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famille finie libre, famille finie génératrice, base de cardinal fini En fait, certains Alors Im(f) est un espace vectoriel de dimension finie En effet, comme E est de
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Il suffit d'exhiber une base de l'espace vectoriel et de compter le nombre de vecteurs de cette famille 2 Il suffit de construire un isomorphisme entre cet espace
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Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre Exercice 3 Vrai ou faux ? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension finie
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Les Espaces Vectoriels de dimension finie
Partie II
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
20 mars 2018
Le Tesseract : (2x+ 1)4= 16x4+ 32x3+ 24x2+ 8x+ 1
1 Existence de bases
D´efinition 1 :ev de dimension finie
On dit qu"un espace vectorielEest dedimension finiesi et seulement si il existe une famille g´en´eratrice
G= (g1, ..., gn) deEde cardinal fini. Par convention, on dit queE={0}est un espace de dimension finie.
Exemple 1.Pourn?N?,Rn,Rn[X] sont des espaces vectoriels de dimension finie.Lemme 1 :Retrait d"un vecteur redondant
Soit une famille form´ee den+ 1 vecteurs de l"espaceE:S= (x1, ..., xn, xn+1)?En+1.Si le vecteurxn+1est combinaison lin´eaire des autres vecteurs :xn+1?Vect(x1, ..., xn), alors on peut retirer
le vecteurxn+1sans modifier le sous-espace engendr´e parS:Vect(x1, ..., xn, xn+1) = Vect(x1, ..., xn)
Preuve 1 :On proc`ede par double inclusion.
1. Vect(x1, ..., xn)?Vect(x1, ..., xn, xn+1) est ´evident!
2. Vect(x1, ..., xn, xn+1)?Vect(x1, ..., xn) est facile `a montrer!
Th´eor`eme Fondamental 2 :Th´eor`eme de la base extraite De toute familleg´en´eratriceGdeEon peut extraire une base deE. Preuve 2 :Il suffit d"´eliminer tous les vecteurs redondants. 1 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/Exemple 2.SiG= Vect(G) avecG={((
1 1 1)) 1 0 2)) 2 1 3)) 1 2 0)) }alors on peut extraire deGune base deG.Corollaire 3 :Existence de bases
Tout espace vectoriel de dimension finienon-nulposs`ede une base.Preuve 3 :Imm´ediat.
Lemme 4 :Augmentation d"une famille libre
SoitL= (l1,..., ln) une famille libre de vecteurs d"un espace vectorielEet un vecteurx?E. Six??Vect(L), alors la familleL?= (l1, ..., ln, x) est encore libre. Preuve 4 :Se d´emontre facilement par l"absurde. Th´eor`eme Fondamental 5 :Th´eor`eme de la base incompl`ete Toute famille libreLd"un espace de dimension finieEpeut ˆetre compl´et´ee en une base deE. Preuve 5 :On introduit une famille g´en´eratriceGquelconque. Si il existe un vecteur deGn"appartenant pas `a VectLalors on l"ajoute `aL. On proc`ede ainsi tant qu"il reste des vecteurs deGn"appartenant pas `a VectL. La familleLobtenue est alors libre et g´en´eratrice. C"est donc une base deE.Exemple 3.On peut par exemple compl´eterL={(1,2,0),(-1,1,0)}pour obtenir une base deR3. Cf plus loin ...
Th´eor`eme Fondamental 6 :Unicit´e de l"´ecriture d"un vecteur dans une base SoitEunK-ev,n?N?etB= (e1,..., en) une base deE. Alors, ?x?E,?! (x1, x2,..., xn)?Kntel quex=n? k=1x kek. Les scalaires (x1, x2,..., xn)?Knsont alors appel´es lescoordonn´eesdexdans la baseB.Preuve 6 :Tr`es simple par l"absurde!!
2 Dimension d"un espace vectoriel
Afin de d´efinir la dimension d"unK-evEde dimension finie, nous allons maintenant prouver que toutes les bases de
Eont le mˆeme cardinal.
