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[PDF] Les 3 formes dun système linéaire

Base de Ker(f) Théorème Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f ) est un sous espace vectoriel de Rm Preuve Il faut vérifier que pour tout u,v 

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Puisque f = 0, on a dim Im f = 1 et, d'apr`es le théor`eme du rang, dim Ker f = n − 1 Soit E un espace vectoriel de dimension n et {e1, ,en} une base de E La 

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( 1, 2) la base canonique de ℝ2 1 Montrer que est une application linéaire 2 Donner une base et la dimension de ker( ) et une base et la 

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Comme u est non nul, il est donc libre dans R3 : (u) est une base de Kerf et on en déduit que : dim (Kerf)=1 2 Quel est le rang de f (i e la dimension de Imf)?

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consid`ere f l'application linéaire de E vers E de matrice dans la base B : Pour démontrer que ker f et Imf sont supplémentaires, il suffit de montrer que ker f 

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Trouver une base du noyau de f := (x,y,z) ↦→ (x − y + z,−x + y − z) Page 8 Dimension d'un noyau : exemple Exo corrigé

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dim4 − dim Ker f = 4 − 2 = 2 Donc le rang de f est 2 • Deuxième méthode On calcule d'abord l'image On note (e1,e2,e3,e4) la base canonique de 4

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Déterminer une base de Ker(f − Id) et de Ker(f − 2Id) 2 En déduire une base de R3 dans laquelle la matrice B de f est diagonale 3 Calculer Bn puis An pour  

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Méthode 3: Si on peut prouver que f est surjective alors Imf = F En dimension finie, connaître Ker f f permet de connaître dim Im f en appliquant le théorème du

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Définition (Matrice d'une application linéaire dans des bases finies) Coordonnées de u(ej) dans e3 /∈ Ker f , donc est une base de E car : dim E = 3 En outre 

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Les 3 formes d"un système linéaire

1. d"un système d"équations

2 . de produit matricielA~x=~b, ou bien, en représentantApar ses colonnes ~v1~vm)0 B @x 1... x m1 C A=0 B @b 1... b n1 C A:

3. de combinaison linéaire :

x

1~v1+x2~v2++xm~vm=~b:

Interprétation du point 2

: Etant donner une matrice A, on considère l"application linéairef:0 B @x 1... x m1 C A7!A0 B @x 1... x m1 C

A:Résoudre le

systèmeA~x=~brevient à déterminer les antécédents de~bparf. §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

~u;~v2Ker(f)et tout2R, u+~v2Ker(f)et~u2Ker(f). Ou bienf(~u) =~0=f(~v)implique f(~u+~v) =~0etf(~u) =~0.On cherche à trouver une base pour Ker(f). Dans l"exemple ci-dessus :Ker(f) =fx y jx+y=0g=fy y jy2Rg= fy1 1 jy2Rg=h1 1 i. Donc une base est1 1 .Exercice.SiKer(f)est de la formef0 @2a b+a ba1 A ja;b2Rg.

Déterminer une base.

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

~u;~v2Ker(f)et tout2R, u+~v2Ker(f)et~u2Ker(f). Ou bienf(~u) =~0=f(~v)implique f(~u+~v) =~0etf(~u) =~0.On cherche à trouver une base pour Ker(f). Dans l"exemple ci-dessus :Ker(f) =fx y jx+y=0g=fy y jy2Rg= fy1 1 jy2Rg=h1 1 i. Donc une base est1 1 .Exercice.SiKer(f)est de la formef0 @2a b+a ba1 A ja;b2Rg.

Déterminer une base.

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

~u;~v2Ker(f)et tout2R, u+~v2Ker(f)et~u2Ker(f). Ou bienf(~u) =~0=f(~v)implique f(~u+~v) =~0etf(~u) =~0.On cherche à trouver une base pour Ker(f). Dans l"exemple ci-dessus :Ker(f) =fx y jx+y=0g=fy y jy2Rg= fy1 1 jy2Rg=h1 1 i. Donc une base est1 1 .Exercice.SiKer(f)est de la formef0 @2a b+a ba1 A ja;b2Rg.

Déterminer une base.

