[PDF] [PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

⃗⃗⃗⃗ ) est une base de si et seulement si tout vecteur Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 : Théorème de la base incomplète

[PDF] Dimension des espaces vectoriels - Normale Sup

20 avr 2013 · Toute famille génératrice de n vecteurs est une base Démonstration En effet, une famille libre peut, d'après le théorème de la base incomplète 

[PDF] Les espaces vectoriels

Démonstration : la condition nécessaire est évidente d'apr`es la définition de sous espace vectoriel Théor`eme 40 – Théor`eme de la base incompl`ete

[PDF] Dimension dun espace vectoriel - Maths-francefr

2) Il existe une base B de E qui est une sur-famille de L (théorème de la base incomplète) 3) L est une base de E si et seulement si card(L) = n Démonstration

[PDF] Dimension des espaces vectoriels - AC Nancy Metz

familles libres, génératrices et bases vues dans Rn () Dimension Démonstration 1 Soit (u1,u2 d'apr`es le théor`eme de la base incompl`ete On en déduit 

[PDF] 3 Familles génératrices, libres, bases

1 fév 2017 · b) si e1, , ek ∈ E, on dit que la famille {e1, , ek} est une base de E si elle est libre et Démonstration : Sinon, pour tout j, ej ∈ 〈f1, , fp-1〉 Théorème 4 2 (de la base incomplète) Soit {e1, , eq} une famille gé-

[PDF] Espaces vectoriels - Licence de mathématiques Lyon 1

par montrer dans la démonstration du lemme de Steinitz) Théorème 2 16 La méthode utilisée dans la preuve du théorème de la base incomplète se

[PDF] Matrice et application linéaire - Exo7 - Cours de mathématiques

Pour simplifier l'écriture de la démonstration du deuxième point, montrons que D'après le théorème de la base incomplète, il existe n − p vecteurs εp+1, ,εn 

[PDF] Espaces vectoriels

1 déc 2014 · Démonstration : Soit (b1, ,bk) une base de F Le théorème de la base incomplète affirme qu'il existe des vecteurs c1, ,cn−k tels que :

[PDF] montrer que 3 vecteurs forment une base

[PDF] espace vectoriel de dimension finie exercices corrigés

[PDF] base d'un espace vectoriel de dimension finie

[PDF] trouver une base d'un espace vectoriel

[PDF] base et dimension d'un espace vectoriel

[PDF] comment trouver une base

[PDF] espace vectoriel base exercices corrigés

[PDF] base d'un espace vectoriel

[PDF] montrer qu'une famille est une base

[PDF] forme quadratique exo7

[PDF] forme quadratique cours

[PDF] forme bilinéaire et forme quadratique

[PDF] forme quadratique exercice corrigé

[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive

[PDF] forme quadratique matrice

1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

Chapitre IV

vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs

Dans ce chapitre ܧ

I Familles libres, génératrices, bases

1. Définitions

Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire

- Une famille (une collection) ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ ॶ-ev ܧ

existe des nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

On dit aussi que les vecteurs ݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦ sont linéairement dépendants.

- Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.

࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ est libre signifie que si ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

ߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ௡ݒ௡ሬሬሬሬԦൌͲሬԦ, alors on a forcément ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ

Définition de famille génératrice

࣠ de ܧ est génératrice de ܧ si ܧൌܸ݁ܿݐሺ࣠), i.e. tout vecteur ݑሬԦ de ܧ

Définition de base

Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ

2. Bases et coordonnées

Proposition : La famille ܤൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ est une base de ܧ

ݒԦ de ܧ ݒపሬሬሬԦܤא Les nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

Démonstration :

(֚) : ܤ est génératrice par hypothèse. ܤ

Soient ߣ௜אॶ tels que ߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

On a aussi ͲሬԦൌͲൈݒଵሬሬሬሬԦ൅ͲൈݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ

Par unicité de la décomposition de ͲሬԦ, on a ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ

ܤ est donc libre, et génératrice de ܧܧ (֜) : Par hypothèse, ܤ est une base de ܧൌ génératrice de ܧ

Soit ݒԦܧא

ܤ génératrice ֜ݒԦൌߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

Si on a aussi ݒԦൌߣԢଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣԢଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

Comme ܤ est libre, on a ሺߣଵെߣᇱଵሻൌͲߣ֞ଵൌߣ

ݒԦ comme combinaison linéaire des vecteurs de ܤ

En résumé : ܤ ܤ

3. Exemples

- La base canonique de ॶ࢔ሺԹ࢔ǡԧ࢔ǥሻ

Soient ݁ଵሬሬሬԦൌሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲሻǡ݁ଶሬሬሬԦൌሺͲǡͳǡͲǡǥǡͲሻǡǥǡ݁௡ሬሬሬሬԦൌሺͲǡͲǡͲǡǥǡͳሻ des vecteurs de ॶ௡.

Démonstration : ݒԦൌሺݔଵǡݔଶǡǥǡݔ௡ሻא

On a vu que ݒԦൌݔଵ݁ଵሬሬሬԦ൅ݔଶ݁ଶሬሬሬԦ൅ڮ൅ݔ௡݁௡ሬሬሬሬԦ ܤ֜

De plus, ݒԦൌݔԢଵ݁ଵሬሬሬԦ൅ݔԢଶ݁ଶሬሬሬԦ൅ڮ൅ݔԢ௡݁௡ሬሬሬሬԦ֞

Finalement, ܤ est génératrice de ॶ௡ et est libre. ܤ

Définition : La base ܤ

composantes ݔ௜ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.

-Famille libre de Թ࢔Ǥ Toute famille libre ࣠ de Թ௡ est une base de ܤൌܸ݁ܿ

Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ௡ forment une base du plan engendré par ces

deux vecteurs.

3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

- Թ૜ défini par une équation On a ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲא Les deux vecteurs ݒԦଵൌሺͳǡͲǡെ௔ ௖ሻ et ݒԦଶൌሺͲǡͳǡെ௕ ௖ሻ engendrent donc ܲ vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲ une base de ܲ. Les coordonnées de ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲא

Remarque

vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, lequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2