé coefficient (ou masse) deA. Motivation: une balance est constituée d"une masseM= 3Kget d"un plateau fixés auxextrémités d"une tige. Pour peser une massem, le vendeur place, à une position précise, un cro-
chet sur la tige. Cette balance a l"avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses.M mAB 1. On donne m= 2Kg, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre? 2.Le point Gest tel que!AG=14
!AB. Quelle est la massempesée?1.1. Définition du barycentre Nous avons vu en physique, dans les classes précédentes que le centre de gravité d"un corpsest le point par lequel ce corps tient en équilibre. Le barycentre est une généralisation de la
notion de centre de gravité dans le domaine des mathématiques.DIPES II 2013-20146Considérons
(Ai;i)1inun système denpoints pondérés etMun point quelconque.
1.Montrer que
nP i=1 i!MAi=!0, nP i=1 i!A1M=nP i=2 i!A1Ai. 2. En déduire l"ensembl edes points MvérifiantnP i=1 i!MAi=!0. (On distinguera deux cas : nP i=1 i= 0etnP i=1 i6= 0).Activité 1. 1(le but de cette activité est la définition du barycentre)Solution: 1.On a :
n X i=1 i!MAi=nX i=1 i(!MA1+!A1Ai) nX i=1 i!MA1+nX i=1 i!A1AiAinsi,
nP i=1 i!MAi=!0, nP i=1 i!A1M=nP i=2 i!A1Ai 2.Distinguons les cas sui vants:
1 erCas:nP i=1 i= 0.On déduit de la question1quenP
i=1 i!MAi=!0,nP i=2 i!A1Ai=!0et tous les pointsMde l"espace (ou du plan) vérifient cette égalité. Donc l"ensemble cherché est l"espace (ou le plan). 2 eCas :nP i=1 i6= 0. P i=1 i nP i=2 i!A1Ai et on conclut que l"ensemble des points cherché est le singletonfGgtel que : !A1G=1n P i=1 i nP i=2 i!A1Ai .PRENUM-AC7 Soit (Ai;i)1inun système denpoints pondérés etMun point quelconque.
1.On suppose que
nP i=2 i6= 0.Montrer que
nP i=1 i!MAi= nP i=1 i!MGoùGest tel quenP i=1 i!GAi=!0. 2.On suppose que
nP i=1 i= 0.Montrer que le vecteur
nP i=1i!MAiest indépendant deM.Activité 1. 2(Le but de cette activité est de savoir réduire une relation vectorielle)Solution:
SoitMun point quelconque.
1)Supposons quenP
i=1 i6= 0, on a : n X i=1 i!MAi=nX i=1 i(!MG+!GAi) nX i=1 i!MG+nX i=1 i!GAi nX i=1 i!MGcarnX i=1 i!GAi=!02)Supposons quenP
i=1 i= 0, on a : n X i=1 i!MAi=nX i=1 i!MA1+!MAi nX i=1 i!MA1+nX i=2 i!A1Ai nX i=2 i!A1AicarnX i=1 i= 0:D"où
nP i=1 i!MAi=nP i=2 i!A1Aiqui est un vecteur indépendant deM.PRENUM-AC8Etant donnénpoints pondérés
(Ai;i)1intel quenP
i=1 i6= 0.On appellebarycentredes points pondérés
(Ai;i)1inle pointGtel que :
n P i=1 i!GAi=!0ou de manière équivalente!A1G=1n P i=1 i nP i=2 i!A1AiOn note :G=barA
1A 2:::A n 1 2::: nouG=barf(A1;1);(A2;2);:::;(An;n)g.Définition 1. 1Remarques:
Le barycentre d"un système de points pondérés e xistelorsque la som medes coef ficients de ces points est non nulle.Le barycentre lorsqu" ile xisteest unique. Soit(Ai;i)1inun système de n points pondérés. Pour tout pointM, on a :
(i)SinP i=1 i6= 0, alorsnP i=1 i!MAi= nP i=1 i!MGoùGest barycentre des(Ai;i). (ii)SinP i=1 i= 0, alors le vecteurnP i=1i!MAiest indépendant deM.Théorème 1. 1(théorème de réduction d"une somme vectorielle)On appelleisobarycentredes pointsA1;A2;:::;An, le barycentre de ces points tous
affectés d"un même coefficient non nul.Définition 1. 2Remarques:
Soit2R, le milieuId"un segment [AB] est en fait le barycentre de(A;)et(B;)ou de manière équivalente l"isobarycentre deAetB. L"isobarycentre de trois points non alignésA,BetCest le centre de gravité du triangle ABC.Exemple 1. 1.:
SoitA,BetCtrois points non alignés.PRENUM-AC9
1.Dans chacun des cas s uivants,justifier que le point Gdéfini par l"égalité vectorielle don-
née est le barycentre d"un système de points pondérés que l"on précisera : a) 2!GA+ 3!GB=!0b)!AG+15 !AC=!GB 2. Construire ,s"ils e xistent,les barycentres des systèmes de points pondérés sui vants: a)f(A;2);(B;5)gb)n A;23 B;14 C;512 o c)f(A;2);(B;5);(C;1)gSolution :
1. (a) On a : 2!GA+ 3!GB=!0et par définition deGon peut conclure queG=barf(A;2);(B;3)g.
(b)Sachant que
!AG+15 !AC=!GB, par la relation de Chasles, on a : !AG+15 !AG+15 !GC=!GB, donc,65 !AG+!BG15 !CG=!0.D"oùG=barf(A;6);(B;5);(C;1)g.
2. (a) On a : 2 + 5 = 3et3est non nul, doncG=f(A;2);(B;5)gexiste et!AG= 53!AB; sa construction est :ABG
ACBG(b)On a :
2314 512
= 0donc ce système n"admet pas de barycentre. (c) On a : 2 + 5 + 1 = 46= 0, doncG=f(A;2);(B;5);(C;1)gexiste et !AG=54 !AB+14 !AC; sa construction est :AAG ACBG