[PDF]

[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

⃗⃗⃗⃗ ) est une base de si et seulement si tout vecteur vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de , c'est-à-dire une base de va montrer que > implique que ℱ est liée

[PDF] Espaces vectoriels - Licence de mathématiques Lyon 1

une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants ( 1, 2, 3, 4) 1°) Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ 3 Comme 4 et 5 ne sont pas colinéaires, ils forment une base de ( 4 

[PDF] Étudier si une famille est une base - Annette Paugam

si on sait le faire, calculer le déterminant de cette famille de vecteurs Etudier un syst`eme linéaire Pour démontrer que la famille est libre dans le cas o`u E est 

[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice

de Rn s'exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système Comment répondre : Est-ce que v1,··· ,vm forment une famille génératrice?

[PDF] Espaces vectoriels de dimension finie

Montrer qu'une famille est génératrice revient à montrer qu'un système a des solutions qu'une famille Système qui a pour forme matricielle : La matrice Toute famille contenant deux vecteurs colinéaires n'est pas une base Toute famille 

[PDF] Feuille dexercices 6 : Familles libres, génératrices Applications

base B Exercice 9 (*) Soit F = {x1, ,xn} une famille de n vecteurs de Rn On forme A la matrice carrée dont les vecteurs colonnes sont x1, ,xn Montrer que les 

[PDF] Tomasz Miernowsky

iv) Soit 1u1,u2,u3,u4l une famille libre de vecteurs de E Montrer que la sous- famille 1u1,u2,u3l est une base de Vect(u1,u2,u3,u4) forme une base de R 4

[PDF] Chapitre 4 Espaces vectoriels - Cours

Montrons que (1, 2), (3, 4) forment une base de R2 Notons V la matrice dont les colonnes sont les deux vecteurs Cette matrice est 2 × 2 (i) Pour montrer que (1,  

[PDF] 1 Systèmes 2 Systèmes générateurs 3 Systèmes libres

Un système de vecteurs de E est une base s'il est à la fois libre et générateur ( 3) Montrer que les polynômes P0 = 1, P1 = x et P2 = x2 forment une base

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦19Espaces vectoriels de dimension finie

1 Base

Exercice 1Montrer que les vecteurs{(

(1 1 1) (-1 1 0) (1 0 -1) }forment une base deR3. Calcu- ler les coordonn´ees respectives des vecteurs (1 0 0) (1 0 1) (0 0 1) dans cette base. Exercice 21. Montrer que les vecteursx1= (0,1,1),x2= (1,0,1) etx3= (1,1,0) forment une base deR3. Trouver dans cette base les composantes du vecteurx= (1,1,1).

2. Donner, dansR3, un exemple de famille libre, qui n"est pas g´en´eratrice.

3. Donner, dansR3, un exemple de famille g´en´eratrice, mais qui n"est pas libre.

Exercice 3Vrai ou faux? On d´esigne parEunR-espace vectoriel de dimension finie.

1. Si les vecteursx,y,zsont deux `a deux non colin´eaires, alors la famillex,y,zest libre.

2. Soitx1,x2,...,xpune famille de vecteurs. Si aucun n"est une combinaison lin´eaire des

autres, la famille est libre. Exercice 4DansR3, les vecteurs suivants forment-ils une base? Sinon d´ecrire le sous-espace qu"ils engendrent.

1.v1= (1,1,1),v2= (3,0,-1),v3= (-1,1,-1).

2.v1= (1,2,3),v2= (3,0,-1),v3= (1,8,13).

3.v1= (1,2,-3),v2= (1,0,-1),v3= (1,10,-11).

Exercice 51. Montrer qu"on peut ´ecrire le polynˆomeF= 3X-X2+ 8X3sous la forme F=a+b(1-X) +c(X-X2) +d(X2-X3) (calculera,b,c,dr´eels), et aussi sous la formeF=α+β(1+X)+γ(1+X+X2)+δ(1+X+X2+X3) (calculerα,β,γ,δr´eels).

