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Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE - USTO
2019 — est vraie 3 Exercices Corrigés Exercice 1 Donner la négation des propositions suivantes : (1) ∀x ∈ IR,
Algèbre - Exo7 - Cours de mathématiques
o7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du
Exercices dalgèbre 1 - Ceremade - Université Paris-Dauphine
e 4 1 (∗) (note aux chargés de TD : ne faire que quelques questions : un corrigé sera distribué)
Exercices dAlgèbre
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Algèbre et Analyse Recueil dExercices Corrigés - ResearchGate
consacrée à l'Algèbre, les exercices proposés traitent de la théorie des ensembles,
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rigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut, en privilégiant les solutions
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Fiche de Biostatistique
Exercices d'Algèbre
Solutions proposées par C. BAJARD et S. CHARLES PlanINDÉPENDANCE, GÉNÉRATEUR, DIMENSION, BASES........................................................2
MÉTHODE DU PIVOT........................................................................ PRODUITS SCALAIRES........................................................................ .....................................6ORTHONORMALISA
TION.........................
....................10 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS.................................13
Biostat
istique / exo3cor.doc /Page 1 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/exos/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 Indépendance, générateur, dimension, bases ? Dans un espace vectoriel E, si a, b, c et d sont des vecteurs indépendants, alors a - b, b - c, c - d et d - a sont des vecteurs indépendants. FAUX (a - b) + (b - c) + (c - d) + (d - a) = 0. ? Dans , les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous- 4 espace vectoriel de dimension 2. VRAI211115110
14422 0 02 0 0
rgrgrg3453311 55311 0
721100100
abcacbb2cca7cabcc5b 2 Les vecteurs engendrent un sous-espace de dimension 2. Nous avons utilisé ici la triangulation de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs a,b,c a,b,c, et le fait qu'on ne change pas un sous-espace vectoriel engendré en :1. Permutant les vecteurs ;
2. Multipliant un vecteur par un scalaire non nul ;
3. Remplaçant un vecteur par une combinaison linéaire des autres vecteurs.
? Dans un espace vectoriel E, si a et b sont des vecteurs indépendants et si a et c sont des vecteurs indépendants, alors a, b et c sont des vecteurs indépendants. FAUX Si on prend par exemple a = (1,0), b = (0,1) et c = (1,-1). Alors a et b sont indépendants, a et c sont indépendants, mais a = b + c donc {a, b, c} est liée. Remarque : comme on a pris a, b et c dans le plan, on sait immédiatement qu'ils sont liés. Biostatistique / exo3cor.doc /Page 2 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ? Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d'un nombre fini d'éléments. FAUX 0E est un e.v. avec un nombre fini d'éléments. Remarque : C'est le seul exemple parmi les e.v. sur un corps K infini, car si xE et , alors 0x . ,KxE ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans . FAUXSi on prend par exemple
:0,10,1f définie par 12fx, alors la fonction 3f n'est pas une fonction de [0,1] dans [0,1] : 33fx2.? On note E l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
3. E est un espace vectoriel sur . Dans E, un polynôme et sa dérivée forment toujours
un système libre. FAUX Le polynôme nul ou les polynômes constants ont pour polynôme dérivé le polynôme nul. Un polynôme constant forme donc un système lié avec sa dérivée. ? Les vecteurs colonnes de la matrice2132113
0214115
4239717
23452223
sont indépendants.FAUX : Ce sont 6 vecteurs de .
4 Biostatistique / exo3cor.doc /Page 3 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1Méthode du pivot
Donner la dimension et une base des sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes des matrices :15102131322132
26345132640214
26433115504239
150110311622345
abcd1510151115191519
263422636226439226439
rgrgrgrg42643221452210022100
1501100010001000
a aa=a a=a bb=b+5cb=b c=4c-b+d-4 cc=c d=4d-5 dd=d+a a=a b=b c=c cd=39d-4cLes quatre vecteurs colonnes forment une base.
213344
513355
brgrg2311111
1031100
a=ca bb=b-3 c c=a-10c-7 c-2 Le sous-espace engendré par les vecteurs colonnes est de dimension 2 ; une base possible est formée des vecteurs 3,3,1,1, et 4,5,1,0.132130131
264260262
crgrgrg3550551550
162100100
21051aa=aa=a bb=b-3cb=b cc=c-ac=c5 b
Les trois vecteurs colonnes forment une base.
Biostatistique / exo3cor.doc /Page 4 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon12132131213144131450
021404110419904190
drgrgrgrg4239215221002100
2345100010001000
2 d5a c4ac5b d3a2ddd2b 4 a=aaa=a b=bb=b c=cc b a b c d19d9 a b c cLes quatre vecteurs colonnes forment une base.
? La matrice 2012102112
21210
10221
12201
A est inversible.
