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LEÇON N° 20 :

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe.

Interprétation géométrique. Applications.

Pré-requis:

-Représentation d'un nombre complexe dans le planR2muni d'un repère orthonormé direct; -Formes trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe, en particulier : re iθ=r?eiθ???r=r?

θ≡θ?[2π] ;

-Groupe cyclique, similitude directe et son écriture complexe.

Dans toute la leçon, et sauf mention contraire,ndésigne un entier naturel non nul, etZun nombre complexe

non nul s'écrivant sous forme exponentielleZ=Reiθ. Un nombre complexezquelconque sera toujours

écritz=reiαsous forme exponentielle.

20.1 Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

20.1.1 Cas général

Problème: Il s'agit de trouverz?Ctel quezn=Z, c'est-à-dire résoudre l'équation complexezn=Z

d'inconnuez?C. On trouve alors : z n=Z?rneinα=Reiθ??rn=R nα≡θ[2π]????r=R1 n n?

2πn?

d'où les solutions suivantes : ?k? {0,...,n-1}, zk:=R1 nei(θn+2kπn). Théorème 1 : L'équation complexezn=Zadmetnracines distinctes. Son ensemble solution est donné par S n=? R1 nei(θn+2kπn),k? {0,...,n-1}?

démonstration:L'existence des racines est donnée par ce qui précède le théorème.L'unicité de

chaque solution vient de l'égalité modulo2π/n: en effet, avec les notations données, on a que pour tous

k? {0,...,n-1},zk+n=zk.?

2Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

Définition 1 : Les nombreszkdéfinis ci-dessus sont appelésracinesn-ièmes deZ. On note leur en-

sembleSn. Exercice: Résoudre dansCl'équationz3=⎷3 +i.

Solution

: Il suffit de remarquer que

3 +i|=⎷3 + 1 = 2etarg(⎷3 +i) =π6,

d'où les trois solutions suivantes : ?k? {1,2,3}, zk= 21

3ei(π18+2kπ3).

20.1.2 Racinesn-ièmes de l'unité

Définition 2 : On désigne l'ensemble des racinesn-ièmes de l'unité par U n=? e i2kπ n,k? {0,...,n-1}? Remarque 1: On a donc que tout complexez?Unvérifiezn= 1. Théorème 2 : Les racinesn-ièmes d'un nombre complexeZsont exactement les produits de l'une d'entre elles avec les racinesn-ièmes de l'unité. Autrement dit, siz?Cest tel quezn=Z, alors S n=? z e i2kπ n,k? {0,...,n-1}? démonstration:Soitz?Cvérifiantzn=Z. Alors pour toutk? {0,...,n-1}, on a z ei2kπ n? n=znei2kπ???? = 1=Z.

Théorème 3 :(Un,·)est le seul sous-groupe multiplicatif deC?d'ordren. De plus, il est isomorphe à

(Z/nZ,+). démonstration:

Sous-groupe :

- Sik= 0, alorsei2kπ n= 1, donc1?Un. - Soientz,z??Un. Alors z·z?=ei2kπ n·ei2k?πn=ei2(k+k?)πn =ei2k??π n?Un,avec?k??? {0,...,n-1} k+k?≡k??[n]. - Soitz?Un. On remarque que siz?=ei-2kπ n, alorsz·z?= 1, de sorte quez-1=z??Un.

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe3

Unicité :SoitGun tel sous-groupe, c'est-à-dire un sous groupe multiplicatif deC?d'ordren. Siz?G,

alorszn= 1(carGest justement d'ordren), doncz?Un, ou encoreG?Un. PuisqueGetUnont le même cardinal, il vient queG=Un. Isomorphie :On considère l'application suivante : f: (Z/nZ,+)-→(Un,·) k?-→ei2kπn.

On détermine que

0) =ei2·0πn= 1etf(k+k?) =ei2(k+k?)πn=ei2kπn·ei2k?πn=f(k)·f(k?),

de sorte quefsoit un morphisme de groupes. On montre de plus qu'il est injectif : f( k) =f(k?)?ei2kπn=ei2k?πn?2kπn≡2k?πn[2π]?k≡k?[n]?k=k?. Enfin, grâce au point précédent, on sait que|Z/nZ|=|Un|, doncfest un isomorphisme.?