Lemme 7 :
Dans un espace engendr´e parnvecteurs{ei}i?[[1,n]], toute famille{ai}i?[[1,n+1]]den+ 1 vecteurs est li´ee.
Preuve 7 :On commence par traduire le fait que les vecteurs{ai}i?[[1,n+1]]sont CL desnvecteurs{ei}i?[[1,n]].On
obtientn+ 1 relations qui, apr`es substitution, donnent une CL des vecteurs{ai}i?[[1,n+1]]. Lemme 8 :Le cardinal d"une famille libre est plus petit que celui d"une famille g´en´eratrice SiLest une famille libre etGune famille g´en´eratrice deE, on a Preuve 8 :Par l"absurde, on constate que ce lemme est un corollaire du lemme pr´ec´edent.Remarque1.D"apr`es ce th´eor`eme, pour montrer qu"un espace vectoriel n"est pas de dimension finie, il suffit d"exhiber
une famille (xi)i?Nde vecteurs v´erifiant : ?n?N?,(x1, ..., xn) est libre 2 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 4.Montrer queK[X],S(R) etF(R,R) ne sont pas de dimension finie.Th´eor`eme Fondamental 9 :Cardinal d"une base
SiEest de dimension finie, toutes les bases deEont mˆeme cardinal.Preuve 9 :Il suffit de consid´erer deux bases de cardinalnetn?diff´erents, puis d"appliquer le lemme pr´ec´edent.
D´efinition 2 :Dimension d"un ev
SiE={0}, on dit queEest de dimension 0 : dimE= 0.
SiEest un espace vectoriel de dimension finie non-nul, on appelledimensiondeE, le cardinal com- mun des bases deEet l"on note dimE=n.Ainsi, dansEun ev de dimension finie :
2. SiGest une famille g´en´eratrice deE, on a : CardG≥dimE
M´ethode pour majorer ou minorer une dimension :1. On obtient facilement une majoration de dimEen recherchant un famille g´en´eratrice
2. On obtient facilement une minoration de dimEen recherchant un famille libre
Exemple 5.
1.Knest unK-ev de dimensionn.
2.Kn[X] est unK-ev de dimensionn+ 1.
3. L"espace vectoriel des solutions d"une ED de la formey?+a(x)y= 0 est unK-ev de dimension 1.
4. L"espace vectoriel des solutions d"une ED de la formey??+ay?+by= 0 est unK-ev de dimension 2.
5. L"espace vectoriel des suites r´ecurrentes v´erifiant une relation de la formeun+2=aun+1+bun(avecb?= 0) est
unK-ev de dimension 2. Remarque2.La dimension d´epend du corps de base.1. Par exemple,Cest unC-ev de dimension 1, mais unR-ev de dimension 2.
2. (??) On notepile i`eme nombre premier.
En vous int´eressant `a la familleLn={lnpi}i?[[1,n]], montrer que leQ-evRn"est pas de dimension finie.
Exercice : 1
(??) SoitEl"espace vectoriel des applications deRdansR.On consid`ereFla partie deEconstitu´ee des applications de la forme :x?→P(x)sinx+Q(x)cosxavec (P, Q)?R2[X].
1. Montrer queFun sous-espace vectoriel deE.
2. Montrer queFest de dimension finie et d´eterminer dimF.
Th´eor`eme 10 :Caract´erisation des bases
SoitEun espace vectoriel de dimension finienetS= (e1,..., ep) une famille de vecteurs deE.1.Sest une base deEssi?Sestlibre
p=n. 2.Sest une base deEssi?Sestg´en´eratrice p=n.Preuve 10 :
1. Les sens directs sont ´evidents!
2. (a) SiSestlibreetp=n.
SiSn"est pas une base alors il existex /?VectS.S? {x}serait alors libre.Ce qui est impossible puisque dimE=n.
