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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose ⃗ =
et ⃗ = , alors ce repère se note également (O, ⃗ ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, ⃗, ⃗) où O est un point et ⃗ et ⃗ sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si ⃗ et ⃗ ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ⃗ et ⃗ sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi
=3⃗+2⃗.Les coordonnées de
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.⃗ O ⃗ Repère orthogonal ⃗ O ⃗ Repère orthonormé ⃗ O ⃗ Repère quelconque ⃗ ⃗ I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, ⃗, ⃗), placer les points . -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs et par lecture graphique.Correction
On a :
=-⃗+5⃗ donc a pour coordonnées . -1 5 =3⃗+2⃗ donc a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points .
/ et .Le vecteur
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs et , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et . 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs ⃗.
/ et ⃗A, et un réel .
On a :
A ⃗
A -⃗.
⃗ et ⃗ sont égaux lorsque =′ et =′. Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3
4
et 3 -4Correction
On a :
3 2 / et -1 53
3×3
3×2
9 6 /, 4 4× -14×5
-4 203
-4 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points .
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.
Correction
est un parallélogramme si et seulement siOn pose .
/ les coordonnées du point .On a alors :
-4-1 3-2 -5 1 / et1-
-2- ADonc : 1-
=-5 et -2- =1 =-5-1 et - =1+2 =6 et =-3.Les coordonnées du point sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que : '-'=0.
Remarque : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : '='.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs ⃗ et ⃗ soient non nuls.Dire que les vecteurs ⃗.
/ et ⃗ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel tel que ⃗ =⃗.Les coordonnées des vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : '=' soit encore '-'=0. Réciproquement, si '-'=0. Le vecteur ⃗ étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que '≠0. Posons alors = . L'égalité '-'=0 s'écrit : '='.Soit : =
Comme on a déjà = ′, on en déduit que ⃗ =⃗.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. 4 -7 / et ⃗. -12 21/ b) ⃗. 5 -2 / et ⃗. 15 -7
Correction
a) '-'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que ⃗=-3⃗.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) '-'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Le nombre '-' est appelé déterminant des vecteurs ⃗ et ⃗.
On note :
Propriété : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. -6 10 / et ⃗. 9 -15 / b) ⃗. 4 9 / et ⃗. 11 23Correction
a) =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires. b) =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites () et () sont parallèles revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.2) Dire que les points , et sont alignés revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points .
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et . 5 0 a) Démontrer que les droites () et () sont parallèles. b) Démontrer que les points , et sont alignés.Correction
a) 3- -1 2-1 4 1 / et 6- -2 -1- -3 A = . 8 2 S T=R 4812