Corollaire 1 :(Un,·)est un groupe cyclique.

démonstration:Découle directement du fait que(Z/nZ,+)l'est.?

Proposition 1 : Les générateurs deUnsont lesωk=ei2kπn, oùk? {0,...,n-1}etnsont premiers

entre eux. démonstration:Un=? ={1,ω1,ω21,...,ωn-11}, doncω1est un générateur deUn. Soit alorsk? {0,...,n-1}. On a kest un générateur deUn? ?k?|(ωk)k?=ω1?ei2kk?π n=ei2πn ?kk?≡1 [n]? ?k?,u|kk?+un= 1

Bézout?k?n= 1,

d'où le résultat.?

Exemple avecU6:

-5?6 = 1et?ei5π -2?6 = 2et?ei2π

3?={1,ei2π3,ei4π3} ?=U6;

Définition 3 : Un générateur deUnest appeléracine primitiven-ième de l'unité.

4Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

20.2 Interprétation graphique

On se place dans un planP.

Définition 4 : SoientM0,...,Mn-1?P. Ces points constituent lesnsommets d'un polygone régulier s'il existe un pointΩet une rotation de centreΩet d'angle2π/nenvoyantMksurMk+1(pourk? {0,...,n-2}) etMn-1surM0. Proposition 2 : SoitM?Ple point d'affixeZ. Les racinesn-ièmes deZse situent sur un même cercle de centreO(origine du repère) et de rayonR1

N. De plus, si

n= 2, elles sont diamétralement opposées;n?3, elles forment les sommets d'un polygone régulier.

démonstration:NotonsMkle point d'affixezk=R1nei(θn+2kπn)pourk? {0,...,n-1}. Soit un tel k. Alors on vérifie queOMk=|zk|=R1 n, de sorte que les racinesn-ièmes deZsoient effectivement situées sur un même cerlce de centreOet de rayonR1 n. De plus, lorsquen= 2, le calcul nous permet d'affirmer quearg(z0) =θ/netarg(z1) =θ/n+π, donc les racines sont diamétralement opposées. Enfin, lorsquen?3, on vérifie que pour toutk? {0,...,n-2}, on ait z kei2π n=zk+1etzn-1ei2πn=z0, d'où le résultat attendu.?

Proposition 3 : Les racinesn-ièmes deZse déduisent de celles de l'unité par une similitude de centre

O, de rapportR1

net d'angleθ/n. démonstration:On rappelle quef:z?-→azaveca?C?est l'écriture complexe de la similitude de centreO, de rapport|a|et d'anglearg(a). Soit alorsa=R1 neiθn?C?, qui est une racinen-ième

deZ(k= 0). D'après le théorème 2, les autres racines deZse déduisent de celle-ci par multiplication

avec les racinesn-ièmes de l'unité, notées précédemmentωk. On a donc S

et chaque racinen-ième deZest donc bien l'image d'une racinen-ième de l'unité par la similitude

annoncée.?

20.3 Applications

20.3.1 Factorisation

Exercice: Factoriser dansCle polynôme défini parP(z) =z4+ 1.

Solution

:z4=-1 =ei(-π), donc pourk= 0,...,3, on azk=ei(-π4+2kπ4), ce qui donne

P(z) = (z-e-iπ

4)(z-eiπ4)(z-ei3π4)(z-ei5π4).

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe5

20.3.2 Somme et produit des racinesn-ièmes de l'unité

z n= 1?zn-1 = 0?(z-ω0)(z-ω1)···(z-ωn-1) = 0 ?zn-(1 +ω1+···+ωn-1)zn-1+···+ (-1)nω1···ωn-1= 0.

En particulier, on en déduit que

n-1? k=0ω k= 0et(-1)n-1n-1? k=0ω k= 1.

20.3.3 Caractérisation d'un triangle équilatéral

Exercice: Montrer queABCest équilatéral si et seulement sib+ja+j2c= 0(ouc+ja+j2b= 0).