(b)Sestg´en´eratriceetp=n. SiSn"est pas libre, alors l"un des vecteursxdeSd"exprime comme CL des autres. Dans ce cas,S\{x}serait aussi g´en´eratrice, ce qui est impossible.Remarque3.Pour montrer qu"une familleSest une base, on v´erifiera le plus souvent que le syst`emeSest libre et
Card(S) = dimE. Cela permet d"´eviter de montrer queSest g´en´erateur, ce qui est parfois fastidieux.
3 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.(?) SoitB= (e1, e2, e3) une base d"un evE. Soient?ε1=e1+ 2e2+ 2e32=e2+e3.
1. Montrer que (ε1, ε2) est une famille libre deE.
2. Compl`eter cette famille pour obtenir une base deE.
Exemple 7.Famille de polynˆomes `a degr´es ´etag´es.Dans l"espaceE=Rn[X], soitS= (P0, ..., Pn) une famille den+ 1 polynˆomes tels que?i?[0,n], degPi=i.
Montrer queSest une base deE.
Rem : Cela prouve en particulier que?a?R, B= (1,(X-a),(X-a)2,...,(X-a)n)est une base deRn[X].Exercice : 2
(?) SoitE=RnetS= (e1, ..., en) avece1= (1,0, ...,0),e2= (1,1,0...,0), ...,en= (1, ...,1).1. Montrer queSest une base deE.
2. Exprimer les coordonn´ees du vecteur (x1, ..., xn)?Rndans la baseS.
Exercice : 3
(??) SoitEunK-ev de dimension finienet un endomorphismeu?L(E) nilpotent d"indicep?N?:?up= 0 u p-1?= 0.1. Montrer qu"il existex0?Etel queS= (x0, u(x0), ..., up-1(x0)) soit une famille libre deE.
2. Qu"en d´eduire pour la valeur dep?
3. Que dire sip=n?
Th´eor`eme 11 :Dimension d"un espace produit
SiEetFsont deux ev de dimension finie,
dim(E×F) = dimE+ dimF Preuve 11 :Soit (e1, ..., en) est une base deEet (f1, ..., fp) est une base deF. Alors?(e1,0), ...,(en,0),(0, f1), ...,(0, fp)?est une base deE×F.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Dans toutes la suite du chapitre, nous allons utiliser l"analogie suivante: Un EV de dimensionnest ANALOGUE `a un ensemble fini de cardinaln. Une base deEsera alors analogue aux ´el´ements deE. On consid´erera de plus queF+Gest analogue `aF?Get queF?Gest analogue `aF∩G=∅.Nous verrons que cette analogie permet de conjecturer ou de retenir un assez grand nombre de r´esultats.
3.1 Dimension d"un sev
Th´eor`eme 12 :Dimension d"un sev
SoitEun ev de dimension finien?N?etFun sev deE.
Pouvait-on conjecturer ce r´esultat grˆace `a l"analogie pr´ec´edente?Preuve 12 :SiFn"´etait pas de dimension finie, alors on pourrait trouver une famille libre de vecteurs deF
de cardinalp > n. Cette famille serait aussi une famille libre deE. Or ceci est impossible car toute famille libre
de vecteurs deEa un cardinal inf´erieur ou ´egal `an. Remarque4.SoitEun ev de dimensionnetFun sev deE. Selon sa dimension,Fporte des noms diff´erents :1. Si dimF= 1 alorsFest une droite vectorielle
4 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/2. Si dimF= 2 alorsFest un plan vectoriel
3. Si dimF=n-1 alorsFest un hyperplan vectoriel (Fest aussi le noyau d"une forme lin´eaire non nulle)
Exemple 8.(?) Quelle est la nature des sev deR2et deR3? Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini?Preuve 13 :Fest un sev deG.
