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Chapitre 2
Formes bilin´eaires sym´etriques,
formes quadratiques
2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.
2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
Une application
b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).
On dit quebestsym´etriquequand
?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.
Exemples:
1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 5
6CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.
E=R2. Le produit scalaire usuel
µµx1
x ,µy1 y ?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.
E=C([-1,1],R). L"application
C
0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R
(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.
E=Mn(K). L"application
M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).
2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique
On suppose
Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.
D´efinition 2.2
La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.
Exemple:µ3 1
est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etrique
µµx1
x ,µy1 y ?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.
2.1. FORMES BILIN
´EAIRES SYM´ETRIQUES7
Rappel : Changement de base.
D´efinition 2.3
La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.
Proposition 2.4
Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)
La matrice de
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est M
E?(b) =tP ME(b)P .
2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e
Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.
Proposition 2.6
L"application
b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.
D´efinition 2.7
Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.
8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.
Proposition 2.8
Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).
2.1.4 Orthogonalit´e
Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.
D´efinition 2.9
SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.
Proposition 2.10
F ?= (?b(F))◦.
Th´eor`eme 2.11
On supposeEde dimension finien.
Sibest non d´eg´en´er´ee, alorsdim(F?) =n-dim(F). En g´en´eraldim(F?) =n-dim(F) + dim(F∩ker(b)).
Proposition 2.12
On a toujoursF?(F?)?. SiEest de dimension finie
etbnon d´eg´en´er´ee, on aF= (F?)?.
2.2 Formes quadratiques
A partir de maintenant et pour tout le reste du chapitre, le corpsKest suppos´e de caract´eristique diff´erente de 2, ce qui veut dire que 2?= 0 dansK (par exemple,Z/2Zest exclu). On d´esigne toujours parEun espace vectoriel surK.
2.2. FORMES QUADRATIQUES9
2.2.1 D´efinitions
D´efinition 2.13
Une applicationq:E→Kest appel´ee forme quadratique surEs"il existe une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle que ?x?E q(x) =b(x,x). La forme quadratiqueqest diteassoci´ee `a la forme bilin´eaire sym´etrique b. Les formes quadratiques associ´ees aux formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont respectivement 1. x?→x2(surK), 2. x1 x ?→x21+x22(surR2), 3. f?→R1 -1f(t)2dt(surC0([-1,1],R)), 4.
A?→trace(A2) (surMn(K)).
Proposition 2.14
Siqest une forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle queqsoit associ´ee `ab. On l"appelle laforme polaire deq, et elle est d´efinie par b(x,y) =1 2 (q(x+y)-q(x)-q(y)). SiEest de dimension finie etEune base deE, lamatriceMde la forme quadratiqueqdans la baseEest la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s"exprime alors matriciellement commeq(x) =tX M X, o`uXest le vecteur colonne des coordonn´ees dexdansE. Une forme quadratiqueqs"exprime comme un polynˆome homog`ene du second degr´e en fonction des coordonn´ees (x1,...,xn) : c"est une somme de monˆomes enx2iouxixj. Par exemple, la forme quadratique q(x1,x2,x3) =x21+ 7x22+ 6x1x2-2x1x3+ 8x2x3 a pour matrice 0 @1 3-1 3 7 4 -1 4 01 A Une forme quadratiqueqest ditenon d´eg´en´er´eequand sa forme polaire l"est. On d´efinit lenoyauet lerangd"une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire. De mˆeme, l"orthogonal d"un sous-espacepour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire.
10CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
D´efinition 2.15
Un ´el´ementxdeEest ditisotropepour la forme qua- dratiqueqquandq(x) = 0. Exemple: La forme quadratiqueqsurR2d´efinie parq(x1,x2) =x21-x22 a pour matriceµ1 0 . Elle est non d´eg´en´er´ee, son noyau est r´eduit `a {0}. Mais l"ensemble de ses vecteurs isotropes est la r´eunion des deux droites vectorielles d"´equationsx2=x1etx2=-x1.
Proposition 2.16
Soitqune forme quadratique surE. Sixest un ´el´ement non isotrope deE, alorsVect(x)?est un hyperplan deEsuppl´ementaire de
Vect(x).
2.2.2 Base orthogonale, d´ecomposition en carr´es
D´efinition 2.17
Soitqune forme quadratique sur un espace vectorielEde dimension finien, et soitbsa forme polaire. Une base(e1,...,en)deEest diteorthogonale (pourq)quandb(ei,ej) = 0pour tout couple(i,j)avec i?=j. Autrement dit, une base est orthogonale pourqquand la matrice deq dans cette base est diagonale.
Th´eor`eme 2.18
Toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimen- sion finie admet des bases orthogonales. Le carr´e d"une forme lin´eaire est une forme quadratique. Le th´eor`eme suivant permet de d´ecomposer n"importe quelle forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie en carr´es de formes lin´eaires. Th´eor`eme 2.19 (D´ecomposition en carr´es)
Soitqune forme quadra-
tique sur un espace vectorielEde dimension finien. Alors il existe des formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes?1,...,?r?E?et des constantes non nullesc1,...,cr?Ktelles que q=c1?21+···+cr?2r. Dans toute d´ecomposition de ce type (avec les?ilin´eairement ind´ependantes), le nombrerde formes lin´eaires est ´egal au rang deq. Le th´eor`eme de d´ecomposition en carr´es est une cons´equence du th´eor`eme d"existence de bases orthogonales. Mais on l"obtient aussi de mani`ere algorith- mique, au moyen de l"algorithme de Gauss. Cet algorithme, ´etant donn´e une forme quadratiqueq(x1,...,xn) ennvariables, produit une d´ecomposition en carr´es. Il proc`ede par r´ecurrence sur le nombre de variables. Pour ´eliminer les variables, on distingue deux cas.
