[PDF] [PDF] Les espaces vectoriels

[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

Définition de base Une famille ℱ de est une base de si et seulement si ℱ est libre et génératrice de 2 Bases et coordonnées Proposition : La 

[PDF] Espaces vectoriels - Licence de mathématiques Lyon 1

1°) Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ 3 2°) Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base 3°) Montrer  

[PDF] STRUCTURE DESPACE VECTORIEL - Christophe Bertault

La loi + est appelée addition et la loi · multiplication par un scalaire Le corps est qualifié de corps de base pour E Les mathématiciens ont introduit la structure d'  

[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice

Exo L'ensemble des solutions de l'équation x - y - 2z = 0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension

[PDF] Les espaces vectoriels

Théor`eme 36 – Soit E un espace vectoriel non nul de dimension finie Alors E admet une base finie Démonstration : soit S = {x1, ,xn} une famille de 

[PDF] Familles libres, génératrices, bases

Définition 4 Une famille F = { v1, , vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice Par exemple la famille {(1, 1, 

[PDF] Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

3 Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre Exercice 3 Vrai ou faux ? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension  

[PDF] Bases

générateur libre de ce sous-espace vectoriel Comme sous-espace vectoriel de Rn, on a Rn tout entier, donc Définition Une base de Rn, c'est un syst`eme 

[PDF] Espaces vectoriels

Dans le cas où un espace vectoriel a une base composée d'une famille finie de vecteurs, on dit que l'espace est de dimension finie Dans ce cas, par le théorème 

[PDF] Dimension dun espace vectoriel - Maths-francefr

un K-espace vectoriel de dimension finie La dimension de E est le cardinal d' une base de E Elle se note dimK(E) ou plus simplement dim(E) 1 3 Quelques 

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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

Les espaces vectoriels

1. G´en´eralit´es

Dans tout le chapitre,Krepr´esente un corps commutatif.

1.1. Notion d"espace vectoriel

On consid`ere un ensembleEsur lequel on suppose d´efinies -une loi de composition interne not´ee additivement (+) -une loi de composition externe, not´ee multiplicativement(.), deK×EdansE. D´efinition 1 -On dit queEest un espace vectoriel surKsi

1) (E,+) est un groupe ab´elien, c"est-`a-dire :

- ?(x,y,z)?E3,(x+y) +z=x+ (y+z) (associativit´e) - ?(x,y)?E2, x+y=y+x(commutativit´e) - ?e?E,?x?E, x+e=x(´el´ement neutre) - ?x?E,?x??E, x+x?=e(sym´etrique)

2)?(x,y)?E2,?(λ,μ)?K2,

-λ.(x+y) =λ.x+λ.y -(λ+μ).x=λ.x+μ.x -λ.(μ.x) = (λμ).x -1.x=xo`u 1 est l"´el´ement neutre pour la multiplication deK Dans toute la suite, on notera0(ou0Esi besoin) l"´el´ement neutre pour la loi de composition interne et on l"appellera le vecteur nul. Le sym´etrique d"un ´el´ementx deEsera not´e-x.

Exemples -

•Soitnun entier strictement positif. On consid`ere les suites ordonn´ees den ´el´ements deK: (x1,x2,...,xn). L"ensemble de ces suites est not´eKn. Soient x= (x1,...,xn) etx?= (x?1,...,x?n) deux ´el´ements deKnet soitλ?K, on pose : x+x?= (x1+x?1,...,xn+x?n) etλ.x= (λx1,...,λxn). Muni de ces deux lois,Knest un espace vectoriel surK. En particulier, tout corps commutatifKest un espace vectoriel sur lui-mˆeme.

•Rest un espace vectoriel surQ.

•On noteF(K,K) l"ensemble des applications deKdansK. On d´efinit, surF(K,K), une loi appel´eeaddition des applications +?F(K,K)×F(K,K)-→F(K,K) (f,g)?-→f+g o`uf+gest l"application d´efinie par (f+g)(x) =f(x) +g(x) pour tout x?K, et une loi appel´eemultiplication par un scalaire:

×?K×F(K,K)-→F(K,K)

(λ,f)?-→λf Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I o`uλfest l"application d´efinie par (λf)(x) =λf(x) pour toutxdansE. Muni de ces deux lois, l"ensembleF(K,K) est un espace vectoriel surK.

1.2. Quelques propri´et´es ´el´ementaires

• ?λ?K, λ.0E= 0E

• ?x?E,0.x= 0E

• ?x?E,?λ?K,(-λ).x=-(λ.x)

•λ.x= 0???λ= 0 oux= 0E?

1.3. Notion de sous-espaces vectoriels

SoitEun espace vectoriel surK.

D´efinition 2 -Une partieFdeEest appel´ee

sous-espace vectoriel surKdeEsi les deux propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :

1) (F,+) est un sous-groupe de (E,+)

2)?λ?K,?x?F, λ.x?F

Proposition 3 -Un sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel est un espace vectoriel.

D´emonstration : la loi de composition externe.est d´efinie surFet conserve les propri´et´es

qu"elle a dansE. Proposition 4 -Fest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siFest non vide et v´erifie :?(x,y)?F2,?(λ,μ)?K2, λ.x+μ.y?F.