Remarque5.Les sous-espaces vectoriels deRnsont souvent donn´es sous l"une des deux formes suivantes :
Forme 1 :F= Vect(e1, ..., ep) avece1, ..., ep?Rn.Forme 2 :F={(x1, ..., xn)?Rn|???f
1(x1, ..., xn) = 0
f q(x1, ..., xn) = 0}o`uf1, ..., fq? L(Rn,R).Vous devez connaˆıtre la m´ethode permettant de passer d"une forme `a l"autre : (X?F?? ··· ??)
Exemple 9.(?) SoientF= Vect((1,0,2,3),(-1,0,1,1)) etG={(x, y, z, t)?R4|?x+y-z= 0 x-2t= 0}.1. ExprimerFsous la forme 2.
2. ExprimerGsous la forme 1.
Corollaire 14 :Egalit´e de sev
SoientFetGdeux sev d"un mˆeme ev de dimension finie. Alors : ?F?G dimF= dimG?F=G En particulier, siFest un sev deE, alors : dimF= dimE?F=E. Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini? Preuve 14 :SiF?GalorsFest un sev deG. On consid`ere alors une base deF... Remarque6.Ce r´esultat est TRES souvent utilis´e pour montrer que deux sevFetGsont ´egaux.Exercice : 4
(?) SoientF= Vect((1,2,3),(0,1,1)) etG={(x, y, z)?R3|x+y-z= 0}deux sev deR3. Montrer queF=Gen utilisant deux m´ethodes diff´erentes.Exercice : 5
(?) SoitE=R4etF= Vect((1,1, λ,3),(0,1,1,2))G={(x, y, z, t)?E|x-y+z= 0, x+ 2y-t= 0}.Trouver une CNS surλ?Rpour queF=G?
3.2 Somme, somme directe et suppl´ementaires
D´efinition 3 :Base adapt´ee `a un sev
La base{e1, ..., ep,..., en}deEest unebase adapt´ee`a un sevFlorsque{e1, ..., ep}est une base deF.
Remarque7.En dimension finie, le th´eor`eme de la base incompl`ete nous assurequ"il est toujours possible de construire
une base adapt´ee `a un sev. Th´eor`eme Fondamental 15 :Base adapt´ee `a une d´ecomposition en sommes directes Soitn?N?avecn≥2 et{Fi}i?[[1,n]]une famille de sev deEde bases respectivesBFi.E=F1?F2? ··· ?Fn?? B=?
i?[[1,n]]BFiest une base deE.
Cette baseBest alors appel´eebase adapt´ee `a la somme directe. 5 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/Preuve 15 :Par r´ecurrence surn.
Pour l"initialisation :
?On montre tr`es facilement queBest une famille libre et g´en´eratrice. ?On a facilementE=F+G, puis queF∩G={0E}. On peut ´egalement effectu´e un raisonnement par ´equivalences Corollaire 16 :Caract´erisation 1 des suppl´ementaires SoitEun ev de dimension finie. SoitF1etF2deux sev deEde bases respectivesB1etB2.E=F1?F2?? B=B1? B2est une base deE.
Cette baseBest alors appel´eebase adapt´ee aux suppl´ementaires. Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini?Preuve 16 :Imm´ediat.
M´ethodes :
1. Pour d´eterminer un suppl´ementaire d"un sev
2. Pour prouver que deux sev sont suppl´ementaires
Exemple 10.(?) SoitE=R4etF= Vect((1,0,1,0),(1,2,0,0)). Trouver un suppl´ementaire deFdansEExemple 11.(?) SoitE=R3[X]. Montrer queF= Vect(1+X2, X-2) etG= Vect(X3-2X,5) sont suppl´ementaires.