Solution

: On considère la rotationRde centreAet d'angleπ/3. Alors deux cas se présentent :

SiR(C) =B,alors

(b-a) =eiπ

3(c-a) (j=ei2π3? -j2=eiπ3)

?b-a+j2c-j2a= 0 ?b+ (-1-j2)a+j2c= 0 (1 +j+j2= 0) ?b+ja+j2c= 0. SiR(B) =C,on procède de la même manière pour trouver l'autre égalité.♦

20.3.4 Pentagone régulier à la règle et au compas

Exercice: On poseρ=ei2π

1. Montrer que?4k=0ρk= 0;

2. Montrer queρ+1

ρest racine du polynômeX2+X-1;

3. En déduire une expression decos?2π

4. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Solution

1. On utilise l'application 2 ci-dessus, ou la somme des cinq premiers termes d'une suite géométrique.

2. On factorise l'expression de la première question parρ2?= 0, on simplifie les deux membres par1

ρ2et ce qui reste répond

à la question.

3. On détermine d'abord queρ+1

ρ= 2cos(2π5)>0par le calcul direct (on connaîtρ!). Ensuite, on sait que ce nombre est la racine positive du polynômeX2+X-1. Après calcul, on détermine alors que cos ?2π 5? 5-1 4.

Pour " construire » une telle longueur, il suffit alors de tracer un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit

mesurent respectivement1/2et1/4. Le théorème de Pytagore nous assure alors que l'hypothénuse mesure⎷

5/4. On

sait aussi construire1/4, et faire une différence de mesures à la règle et au compas, cequi nous donne notre construction

decos(2π 5).

4. On place d'abord le point d'abscisse1, notéM0. Ensuite, on place le pointAd'abscissecos(2π/5)et son projetéM1sur

le cercle unitéCparallèlement à l'axe des ordonnées. Il suffit ensuite de reporter sur la mesureM0M1sur le cercle pour

obtenir les trois autres pointsM2,M3etM4. Voici la figure illustrant cette question :

6Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

?M0 C A M1 M 4M 2 M 3? +⎷5/4 -1/4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] [PDF] LEÇON N˚20 : Exemples dutilisation des nombres - capes-de-maths

LEÇON N° 20 :

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe.

Pré-requis:

θ≡θ?[2π] ;

écritz=reiαsous forme exponentielle.

20.1 Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

20.1.1 Cas général

2πn?

2Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

Solution

3 +i|=⎷3 + 1 = 2etarg(⎷3 +i) =π6,

3ei(π18+2kπ3).

20.1.2 Racinesn-ièmes de l'unité

Sous-groupe :

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe3

On détermine que

0) =ei2·0πn= 1etf(k+k?) =ei2(k+k?)πn=ei2kπn·ei2k?πn=f(k)·f(k?),

Corollaire 1 :(Un,·)est un groupe cyclique.

Bézout?k?n= 1,

Exemple avecU6:

3?={1,ei2π3,ei4π3} ?=U6;

4Racinesn-ièmes d'un nombre complexe

20.2 Interprétation graphique

On se place dans un planP.

N. De plus, si

O, de rapportR1

20.3 Applications

20.3.1 Factorisation

Solution

P(z) = (z-e-iπ

4)(z-eiπ4)(z-ei3π4)(z-ei5π4).

Racinesn-ièmes d'un nombre complexe5

20.3.2 Somme et produit des racinesn-ièmes de l'unité

En particulier, on en déduit que

20.3.3 Caractérisation d'un triangle équilatéral

Solution

SiR(C) =B,alors

3(c-a) (j=ei2π3? -j2=eiπ3)

20.3.4 Pentagone régulier à la règle et au compas

Exercice: On poseρ=ei2π

1. Montrer que?4k=0ρk= 0;

2. Montrer queρ+1

ρest racine du polynômeX2+X-1;

3. En déduire une expression decos?2π

4. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Solution

1. On utilise l'application 2 ci-dessus, ou la somme des cinq premiers termes d'une suite géométrique.

2. On factorise l'expression de la première question parρ2?= 0, on simplifie les deux membres par1

ρ2et ce qui reste répond

à la question.

3. On détermine d'abord queρ+1

5/4. On

4. On place d'abord le point d'abscisse1, notéM0. Ensuite, on place le pointAd'abscissecos(2π/5)et son projetéM1sur

6Racinesn-ièmes d'un nombre complexe