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Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur

?0est une combinaison linéaire des?vi?

Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur

?0est une combinaison linéaire des?vi?

La réponse est facile :

0?v1+0?v2+···+0?vm=?0!

Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur

?0est une combinaison linéaire des?vi?

La réponse est facile :

0?v1+0?v2+···+0?vm=?0!

Cette solution n"est pas très intéressante. On s"intéresseà des solutions plus intéressantes, c"est-à-dire de coefficientsnon tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des ?vi. Ceci conduit à la définition suivante :

Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur

?0est une combinaison linéaire des?vi?

La réponse est facile :

0?v1+0?v2+···+0?vm=?0!

Cette solution n"est pas très intéressante. On s"intéresseà des solutions plus intéressantes, c"est-à-dire de coefficientsnon tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des ?vi. Ceci conduit à la définition suivante : Définition. On dit que le système des?v1,···,?vmestlié(ou dépendant) s"il existe des coefficients aknon tous nulstels que a1?v1+a2?v2+···+am?vm=?0.

Une telle relation est appelée une relation de

dépendance linéaire.

Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur

?0est une combinaison linéaire des?vi?

La réponse est facile :

0?v1+0?v2+···+0?vm=?0!

Cette solution n"est pas très intéressante. On s"intéresseà des solutions plus intéressantes, c"est-à-dire de coefficientsnon tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des ?vi. Ceci conduit à la définition suivante : Définition. On dit que le système des?v1,···,?vmestlié(ou dépendant) s"il existe des coefficients aknon tous nulstels que a1?v1+a2?v2+···+am?vm=?0.

Une telle relation est appelée une relation de

dépendance linéaire.

SiNon, on dit que le système estlibre.

Une autre formulation

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. La question qu"on se pose ici est : Est-ce que l"un d"eux est une combinaison linéaire des autres? Théorème.Oui ssi le système estlié; Non ssi le système estlibre.

Preuve : Soit

kak?vk=?0, tel que l"un des coefficients, par exempleaj, est non nul, alors?vjest une combinaison linéaire des autres!

Une autre formulation

Soient?v1,···,?vmun système de vecteurs. La question qu"on se pose ici est : Est-ce que l"un d"eux est une combinaison linéaire des autres? Théorème.Oui ssi le système estlié; Non ssi le système estlibre.

Preuve : Soit

kak?vk=?0, tel que l"un des coefficients, par exempleaj, est non nul, alors?vjest une combinaison linéaire des autres! Pourquoi?

Et réciproquement?

Comment répondre :Est-ce que?v1,···,?vmsont liés ou libres? Comment répondre :Est-ce que?v1,···,?vmsont liés ou libres?

On poseA= (?v1,···,?vk):

Théorème. Le système des

?viest liélibre A Idéchelonne?BHsiBa une zéro-colonnesiBest sans zéro-colonne Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre x1?v1+x2?v2+···+xm?vm=?0,ou bienA?x=?0. L"ensemble des solutions estS={H?u,B?u=?0}. SiBn"a pas de zéro-colonne, la seule solution pourB?u=?0est le vecteur?0. Dans le cas contraire, il y a d"autres solutions. Comment répondre :Est-ce que?v1,···,?vmsont liés ou libres?

On poseA= (?v1,···,?vk):

Théorème. Le système des

?viest liélibre A Idéchelonne?BHsiBa une zéro-colonnesiBest sans zéro-colonne Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre x1?v1+x2?v2+···+xm?vm=?0,ou bienA?x=?0. L"ensemble des solutions estS={H?u,B?u=?0}. SiBn"a pas de zéro-colonne, la seule solution pourB?u=?0est le vecteur?0. Dans le cas contraire, il y a d"autres solutions. Problème : Expliciter une relation de dépendance linéaire des?visi le système est lié Réponse: Prendre pour?xune colonne deHsous une zéro-colonne deB. (pourquoi ça marche?)

§2. Famille génératrice deRn

Une famille de vecteurs en dimensionnestun système générateur(ou une famille génératrice) deRnsi tout autre vecteur deRns"exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système.

Comment répondre :

Est-ce que

?v1,···,?vmforment une famille génératrice?

§2. Famille génératrice deRn

Une famille de vecteurs en dimensionnestun système générateur(ou une famille génératrice) deRnsi tout autre vecteur deRns"exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système.

Comment répondre :

Est-ce que

?v1,···,?vmforment une famille génératrice?

On prend un vecteur

quelconque (b 1... b n))) dansRn.

On pose un système linéaire

x1?v1+x2?v2+···+xm?vm=(((b 1... b n))) (il faut traiter lesbicomme des paramètres). On le résout pour voir s"il existe toujours une solution (indépendant des valeurs desbi).

§2. Famille génératrice deRn

Une famille de vecteurs en dimensionnestun système générateur(ou une famille génératrice) deRnsi tout autre vecteur deRns"exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système.

Comment répondre :

Est-ce que

?v1,···,?vmforment une famille génératrice?

On prend un vecteur

quelconque (b 1... b n))) dansRn.

On pose un système linéaire

x1?v1+x2?v2+···+xm?vm=(((b 1... b n))) (il faut traiter lesbicomme des paramètres). On le résout pour voir s"il existe toujours une solution (indépendant des valeurs desbi).

Oui = génératrice.

§3. Base deRn

Une famille de vecteurs?v1,···,?vmestune basedeRnsi la famille est à la fois libre et génératrice. Théorème : Dans ce cas tout vecteur?bdeRns"exprime en a1?v1+a2?v2+···+am?vm=?b.et l"expression est unique. Lesai sont lescoordonnéesde?bdans cette base.