Corollaire 17 :Dimension d"une somme directe
E=E1?F2? ··· ?Fp?dimE= dimF1+ dimF2+···+ dimFp Preuve 17 :Imm´ediat compte-tenu du th´eor`eme pr´ec´edent.Remarque8.Ainsi :
1. Les suppl´ementaires d"une droite vectorielle deR3sont des plans vectoriels
2. En dimension finie (dimE=n), les hyperplans deEsont de dimensionn-1.
Corollaire 18 :Existence de suppl´ementaires en dimension finie En dimension finie, tout sevFadmet des suppl´ementaires qui sont tous de mˆeme dimension. Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini?Preuve 18 :On utilise ici le th´eor`eme de la base incompl`ete en consid´erant une base deFque l"on compl`ete
pour obtenir une base deE. Les vecteurs ajout´es engendrent alors un sev suppl´ementaire deFdansE.
L"´egalit´e des suppl´ementaires provient du corollaire pr´ec´edent.Remarque9.Ne jamais parlerdusuppl´ementaire deF, car en g´en´eral il en existe une infinit´e. Penser au cas o`uFest
une droite vectorielle deR2(voir figure 1). Remarque10.L"existence de suppl´ementaires en dimension infinie est admise par l"axiome de Zorn.Proposition 19 :Dimension d"une somme de sev
Soit{Fi}i?[[1,n]]une famille de sev deE.
On a alors
Cas d"´egalit´e
dim(F1+F2+···+Fn) = dimF1+ dimF2+···+ dimFn??F1?F2? ··· ?Fn Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini? 6 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/ GF H Figure1 -HetGsont deux suppl´ementaires deFdansR2Preuve 19 :
1. La r´eunion de bases des sevFiconstitue une famille g´en´eratrice deF1+F2+···+Fn.
2.?Imm´ediat d"apr`es un th´eor`eme pr´ec´edent.
? B=?i?[[1,n]]BFiest alors une famille g´en´eratrice dont le cardinal est ´egal `a la dimension deF1+F2+
···+Fn. Il s"agit donc d"une base deF1+F2+···+Fn. On applique alors la caract´erisation des
sommes directes.Th´eor`eme 20 :Formule de Grassmann
SoitEde dimension finie etF, Gdeux sev deE. Alors : dim(F+G) = dimF+ dimG-dim(F∩G) Que pensez-vous de l"analogie avec les ensembles de cardinal fini? Preuve 20 :SoitBune base deF∩G. On peut compl´eterBpour obtenir une baseB ? BFdeFet une base B ? BGdeG. Montrons queB ? BF? BGest une base deF+G.
1. Il est imm´ediat queB ? BF? BGengendreF+G.
2. Pour la libert´e deB ? BF? BG, on prend une combinaison lin´eaire nulle et on montre que l"´el´ement de
Vect(BG) est dansFet donc dansF∩G= VectB.
La formule `a d´emontrer r´esulte alors du d´ecompte des vecteurs deB ? BF? BG.Exercice : 6
(?) SoientFetGdeux sev d"un evEde dimension finien?N?. Montrer que si dimF+ dimG > nalorsF∩Gcontient un vecteur non nul. Corollaire 21 :Caract´erisations 2 et 3 des suppl´ementaires SoitEun ev de dimension finie etF, Gdeux sev deE. AlorsE=F?G???F∩G={0}
dimE= dimF+ dimG???E=F+G dimE= dimF+ dimGPreuve 21 :Pour la premi`ere ´equivalence :
?Ces deux r´esultats sont donn´es dans des th´eor`emes pr´ec´edents. ?SiF∩G={0}alors d"apr`es la formule de Grassmann, dim(F+G) =net doncF+G=E.La seconde ´equivalence est une cons´equence directe de la caract´erisation des sommes directes.
Remarque11.En pratique, nous utiliserons le plus souvent la premi`ere ´equivalence. Exemple 12.(?) SoitE=R4,F= Vect((1,2,1,1),(0,1,1,1)) etG={(x, y, z, t)?R4|x+y+z+t= 0 etx=y}.Montrer queF?G=E.
