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Base de Ker(f) Théorème Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f ) est un sous espace vectoriel de Rm Preuve Il faut vérifier que pour tout u,v 



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Puisque f = 0, on a dim Im f = 1 et, d'apr`es le théor`eme du rang, dim Ker f = n − 1 Soit E un espace vectoriel de dimension n et {e1, ,en} une base de E La 



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( 1, 2) la base canonique de ℝ2 1 Montrer que est une application linéaire 2 Donner une base et la dimension de ker( ) et une base et la 



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Comme u est non nul, il est donc libre dans R3 : (u) est une base de Kerf et on en déduit que : dim (Kerf)=1 2 Quel est le rang de f (i e la dimension de Imf)?



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consid`ere f l'application linéaire de E vers E de matrice dans la base B : Pour démontrer que ker f et Imf sont supplémentaires, il suffit de montrer que ker f 



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Définition (Matrice d'une application linéaire dans des bases finies) Coordonnées de u(ej) dans e3 /∈ Ker f , donc est une base de E car : dim E = 3 En outre 

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