D´emonstration : la condition n´ecessaire est ´evidente d"apr`es la d´efinition de sous espace

vectoriel. Supposons queF?=∅v´erifie la condition??(x,y)?F2,?(λ,μ)?K2, λ.x+μ.y?F?et montrons que c"est un sous-espace vectoriel deE. Soientxetydeux ´el´ements deF. On a alors1.x-1.y?Fdonc(F,+)est un sous-groupe de(E,+). En prenanty= 0dans la condition v´erifi´ee parF, on obtient bien la propri´et´e

2 de la d´efinition de sous-espace vectoriel.

Lemme 5 -La condition?(x,y)?F2,?(λ,μ)?K2, λ.x+μ.y?Fpeut s"´ecrire ?(x,y)?F2,?λ?K, x+λ.y?F. Proposition 6 -Toute intersection de sous-espaces vectoriels deEest un sous-espace vectoriel. D´emonstration : montrons-le pour l"intersection de deux sous-espaces vectoriels. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE. Montrons queF∩Gest un sous-espace vectoriel deE. F∩Gest non vide car le vecteur nul deEappartient `aFet `aG. Soient(x,y)?(F∩G)2 et(λ,μ)?K2, alorsλx+μy?FcarFest un sous-espace vectoriel deE. De mˆeme, λx+μy?G. Il s"ensuit queF∩Gest un sous-espace vectoriel deE.

1.4. Applications lin´eaires

D´efinition 7 -SoientEetFdeux espaces vectoriels sur un corpsKetfune application deEdansF. Dire quefest une application lin´eaireou unmorphismesignifie que les deux assertions suivantes sont vraies :??(x,y)?E2, f(x+y) =f(x) +f(y) ?λ?K,?x?E, f(λx) =λf(x) - 2 -

Les espaces vectoriels

Ces deux assertions peuvent ˆetre r´eunies en une seule : ?(x,y)?E2,?λ?K, f(x+λy) =f(x) +λf(y). On noteL(E,F) l"ensemble des applications lin´eaires deEdansFetL(E) l"ensemble des applications lin´eaires deEdansE. Proposition 8 -L(E,F) est un espace vectoriel surK. Proposition 9 -L"image par une application lin´eaire deL(E,F) d"un sous-espace vecto- rielE?deEest un sous-espace vectoriel deF. D´emonstration : soitE?un sous-espace vectoriel deEetfune application lin´eaire deE dansF. Montrons quef(E?)est un sous-espace vectoriel deF. f(E?)est non vide carE?est non vide. Soientyety?deux ´el´ements def(E?)et(λ,μ)?K2.

Montrons queλ.y+μ.y??f(E?).

Par d´efinition def(E?), il existexetx?dansEtels quey=f(x)ety?=f(x?). On obtient

alors, en utilisant la lin´earit´e def,λ.y+μ.y?=λ.f(x)+μ.f(x?) =f(λ.x+μ.x?)?F.

Proposition 10 -L"image r´eciproque par une application lin´eaire deL(E,F) d"un sous- espace vectorielF?deFest un sous-espace vectoriel deE. D´emonstration : soitF?un sous-espace vectoriel deFet etfune application lin´eaire deE dansF. Montrons quef-1(F?)est un sous-espace vectoriel deE. Par d´efinition,f-1(F?) =?x?E;f(x)?F??. Soientxetx?deux ´el´ements def-1(F?) et(λ,μ)?K2. Montrons queλ.x+μ.x??f-1(F?), ce qui revient `a montrer que f(λ.x+μ.x?)?F?. Orf(λ.x+μ.x?) =λ.f(x) +μ.f(x?)?F?carF?est un espace vectoriel; d"o`u le r´esultat.

2. Somme de sous-espaces - Somme directe

2.1. Sous-espace engendr´e par une famille

D´efinition 11 -Soit (xi)i?Iune famille d"´el´ements d"unK-espace vectorielE. On appelle combinaison lin´eaire des (xi)i?Itout ´el´ement deEde la forme? i?Iλ ixio`u (λi)i?Iest une famille d"´el´ements deKpresque tous nuls. Th´eor`eme 12 -SoitAune partie deE. Il existe un plus petit sous-espace vectoriel de

EcontenantA: on l"appelle le

sous-espace vectoriel engendr´e parAet on le note Vect(A). D´emonstration : soitFl"intersection de tous les sous-espaces vectoriels deEcontenantA. Fest un espace vectoriel d"apr`es la proposition6et c"est le plus petit pour l"inclusion par construction. Proposition 13 -Soit (xi)i?Iune famille non vide d"´el´ements deE. Le sous-espace vec- toriel Vect?(xi)i?I?est l"ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires des (xi)i?I. D´emonstration : soitE?l"ensemble des combinaisons lin´eaires des(xi)i?I. On aE??Vect?(xi)i?I?. Il suffit donc de montrer queE?est un sous-espace vectoriel deEpour montrer l"´egalit´e carVect?(xi)i?I?est, par d´efinition, le plus petit sous-espace vectoriel deEcontenant la famille(xi)i?I).E?est non vide car la famille est non vide.

Soientxetx?deux combinaisons lin´eaires des(xi)i?I. Il existe une famille(λi)i?Id"´el´ements

deKpresque tous nuls telle quex=? i?Iλixi. NotonsLle sous-ensemble deItel que, sii?L,λi?= 0et sii??L,λi= 0. Par d´efinition,Lest fini. De mˆeme,x?=? i?Iλ?ixi etL?est le sous-ensemble fini deItel que, sii?L?,λ?i?= 0et sii??L,λ?i= 0. - 3 - Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes Iquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2