§3. Base deRn

Une famille de vecteurs?v1,···,?vmestune basedeRnsi la famille est à la fois libre et génératrice. Théorème : Dans ce cas tout vecteur?bdeRns"exprime en a1?v1+a2?v2+···+am?vm=?b.et l"expression est unique. Lesai sont lescoordonnéesde?bdans cette base.

Preuve. On prend un vecteur

quelconque?b?Rn. Puisque la famille est une famille génératrice, ce?bs"exprime en combinaison linéaire des ?vi.

Unicité : Si jamais on a deux expressions

a1?v1+a2?v2+···+am?vm=?b. a?1?v1+a?2?v2+···+a?m?vm=?b. on soustrait l"une à l"autre : a1-a?1)?v1+ (a2-a?2)?v2+···+ (am-a?m)?vm=?0. Comme le système est libre, tous les coefficients sont nuls. Donc a i=a?ipour touti. Donc les deux expressions sont en effet identiques. Fin de la preuve.

§4. Comptage

Théorème fondamental: DansRn:

1. Un système den-1 vecteurs ou moins n"est jamais générateur

(il manque des pivots)

2. Un système den+1 vecteurs ou plus n"est jamais libre

3. Une base a exactementnvecteurs.

4. Tout système libre se complète (facilement) en une base.

5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec

ou sans combinaison linéaires).

§4. Comptage

Théorème fondamental: DansRn:

1. Un système den-1 vecteurs ou moins n"est jamais générateur

(il manque des pivots)

2. Un système den+1 vecteurs ou plus n"est jamais libre

3. Une base a exactementnvecteurs.

4. Tout système libre se complète (facilement) en une base.

5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec

ou sans combinaison linéaires). Ainsi, dansR2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires constituent une base. Exemples.

§4. Comptage

Théorème fondamental: DansRn:

1. Un système den-1 vecteurs ou moins n"est jamais générateur

(il manque des pivots)

2. Un système den+1 vecteurs ou plus n"est jamais libre

3. Une base a exactementnvecteurs.

4. Tout système libre se complète (facilement) en une base.

5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec

ou sans combinaison linéaires). Ainsi, dansR2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires constituent une base. Exemples. Et dansR3? §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?. §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0 §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. Et n"importe quel couple de vecteurs ?v1,?v2du plan, tant qu"ils §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. Et n"importe quel couple de vecteurs ?v1,?v2du plan, tant qu"ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu"ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On aP=??v1,?v2?. §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. Et n"importe quel couple de vecteurs ?v1,?v2du plan, tant qu"ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu"ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On aP=??v1,?v2?. •DansRn, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs. Ces objetssont appelédes sous espaces vectorielset cesvecteurs directeurs sont appelésbases. §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. Et n"importe quel couple de vecteurs ?v1,?v2du plan, tant qu"ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu"ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On aP=??v1,?v2?. •DansRn, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs. Ces objetssont appelédes sous espaces vectorielset cesvecteurs directeurs sont appelésbases.

Définition.Un

sous espace vectorieldeRnest un sous ensembleE tel que pour tout ?v1,?v2?Eon a?v1+?v2?Eet pour tout?v?E etk?Ron ak?v?E. Autrement dit toute combinaison linéaires de vecteurs deEreste dansE. Une basedeEest une famille de vecteurs ?v1,···,?vk?Etelle que §5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel •UnedroiteDpassant par 0admetun vecteur directeur. Et n"importe quel vecteur ?v non-nulde la droite sert comme un vecteur directeur. On aD=??v?.

•Un

planPpassant par 0admetdeux vecteurs directeurs. Et n"importe quel couple de vecteurs ?v1,?v2du plan, tant qu"ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu"ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On aP=??v1,?v2?. •DansRn, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs. Ces objetssont appelédes sous espaces vectorielset cesvecteurs directeurs sont appelésbases.

Définition.Un

sous espace vectorieldeRnest un sous ensembleE tel que pour tout ?v1,?v2?Eon a?v1+?v2?Eet pour tout?v?E etk?Ron ak?v?E. Autrement dit toute combinaison linéaires de vecteurs deEreste dansE. Une basedeEest une famille de vecteurs ?v1,···,?vk?Etelle que elle soit à la fois libre et génératrice. Etdimension(E) =k.

Exemple et Comptage

Exemple. On peut bien sur prendreE=RnouE={0}.

QuestionEst-ce qu"un cercle ou une demi-droite est un sous espace vectoriel?

Théorème fondamental: Dans???

une droite D un plan P un sev E, avec dim(E)=k

1. Un système de

0 1 k-1 vecteurs ou moins n"est jamais générateur,

2. Un système de???

2 3 k+1 vecteurs ou plus n"est jamais libre. 3. Une baseVa exactementkvecteurs?v1,···,?vk, et constitue un système de repère : Tout vecteur?bdeEs"exprime en combinaison linéaire a1?v1+a2?v2+···+ak?vk=?bet l"expression est unique. Les aisont lescoordonnéesde?bdans cette base. Exo L"ensemble des solutions de l"équationx-y-2z=0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension. Exo L"ensemble des solutions de l"équationx-y-2z=0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension.

L"ensemble des solutions s"écrit

S=?((y+2z

y z)) ,y,z?R? y((110)) +z((201)) ,y,z?R? =?((110)) ,((201)) Une base deSse constitue simplement des deux vecteurs((110)) ,((201)) , et la dimension est deux (c"est un plan dansR3).

Même exo. pourx+y-z=0.

§6. Changement de bases, matrice de passage

R2possède beaucoup de bases. Voici deux exemples :

§6. Changement de bases, matrice de passage

R2possède beaucoup de bases. Voici deux exemples :

U={?e1,?e2}la base canonique, etV={?v1,?v2}={?12?

,?23?

§6. Changement de bases, matrice de passage

R2possède beaucoup de bases. Voici deux exemples :quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34