2. SoitP3l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e?3. V´erifier que les ensembles suivants

sont des bases deP3:B1={1,X,X2,X3},B2={1,1-X,X-X2,X2-X3},B3= {1,1 +X,1 +X+X2,1 +X+X2+X3}. Exercice 6D´eterminer pour quelles valeurs det?Rles vecteurs( (1 0 t) (1 1 t) (t 0 1) forment une base deR3.

Exercice 7

1. Montrer que les vecteursw1= (1,-1,i),w2= (-1,i,1),w3= (i,1,-1) forment une base

deC3.

2. Calculer les composantes dew= (1 +i,1-i,i) dans cette base.

1

2 Dimension

Exercice 8SiEest un espace vectoriel de dimension finie,FetGdeux sous-espaces deE, montrer que : dim(F+G) = dim(F) + dim(G)-dim(F∩G). Exercice 9Montrer que tout sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. Exercice 10On consid`ere, dansR4, les vecteurs :e1=( ((1 2 3 4) )),e2=( ((1 1 1 3) )),e3=( ((2 1 1 1) )),e4= ((-1 0 -1 2) )),e5=( ((2 3 0 1) SoientEl"espace vectoriel engendr´e pare1,e2,e3etFcelui engendr´e pare4,e5. Calculer les dimensions respectives deE ,F , E∩F ,E+F. Exercice 11SoientEetFde dimensions finies etu,v? L(E,F).

1. Montrer que rg(u+v)?rg(u) + rg(v).

2. En d´eduire que|rg(u)-rg(v)|?rg(u+v).

2

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦19Espaces vectoriels de dimension finie

Indication 31. Faux.

2. Vrai.

Indication 8Partir d"une base deF∩Get compl´eter cette base

Indication 9On peut utiliser des familles libres.

1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦19Espaces vectoriels de dimension finie

Correction 1det(

(1-1 1 1 1 0

1 0-1)

= 3?= 0 donc la familleB={( (1 1 1) (-1 1 0) (1 0 -1) }est une base deR3.( (1 0 0) =13 (1 1 1) -13 (-1 1 0) +13 (1 0 -1) . Ses coordonn´ees dansBsont donc (1/3,-1/3,1/3). (0 0 1) =13 (1 1 1) -13 (-1 1 0) -23 (1 0 -1) . Ses coordonn´ees dansBsont donc (1/3,-1/3,-2/3). (1 0 1) (1 0 0) (0 0 1) . Donc ses coordonn´ees dansBsont (2/3,-2/3,-1/3).

Correction 21. Le vecteurx=12

x1+12 x2+12 x3. Donc dans la base (x1,x2,x3) le coor- donn´ees dexsont (12 ,12 ,12

2. Par exemple la famille{(1,0,0),(0,1,0)}est libre dansR3mais pas g´en´eratrice.

3. La famille{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)}est g´en´eratrice dansR3mais pas libre.

Correction 31. Faux. Par exemple dansR3,x= (1,0,0),y= (0,1,0),z= (1,1,0).

2. Vrai. Soit une combinaison lin´eaire nulleλ1x1+···λpxp= 0.Supposons qu"un des coef-

ficient est non nul : par exempleλ1?= 0. Alors on ´ecritx1=-λ2λ

1x2- ··· -λpλ

1xp.Donc

x

1est une combinaison lin´eaire de{x2,...,xp}. Ce qui contredit l"hypoth`ese de l"´enonc´e,

donc tous les coefficients sont nuls. Donc{x1,...,xp}est une famille libre.

Correction 41. C"est une base.

2. Ce n"est pas une base :v3= 4v1-v2. Donc l"espace Vect(v1,v2,v3) = Vect(v1,v2).

3. C"est une base.

Correction 51. On trouvea= 10,b=-10,c=-7,d=-8. Puisα=-3,β= 4,γ= -9,δ= 8.

2. Plus g´en´eralement on montre qu"une famille de polynˆomes{Pk}k=1,...,navec degPi=i

forme une base de l"espace vectorielPnde polynˆomes de degr´e?n.

Correction 6C"est une base pourt?=±1.

Correction 71. C"est bien une base.

1

2. On cherchea,b,c?Ctels queaw1+bw2+c3w3=w. Il s"agit donc de r´esoudre le syst`eme :

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