Image DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme x=0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x=f(~x):L"imagede f, noté parIm(f), est l"ensemble Im(f) =ff(~x)j~x2RmgThéorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, et estIm(f) =h~u1;;~umi, où~uj est la j-ième colonne deA.Preuve. CarIm(f) =hf(~e1);;f(~em)ietf(~ej) =~uj, j=1;m.Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAenbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Image DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme x=0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x=f(~x):L"imagede f, noté parIm(f), est l"ensemble Im(f) =ff(~x)j~x2RmgThéorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, et estIm(f) =h~u1;;~umi, où~uj est la j-ième colonne deA.Preuve. CarIm(f) =hf(~e1);;f(~em)ietf(~ej) =~uj, j=1;m.Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAenbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Image DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme x=0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x=f(~x):L"imagede f, noté parIm(f), est l"ensemble Im(f) =ff(~x)j~x2RmgThéorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, et estIm(f) =h~u1;;~umi, où~uj est la j-ième colonne deA.Preuve. CarIm(f) =hf(~e1);;f(~em)ietf(~ej) =~uj, j=1;m.Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAenbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Image DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme x=0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x=f(~x):L"imagede f, noté parIm(f), est l"ensemble Im(f) =ff(~x)j~x2RmgThéorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, et estIm(f) =h~u1;;~umi, où~uj est la j-ième colonne deA.Preuve. CarIm(f) =hf(~e1);;f(~em)ietf(~ej) =~uj, j=1;m.Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAenbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Image DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme x=0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x=f(~x):L"imagede f, noté parIm(f), est l"ensemble Im(f) =ff(~x)j~x2RmgThéorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, et estIm(f) =h~u1;;~umi, où~uj est la j-ième colonne deA.Preuve. CarIm(f) =hf(~e1);;f(~em)ietf(~ej) =~uj, j=1;m.Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAenbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Exemple

Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAonbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Exemple.Soitfx

y =1 1 2 2 x y . DéterminerIm(f)ainsi qu"une base.Solution.Im(f) =h1 2 ;1 2 i, une base esth1 2 i. Donc on a aussiIm(f) =h1 2 i.

Exemple

Comment trouver une base deIm(f)? On échelonneAonbA, on repère les colonnes pivotales, alors les colonnes correspondantes de

Aforment une base deIm(f).

Exemple.Soitfx

y =1 1 2 2 x y . DéterminerIm(f)ainsi qu"une base.Solution.Im(f) =h1 2 ;1 2 i, une base esth1 2 i. Donc on a aussiIm(f) =h1 2 i.

§5.3 Matrice et Rang def

Pourf:x

y 7!0 @x 3xy x+2y1 A =Ax y , avecA=0 @1 0 31
1 21 A

On dit aussi queAest la matrice defdans la base canonique.On appelle lerang de f, l"entier suivant (les définitions donnent le

même résultat)

1. Le rang de la matriceA(ou bien le nombre de pivots)

2. La dimension deIm(f)

3. Le nombre de vecteurs dans une base deIm(f).Théorème du rangSoitf:Rn!Rmlinéaire. Alors

dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =n=le nombre de col. de A: Preuve.dim(Ker(f)) =le nombre de colonnes NON pivotales dim(Im(f)) =le nombre de colonnes pivotales.

§5.3 Matrice et Rang def

Pourf:x

y 7!0 @x 3xy x+2y1 A =Ax y , avecA=0 @1 0 31
1 21 A

On dit aussi queAest la matrice defdans la base canonique.On appelle lerang de f, l"entier suivant (les définitions donnent le

même résultat)

1. Le rang de la matriceA(ou bien le nombre de pivots)

2. La dimension deIm(f)

3. Le nombre de vecteurs dans une base deIm(f).Théorème du rangSoitf:Rn!Rmlinéaire. Alors

dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =n=le nombre de col. de A: Preuve.dim(Ker(f)) =le nombre de colonnes NON pivotales dim(Im(f)) =le nombre de colonnes pivotales.

§5.3 Matrice et Rang def

Pourf:x

y 7!0 @x 3xy x+2y1 A =Ax y , avecA=0 @1 0 31
1 21 A

On dit aussi queAest la matrice defdans la base canonique.On appelle lerang de f, l"entier suivant (les définitions donnent le

même résultat)

1. Le rang de la matriceA(ou bien le nombre de pivots)

2. La dimension deIm(f)

3. Le nombre de vecteurs dans une base deIm(f).Théorème du rangSoitf:Rn!Rmlinéaire. Alors

dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =n=le nombre de col. de A: Preuve.dim(Ker(f)) =le nombre de colonnes NON pivotales dim(Im(f)) =le nombre de colonnes pivotales.

§5.3 Matrice et Rang def

Pourf:x

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