FAUXIl existe un vecteur 0u
tel que 0uA ; en effet, le vecteur 1,1,1,1,1,1u convient. Par conséquent, la matrice n'est pas inversible. A Biostatistique / exo3cor.doc /Page 5 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1Produits scalaires
? Dans un espace euclidien 222vwvw2v2w 2 n'est vrai que si v et w sont orthogonaux. FAUX
C'est vrai tout le temps car :
222222
2222
vwvwvwvvww2vwvw2vw vwvwvwvvww2vwvw2vw vwvw2v2w Il s'agit ici de l'identité du parallélogramme. ? Si x et y sont deux vecteurs de et si n x+yxy, alors l'un des deux vecteurs est nul. FAUX Dès que x et y sont positivement liés (xy avec 0), alors x+yxy. Par exemple, si 1, alors et xy2x. x+yx+x2xxxxy On considère dans la fonction h qui, aux vecteurs 3 123
(,,)xxxv et , 123
(,,)yyyw associe le nombre réel : 1 1232
3 102
,,,010 201
y hxxx y y vw ? La fonction h est un produit scalaire. Indication : on cherchera un couple de vecteurs qui ne vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz. FAUX Prenons et . Alors, (1,0,0)v(0,0,1)w,2hvw,,h1vv et ,1hww. Selon l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on aurait h,hvwh,vv,ww, ce qui n'est pas le cas ici. Biostatistique / exo3cor.doc /Page 6 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ? La fonction 1 1232
3 210y
w,x,x,x153y 032y
xy est un produit scalaire ? Indication : on pourra utiliser la méthode de Gauss. FAUX Utilisons la méthode de Gauss qui consiste à écrire la forme quadratique associée comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires sur : 3 22
1122323
2 2 2222123
2 2 222
123
2 222
1223
22
2 123
w,2x2xx+6xx5x2x xx
2x6xx5x2x
22x9x
2x6xx2x
22x944
2xxxxx
2239x92 2xxx 223
xx 2 23
3 3 La signature de la forme quadratique associée est donc 2,0, alors que si w était un produit scalaire cette signature serait égale à y 3,0. ? La fonction 1 1232
3 1-10 ,,,-12-1 0-11 y gxxx y xy est un produit scalaire ? FAUX 110
det1211211113 011 WI g est symétrique, mais ses valeurs propres sont donc 0, 1 et 3 : ce n'est pas un produit scalaire.
RAPPEL : La matrice d'un produit scalaire doit être symétrique et à valeurs propres strictement
positives. Biostatistique / exo3cor.doc /Page 7 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ? Si l'inverse d'une matrice carrée est égale à sa transposée, ses colonnes forment une base orthonormée pour le produit scalaire canonique. VRAI Soit 1nXXM. . Ainsi :
1tt MMMMI 1 1 ,1, t tt nij ijn t n X XXXX X MM et ,1, tt ijiji ijn XXXX j IOn rappelle que
t ijij XXxx ij est le symbole de Kronecker. On en déduit donc que les vecteurs colonnes de M sont orthogonaux et unitaires : ils forment bien une base orthonormée.Remarque : Une matrice dont l'inverse est égale à sa transposée est une matrice orthonormée, i.e., une
matrice dont les vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1. ? Une base orthonormale pour un produit scalaire donné est orthogonale pour tous les autres produits scalaires. FAUXPrenons par exemple .
2113 M C'est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont 1 et 4 : c'est la matrice d'un produit scalaire. Considérons la base canonique de , orthonormée pour le produit scalaire canonique. 2 12 0210
10101
1131
ee M La base canonique n'est pas orthogonale pour le produit scalaire de m atrice M. ? Si s(,) t xyxAy est un produit scalaire de , alors la matrice A est inversible et la 3 fonction 1 t(,) t xyxAy est un produit scalaire. VRAI Puisque A est la matrice d'un produit scalaire ses valeurs propres sont toutes strictement positives, son déterminant est donc non nul, elle est inversible. Vérifions si t satisfait les propriétés qui définissent un p roduit scalaire : Biostatistique / exo3cor.doc /Page 8 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1
1. t est bilinéaire (évident) ;
2. t est symétrique car .
1 11 est symétrique tt A AAA3. t est positive car :
t t1t111111 s est un produit scalaire t(,)s,0 xxxAxxAAAxAxAAxAxAx4. t est définie car :
1111s est un produit scalairë t(,)0s,0000 xxAxAxAxAAxAx Biostatistique / exo3cor.doc /Page 9 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1
Orthonormalisation
En partant de la base canonique et en utilisant l'orthonormalisation de Gram-Schmidt, donner une base orthonormée pour le produit scalaire défini par : 33121222232
,,22 3 xxyyxyxxyy xyxy est bien un produit scalaire car elle est bilinéaire symétrique (évident) ; est aussi positive car , et définie car 12223,2xxxxxxx 22
2 0 3 0x 12 212
23
20 ,00 0 xx xxx xx xx