2.2. FORMES QUADRATIQUES11
1. La forme quadratiqueqcontient le carr´e d"une variable. On peut sup- poser qu"il s"agit dex21, etqpeut alors s"´ecrire q(x1,...,xn) =cx21+x1?(x2,...,xn) +r(x2,...,xn), o`ucest une constante non nulle,?une forme lin´eaire etrune forme quadratique. On compl`ete alors le carr´e en q=c(x1+1
2c?)2+r-1
c ?2.
On a bien quex1+1
2c?(x2,...,xn) est une forme lin´eaire, et
q ?(x2,...,xn) =r(x2,...,xn)-1 c ?(x2,...,xn)2 est une forme quadratiquequi ne d´epend plus de la variablex1. 2. La forme quadratiqueqne contient aucun carr´e de variable. Si elle est non nulle, elle contient au moins un produit de variablesxixj. On peut supposer qu"il s"agit dex1x2, et alorsqpeut s"´ecrire q(x1,...,xn) =cx1x2+x1?(x3,...,xn)+x2m(x3,...,xn)r(x3,...,xn), o`ucest une constante non nulle,?etmdes formes lin´eaires etrune forme quadratique. On compl`ete le produit en q=c(x1+1 c m)(x2+1 c ?) +r-1 c ?m . On transforme le produit des formes lin´eairesk1=x1+1 c metk2= x 2+1 c ?en k 1k2=1 4
¡(k1+k2)2-(k1-k2)2¢,
qui est une combinaison lin´eaire des carr´es de formes lin´eairesk1+k2 etk1-k2. Il reste apr`es la forme quadratique q ?(x3,...,xn) =r(x3,...,xn)-1 c ?(x3,...,xn)m(x3,...,xn), qui ne d´epend plus des variablesx1etx2. L"algorithme de Gauss produit une d´ecomposition en carr´es q=c1?21+···+cr?2r avecc1,...,cr´el´ements non nuls deKet?1,...,?rdes formes lin´eaireslin´eai- rement ind´ependantessurKn. On peut alors compl´eter cette famille libre en une base (?1,...,?r,?r+1,...,?n) de (Kn)?. La base duale (e1,...,en) deKn sera une base orthogonale pourq, dans laquelle la matrice deqest diagonale avecc1,...,cr,0,...,0 comme coefficients diagonaux.
12CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.3 Classification des formes quadratiques
2.3.1 Matrices congruentes
D´efinition 2.20
Deux matricesAetBdeMn(K)sont dites congruentes
(surK) quand il existe une matricePinversible dansMn(K)telle queB= tP AP. La relation de congruence est une relation d"´equivalence. Soitqune forme quadratique sur un espace vectorielEde dimensionn, Ala matrice deqdans une baseEdeE. Une matrice sym´etriqueBde taille nest congruente `aAsi et seulement s"il existe une baseFdeEdans laquelle
Best la matrice deq.
2.3.2 Classification surC
Proposition 2.21
Soitqune forme quadratique de rangrsur unC-espace
vectorielEde dimensionn. Alors il existe une base deEdans laquelle la matrice deqest 0 B
BBBBBBB@r
z 1 10 0 0 01 C
CCCCCCCA.
Th´eor`eme 2.22
Deux matrices sym´etriques complexes sont congruentes sur
Csi et seulement si elles ont mˆeme rang.
2.3.3 Classification surR, signature
D´efinition 2.23
Une forme quadratiqueqsur un espace vectoriel r´eelEest dited´efinie positive(resp. n´egative) quand, pour toutx?Enon nul, on aq(x)>0(resp.q(x)<0). Th´eor`eme 2.24 (Th´eor`eme d"inertie de Sylvester)
SoitEun espace
vectoriel de dimensionnsurR. Soitqune forme quadratique surEetE une base deEorthogonale pourq. Soit0 B @a 10 0an1 C
Ala matrice deq
2.3. CLASSIFICATION DES FORMES QUADRATIQUES13
dansE. Soitsle nombre d"indicesitels queai>0,tle nombre d"indices itels queai<0. Alors le couple(s,t)ne d´epend pas du choix de la base orthogonale. On l"appelle la signature de la forme quadratiqueq. L"entiers(resp.t) de la signature est le maximum des dimensions des sous-espaces deEsur lesquels la restriction deqest d´efinie positive (resp. n´egative). La sommes+test le rang deq. L"algorithme de d´ecomposition en carr´es de Gauss fournit un moyen de calculer la signature : siq=Pr i=1ci?2i, o`u les?isont des formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes, alorss(resp.t) est le nombre de coefficientsci positifs (n´egatifs).
Proposition 2.25
Soitqune forme quadratique de signature(s,t)sur unR- espace vectorielEde dimensionn. Alors il existe une base deEdans laquelle la matrice deqest 0 B
BBBBBBBBBBBBBB@r
z sz 1 10 -1 -1 0 0 01 C
CCCCCCCCCCCCCCA
Th´eor`eme 2.26
Deux matrices sym´etriques r´eelles sont congruentes surR si et seulement si elles ont mˆeme signature.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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