7 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/ Bilan des diff´erentes caract´erisations des suppl´ementaires1. Dans le cas g´en´eral :
(a)E=F?G???E=F+G la d´ecomposition d"un vecteur deEest unique(c"est la d´efinition!) (b)E=F?G???E=F+GF∩G={0E}
2. En dimension finie :
(a)E=F?G?? B=BF? BG (b)E=F?G???F∩G={0} dimE= dimF+ dimG (c)E=F?G???E=F+G dimE= dimF+ dimG4 Applications lin´eaires en dimension finie
4.1 Comparaison des dimensions
Proposition 22 :Comparaison des dimensions
Soitu:E→Fune application lin´eaire avecEetFdesK-ev de dimension finie.On a alors :
1. Siuest injective alors : dimF≥dimE
3. Siuest bijective alors : dimF= dimE
Preuve 22 :On utilise ce que l"on sait sur l"image d"une famille libre et g´en´eratrice parune AL.
Proposition 23 :Dimension de l"image d"un sev par une application lin´eaire SoitEun ev de dimension finie etHest un sev deEalors : Preuve 23 :Il suffit de consid´erer l"image d"une base deH.Corollaire 24 :Espaces isomorphes
Soient deux evEetFde dimension finie.
On dit qu"ils sontisomorphess"il existe un isomorphisme?:E?→F.On a la caract´erisation
EetFisomorphes??dimE= dimF
Preuve 24 :
?Supposons queEetFsoient isomorphes. On consid`ereBune base deEet?l"isomorphisme. ?´etant un isomorphisme deEdansF, alors?(B) est une base deF. CQFD! ?Supposons que dimE= dimFet prenons (e1, ..., en) une base deEet (f1, ..., fn) une base deF.Soit alors?l"application lin´eaire d´efinie par?i?[[1,n]]?(ei) =fi. D"apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent,?est
un isomorphisme deEdansF. CQFD! Remarque12.ToutK-espace vectoriel de dimensionnest isomorphe `aKn. 8 Cours MPSI-2017/2018 Les Espaces Vectoriels de dimension finie http://pascal.delahaye1.free.fr/Th´eor`eme 25 :Dimension deL(E, F)
SiEetFsont de dimension finie, alorsL(E, F) est ´egalement de dimension finie et dimL(E, F) = dimE×dimF Preuve 25 :Admis pour l"instant ... (voir le cours sur les matrices!)Remarque13.En particulier, si l"espaceEest de dimension finie, son dualL(E,K) =E?est ´egalement de dimension
finie et dimE?= dimE(Voir la notion debase dualedans le cours de MP).Exercice : 7
(??) SoitEun ev de dimensionn?N?etF= (f1, ..., fn) une famille denformes lin´eaires surE. On suppose qu"il existe un vecteur non nula?Etel que?i?[[1,n]],fi(a) = 0.Prouver que la familleFest li´ee.
4.2 La notion de Rang
D´efinition 4 :Rang d"une famille finie de vecteurs Soit une famille de vecteursF= (x1, ..., xn) d"un espace vectorielE. On appellerangde la familleF, la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e parF: rg(F) = dimVect(F) D´efinition 5 :Application lin´eaire de rang finiSoitu? L(E,F) avecEetFdeuxK-ev.
On dit que l"application lin´eaireuest derang finilorsque Imuest de dimension finie.Dans ce cas, le rang deuest d´efini par :
rg(u) = dim(Imu) = dimu(E) Th´eor`eme 26 :D´etermination en dimension finie du rang d"une applicationlin´eaire. Siu?L(E, F) avecEde dimension finie et de base (e1, ..., en).Alors,uest de rang fini et :
rg(u) = rg(u(e1), ..., u(en)) (= dim?Vect(u(e1), ..., u(en))?Preuve 26 :Imm´ediat!
Proposition 27 :Soit?Eun K-ev de dimension finien
Preuve 27 :On a :
1. rg(u) = dimVect(u(e1), ..., u(en)) avec Vect(u(e1), ..., u(en))?F
Exemple 13.(?) D´eterminer le rang de l"application lin´eaire deRn[X] dansRn[X] qui `a tout polynˆomePassocieP?.