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Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2

Rappel : une fonction polynˆome de degr´e 2 est une fonction d´efinie surRparf(x) =ax2+bx+caveca,b

etcr´eels eta?= 0.

1Forme canonique

La forme canonique defest de la formef(x) =a(x-α)2+β. avecα=-b2a.Exemple 1:fest d´efinie surRparf(x) =x2-6x+ 5

On a (x-3)2=x2-6x+ 9

donc f(x) = (x-3)2-9 + 5 = (x-3)2-4 (forme canonique avecα= 3 etβ=-4) On peut aussi obtenirαavec les coefficientsa,betc.

On a ici :a= 1,b=-6 etc= 9 doncα=-b2a=-(-6)2

= 3

2Calcul des coordonn´ees du sommet et tableau de variation

2.1 A partir de la formef(x) =ax2+bx+c

Coordonn´ees du sommet S :

Abscisse du sommet :xS=-b2aOrdonn´ee du sommet :yS=f(xS) =ax2S+bxS+c

Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite

d"´equationx=-b2apour axe de sym´etrie.

On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :2.2 A partir de la forme canoniquef(x) =a(x-α)2+β

Coordonn´ees du sommet S :

Abscisse du sommet :xS=α

Ordonn´ee du sommet :yS=f(xS) =β

Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite

d"´equationx=αpour axe de sym´etrie. On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :1/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2

2.3 A partir de la forme factoris´eef(x) =a(x-x1)(x-x2)

Coordonn´ees du sommet S :

L"abscisse du sommet est le milieu dex1etx2:xS=x1+x22

Ordonn´ee du sommet :yS=f(xS)

Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite

d"´equationx=αpour axe de sym´etrie.

On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :3R´esolution de l"´equationf(x) = 0M´ethode: Il faut d´eterminer en premier lieu la forme canonique defpuis utiliser si cela est possible la

troisi`eme identit´e remarquable (a2-b2= (a-b)(a+b) ) pour factoriser.

Graphiquement, les solutions de l"´equationf(x) = 0 sont les abscisses des points d"intersection de la parabole

et de l"axe des abscisses.Exemple 2f(x) =x2-6x+ 5 f(x) = (x-3)2-9 + 5 = (x-3)2-4 = (x-3-2)(x-3 + 2) = (x-5)(x-1) f(x) = 0??(x-5)(x-1) = 0??x-5 = 0 oux-1 = 0??x= 5 oux= 1 La parabole coupe l"axe des abscisses aux points de coordonn´ees (5;0) et (1;0).

On a peut alors retrouver l"abscisse du sommet S de la parabole de trois fa¸cons diff´erentes :•x

S=-b2a=-(-6)2

= 3 avec l"´ecrituref(x) =x2-6x+ 5•x S= 3 avec la forme canoniquef(x) = (x-3)2-4•x

S=5 + 12

= 3 avec la forme factoris´eef(x) = (x-5)(x-1)2/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2

4Exemples complets

Exemple 3

On donnef(x) =x2+ 8x+ 7 d´efinie surR

D´eterminer le tableau de variation def, les abscisses des points d"intersection de la parabole avec l"axe des

abscisses et en d´eduire le signe def•Coordonn´ees du sommet S : x

S=-b2a=-82

=-4 Ordonn´ee du sommetyS=f(-4) = (-4)2+ 8×(-4) + 7 =-9•Tableau de variation : Le coefficient dex2est 1 et est donc positif donc :•f(x) = 0 ??(x+ 4)2-16 + 7 = 0 ??(x+ 4)2-9 = 0 ??(x+ 4-3)(x+ 4 + 3) = 0 ??(x+ 1)(x+ 7) = 0 ??x+ 1 = 0 oux+ 7 = 0 ??x=-1 oux=-7 La parabole coupe l"axe des abscisses enx=-7 etx=-1•On a donc : •courbe 3/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2

Exemple 4

On donnef(x) =-2(x+ 2)2+ 8 d´efinie surR

D´eterminer le tableau de variation def, les abscisses des points d"intersection de la parabole avec l"axe des

abscisses et en d´eduire le signe def•Coordonn´ees du sommet S : x S=α=-2 Attention, ici on af(x) =-2(x+ 2)2+ 8 =-2(x-(-2))2+ 8 Ordonn´ee du sommetyS=β= 8•Tableau de variation : Le coefficient dex2est -2 et est donc n´egatif donc :•f(x) = 0 ?? -2(x+ 2)2+ 8 = 0 ?? -2((x+ 2)2-4) = 0 ??(x+ 2)2-4 = 0 ??(x+ 2-2)(x+ 2 + 2) = 0 ??x= 0 oux+ 4 = 0 ??x= 0 oux=-4 La parabole coupe l"axe des abscisses enx= 0 etx=-4•On a donc : 4/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2 •courbe

Exemple 5

On donnef(x) =-x2-6x-16 d´efinie surR

D´eterminer le tableau de variation def, les abscisses des points d"intersection de la parabole avec l"axe des

abscisses et en d´eduire le signe def•Coordonn´ees du sommet S : x

S=-b2a=-(-6)-2=-3

Ordonn´ee du sommetyS=f(-3) =-7•Tableau de variation : Le coefficient dex2est -2 et est donc n´egatif donc :•f(x) = 0 ?? -(x2+ 6x+ 16) = 05/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2