C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de Définition Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf , est de sa matrice
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On a alors que Imf = V ect(U, V ), avec (U, V ) libre : c'est ainsi une base de Imf Imf = V Ecrivons la matrice de passage P de la base B à la base B P = PB B =
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C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de Définition Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf , est de sa matrice
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Quelle est la matrice de f dans cette base ? 4) Montrer que kerf et Imf sont des sous-espaces supplémentaires de E Exercice 4 – Posons e1 = (1,2)
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Interprétation du point 2 : Etant donner une matrice A, on considère l'application linéaire On cherche à trouver une base pour Ker(f) Dans l'exemple ci-dessus
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F = (e1,e2, ,en) alors Imf = Vect(f(e1),f(e2), f(en)) En particulier si A est une matrice représentative de f, Im f est engendré par les colonnes de A
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Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps On suppose que l' espace vectoriel E est de dimension finie n et que (e1, ,en) est une base de
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Déterminer Imf et kerf Exercice 23 15 Soit A = 0 1 0 2 −1 −2 −1 1 1 et f l' endomorphisme de R3 de matrice A dans la base canonique B1 de
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Les vecteurs f(ϵp+1), ,f(ϵn) définissent donc bien une base de Imf qui est donc de Définition 2 La matrice de l'application linéaire f par rapport aux bases
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(4) Donner une base de Ker f (5) Calculer le rang de f et donner une base de Imf (6) Calculer la matrice de f dans la base B Exercice 2 : Dans R3 muni de sa
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Noyau et image des applications lineaires
DedouNovembre 2011
Noyau d'une application lineaire : denition
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son noyau, noteKerfest l'ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:=fv2Ejf(v) = 0g:Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y;0) deR3sur son plan horizontal est l'axe vertical deni parx=y= 0.Nature du noyau d'une application lineaire
Proposition
Le noyau d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ca se prouve... trop facile!Noyau et systeme lineaire homogene : exemple
Exemple
Le noyau def:= (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z) est l'ensemble des solutions du systeme3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0:Le m^eme dans l'autre sens
L'ensemble des solutions du systeme
3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l'application lineaire (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z).Noyau d'une application lineaire : exercice
Exo 1 a) Exprimez le noyau def:= (x;y;z;t)7!(3x+ 7zt;2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l'ensemble des solutions du systeme 8< :3x+ 4t= 0 yzt= 02x+y+zt= 0
comme noyau.Base d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).Base d'un noyau : exercice
Exo 2Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z)7!(xy+z;x+yz).Dimension d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de
depart diminue du rang de la matrice.Base d'un noyau : exercice
Exo 3Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(xy+z+t;x+yz+t;t).Rappel : image d'une application
Rappel(?)
L'image d'une applicationf:R2!R3(par exemple) c'est l'ensemble des imagesImf:=ff(v)jv2R2g
ou encoreImf:=fw2R3j9v2R2;w=f(v)g:
Image d'une application lineaire
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son image, noteeImf, est donc l'ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv2E:Imf:=ff(v)jv2Eg:Exemple
L'image de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y) deR3sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d'equationz= 0.Nature de l'image d'une application lineaire
Proposition
L'image d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deF.Et ca se prouve... trop facile! Image d'une application lineaire et colonnes de sa matriceExemple
L'application lineairef:= (x;y;z)7!(3x+5y+7z;2x+4y+6z) s'ecrit aussi f:= (x;y;z)7!x3 2 +y5 4 +z7 6 Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l'image defsont exactement les combinaisons lineaires du systeme de trois vecteurs ((3;2);(5;4);(7;6)) :Im(x;y;z)7!3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z
=<3 2 ;5 4 ;7 6 > :Moralite L'image defest le sous-espace vectoriel engendre par les colonnes de sa matrice.Image d'une application lineaire : exemple
Exo corrige
Donnez des generateurs de l'image de
(x;y)7!(3x+ 7y;2y;xy).Image d'une application lineaire : exo
Exo 4Donnez des generateurs de l'image de
(x;y;z)7!(3x+ 7y;2y+z;xy;x+z). Base de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+ 2z;yz;x+ 3y).On prend les generateurs comme on sait faire, et on enleve ceux qui sont en trop.Base de l'image d'une application lineaire : exo
Exo 5Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y;yz;x+z;x+ 2yz). Equations de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y)7!(x+y;y;2xy;x+ 3y).On sait trouver des generateurs, et a partir des generateurs, on sait trouver des equations. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z). Dimension de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z).C'est le rang du systeme des colonnes de la matrice, donc c'est le
rang de la matrice. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6